求函數(shù)解析式的常用方法

甘肅省隴南市武都八一中學 尹 鑫

求函數(shù)解析式的常用方法

甘肅省隴南市武都八一中學 尹 鑫

當前，我們已進入高三一輪復習，函數(shù)是高中數(shù)學的核心內(nèi)容，也是學習高等數(shù)學的基礎(chǔ)，是數(shù)學中最重要的概念之一，它貫穿中學數(shù)學的始終。求函數(shù)解析式是函數(shù)部分的基礎(chǔ)，在高考試題中多以選擇、填空形式出現(xiàn)，屬中低檔題目，同學們務(wù)必要拿分。下面就向同學們介紹幾種求函數(shù)解析式的常用方法：

【題型一】配湊法

例1 已知f（x+1）=x+2，求f（x）。

分析：函數(shù)的解析式y(tǒng)=f（x）是自變量x確定y值的關(guān)系式，其實質(zhì)是對應(yīng)法則f：x→y，因此解決這類問題的關(guān)鍵是弄清對“x”而言，“y”是怎樣的規(guī)律。

解：∵f（x+1）=x+2=（x+1）+1

令t=x+1，則f（t）=t+1，

∴f（x）=x+1。

小結(jié)：此種解法為配湊法，通過觀察、分析，將右端“x+2”變?yōu)榻邮軐ο蟆皒+1”的表達式，即變?yōu)楹▁+1）的表達式，這種解法對變形能力、觀察能力有一定的要求。

【題型二】換元法

例2 已知f（1-cosx）=sin2x，求f（x）。

分析：視1-cosx為一個整體，應(yīng)用數(shù)學的整體化思想，換元即得。

解：令t=1-x，0≤t≤2，

則cosx=1-t，

f（t）=sin2x

=1-cos2x

=1-（1-t）2

=1-1+2t-t2

=-t2+2t。

故f（x）=-x2+2x，（0≤x≤2）。

小結(jié)：①已知f[g（x）]是關(guān)于x的函數(shù)，即f[g（x）]=F（x），求f（x）的解析式，通常令g（x）=t，由此能解出x=（t），將x=（t）代入f[g（x）]=F（x）中，求得f（t）的解析式，再用x替換t，便得f（x）的解析式。注意：換元后要確定新元t的取值范圍。

②換元法就是通過引入一個或幾個新的變量來替換原來的某些變量的解題方法，它的基本功能是：化難為易、化繁為簡，以快速實現(xiàn)未知向已知的轉(zhuǎn)換，從而達到順利解題的目的。常見的換元法是多種多樣的，如局部換元、整體換元、三角換元、分母換元等，它的應(yīng)用極為廣泛。

【題型三】待定系數(shù)法

例3 設(shè)二次函數(shù)f（x）滿足f（x+2）=f（2-x），且f（x）＝0的兩實根平方和為10，圖象過點（0，3），求f（x）的解析式。

分析：由于f（x）是二次函數(shù)，其解析式的基本結(jié)構(gòu)已定，可用待定系數(shù)法處理。

解：設(shè)f（x）＝ax2+bx+c（a≠0），

由f（x+2）=f（2-x）可知，該函數(shù)圖象關(guān)于直線x=2對稱，

∴-b/2a=2，即b=-4a……①，

又圖象過點（0，3），∴c=3……②，

由①②③解得a=1，b=-4，c=3，

∴f（x）=x2-4x+3。

【題型四】消元法

【題型五】賦值法

此類解法的依據(jù)是：如果一個函數(shù)關(guān)系式中的變量對某個范圍內(nèi)的一切值都成立，則對該范圍內(nèi)的某些特殊值必成立，結(jié)合題設(shè)條件的結(jié)構(gòu)特點，由特殊到一般尋找普遍規(guī)律。

例5 已知f（0）=1，f（x+y）-2f（x-y）=x（x-y）+2xy-1（x，y∈R），求f（x）。

解：令y=0，則f（x）-2f（x）=x-1，

所以f（x）=1-x。

評析：將適當變量取特殊值，使問題具體化，簡單化，依據(jù)結(jié)構(gòu)特點，從而找出一般規(guī)律求出解析式。