求函數(shù)解析式的常用方法

甘肅省隴南市武都八一中學(xué) 尹 鑫

求函數(shù)解析式的常用方法

甘肅省隴南市武都八一中學(xué) 尹 鑫

當(dāng)前，我們已進(jìn)入高三一輪復(fù)習(xí)，函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，也是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，是數(shù)學(xué)中最重要的概念之一，它貫穿中學(xué)數(shù)學(xué)的始終。求函數(shù)解析式是函數(shù)部分的基礎(chǔ)，在高考試題中多以選擇、填空形式出現(xiàn)，屬中低檔題目，同學(xué)們務(wù)必要拿分。下面就向同學(xué)們介紹幾種求函數(shù)解析式的常用方法：

【題型一】配湊法

例1 已知f（x+1）=x+2，求f（x）。

分析：函數(shù)的解析式y(tǒng)=f（x）是自變量x確定y值的關(guān)系式，其實(shí)質(zhì)是對(duì)應(yīng)法則f：x→y，因此解決這類問題的關(guān)鍵是弄清對(duì)“x”而言，“y”是怎樣的規(guī)律。

解：∵f（x+1）=x+2=（x+1）+1

令t=x+1，則f（t）=t+1，

∴f（x）=x+1。

小結(jié)：此種解法為配湊法，通過觀察、分析，將右端“x+2”變?yōu)榻邮軐?duì)象“x+1”的表達(dá)式，即變?yōu)楹▁+1）的表達(dá)式，這種解法對(duì)變形能力、觀察能力有一定的要求。

【題型二】換元法

例2 已知f（1-cosx）=sin2x，求f（x）。

分析：視1-cosx為一個(gè)整體，應(yīng)用數(shù)學(xué)的整體化思想，換元即得。

解：令t=1-x，0≤t≤2，

則cosx=1-t，

f（t）=sin2x

=1-cos2x

=1-（1-t）2

=1-1+2t-t2

=-t2+2t。

故f（x）=-x2+2x，（0≤x≤2）。

小結(jié)：①已知f[g（x）]是關(guān)于x的函數(shù)，即f[g（x）]=F（x），求f（x）的解析式，通常令g（x）=t，由此能解出x=（t），將x=（t）代入f[g（x）]=F（x）中，求得f（t）的解析式，再用x替換t，便得f（x）的解析式。注意：換元后要確定新元t的取值范圍。

②換元法就是通過引入一個(gè)或幾個(gè)新的變量來替換原來的某些變量的解題方法，它的基本功能是：化難為易、化繁為簡(jiǎn)，以快速實(shí)現(xiàn)未知向已知的轉(zhuǎn)換，從而達(dá)到順利解題的目的。常見的換元法是多種多樣的，如局部換元、整體換元、三角換元、分母換元等，它的應(yīng)用極為廣泛。

【題型三】待定系數(shù)法

例3 設(shè)二次函數(shù)f（x）滿足f（x+2）=f（2-x），且f（x）＝0的兩實(shí)根平方和為10，圖象過點(diǎn)（0，3），求f（x）的解析式。

分析：由于f（x）是二次函數(shù)，其解析式的基本結(jié)構(gòu)已定，可用待定系數(shù)法處理。

解：設(shè)f（x）＝ax2+bx+c（a≠0），

由f（x+2）=f（2-x）可知，該函數(shù)圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱，

∴-b/2a=2，即b=-4a……①，

又圖象過點(diǎn)（0，3），∴c=3……②，

由①②③解得a=1，b=-4，c=3，

∴f（x）=x2-4x+3。

【題型四】消元法

【題型五】賦值法

此類解法的依據(jù)是：如果一個(gè)函數(shù)關(guān)系式中的變量對(duì)某個(gè)范圍內(nèi)的一切值都成立，則對(duì)該范圍內(nèi)的某些特殊值必成立，結(jié)合題設(shè)條件的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，由特殊到一般尋找普遍規(guī)律。

例5 已知f（0）=1，f（x+y）-2f（x-y）=x（x-y）+2xy-1（x，y∈R），求f（x）。

解：令y=0，則f（x）-2f（x）=x-1，

所以f（x）=1-x。

評(píng)析：將適當(dāng)變量取特殊值，使問題具體化，簡(jiǎn)單化，依據(jù)結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，從而找出一般規(guī)律求出解析式。