從“一維”到“二維”的長方形面積教學

浙江省義烏市赤岸小學 朱惠霞

從“一維”到“二維”的長方形面積教學

浙江省義烏市赤岸小學 朱惠霞

關于“長方形、正方形的面積計算”教學會有這樣的爭論：有的人認為長方形的面積計算公式可以通過推導得出：長幾表示長邊可以放幾個面積單位，寬幾可以表示寬邊可以放幾個面積單位，最后通過乘法計算出面積。通過教學要讓學生明白為什么長乘寬等于長方形的面積。也有另一撥人認為長方形的面積公式怎么可能在小學被推導出來？長度不夠整數怎么辦？假設長度是怎么辦？它的推導需要應用極限的知識。長方形的面積計算在小學里只能視作一種公理，無法推導。因此，長方形的面積計算的設計思路應該是實驗——猜想——驗證——概括，像這樣的不完全歸納。我在教學操作中，同樣把長方形的面積計算公式作為公理對待，同樣啟發學生明白為什么長乘寬（整數數據）等于長方形的面積。在側重培養“空間觀念”、“空間能力”的思考下演繹出了不一樣的課。

一、在操作中積累空間知覺，強化面積單位的表象

上課開始，我引導學生進行了兩個重要的操作。

操作1：我們學具袋里有小方塊，打開看看，你覺得這里有1平方厘米嗎？怎樣才能驗證它是1平方厘米？

操作2：用這些小方塊去求出1號長方形的面積是多少。方法越簡單越方便越好。

【這兩個操作可謂是整節課的基礎。它讓學生再次感知了長度單位和面積單位的關系，面積和面積單位的關系，同時也強化了之前建立起來的面積單位的表象。】

二、在反饋中形成表象，為發展想象做準備

1.交流鋪滿。

師：面積是多少？

生：15平方厘米。

師：也就是說這個長方形里可以擺滿15個1平方厘米。這15個怎樣數比較方便？

生：三五十五。

師：三五十五說明這里有3個5。你看到了沒有？我們一起來數數看：1個5,2個5,3個5。【在這個反饋交流中，學生形成幾個幾排列的表象。】2.交流半鋪。

師：剛才我發現有些同學是沒有鋪滿的，也能求出15平方厘米，是怎么回事？

生：橫著擺3個，豎著擺5個就能知道有多少了。

師：誰聽明白他的意思了？（停頓）能用一個算式表示它的想法嗎？生：3×5=15（平方厘米）。

師：乘法一般表示幾個幾，它表示幾個幾？第一個5在哪里？第二個5呢？還有一個呢？

師小結：沒有鋪滿，我們可以推斷出它鋪滿是多少，厲害！這樣我們就可以不用擺那么多1平方厘米了。

3.交流用一個小方塊去量。

師：他只用了8個，還有沒有用得更少的？

生：1個。

生：1個都沒有！

師：用1個？你是怎么想的？

生：就用1個小方塊先橫著擺過去，再豎著擺過去，就知道面積是多少了。

師：誰懂他的意思了？這樣擺怕一下子忘了橫著擺幾個了，誰有好辦法？

生：擺一個做一個記號。

4.交流不鋪。

師：一個都沒有是怎么回事？

生：用尺子量。

師：用尺子量能量出面積嗎？你們也用尺子量量看，認為能量出來的舉手？

師：誰來說說你是怎么想的？

【操作反饋的教學從“全鋪——半鋪——用一個面積單位量——不鋪”四個層次展開。雖然小方塊是一塊一塊地拿走，但其“3個5”全鋪的動態過程被不斷地重現。最后雖然不鋪了，用尺子量，孩子也會自動呈現全鋪的動態過程。這為接下來“幾個幾”的想象奠定了表象基礎，同樣為幫助長方形的面積計算實質是面積度量奠定了意義基礎。】

三、在想象中促成兩次飛躍

1.有了3個5這個表象基礎，緊接著我出示了長5厘米，寬2厘米的長方形，讓學生量出它的面積。思考：為什么寬少了1厘米，面積會少了5個？這樣的練習促成了孩子初步的想象，促進直接度量到間接度量的過渡。

2.出示一個長方形，用尺子量出這個長方形的長是10厘米。你想到了什么？（根據學生回答依次出示后兩張幻燈片）

3.出示寬8厘米，你想到了什么？（根據學生回答，依次出示后兩張幻燈片）

【今后我們碰到解決長方形的面積問題都是提供數據的“間接計算”得出結果，很少會再碰到用面積單位的直接度量。但尺子幾乎每天都陪伴著學生們，是最便捷的直觀工具，它是完成直接度量到間接計算飛躍很好的認知材料。尺子像小方塊一樣從有到無，目的就是為了把尺子這種印象刻畫在腦海里，形成長度單位的表象，建立長度單位和面積單位的關系，從而很好地銜接了這次飛躍。】

四、在想象推理中建立二維空間觀念，突破一個難點

1.二維空間的建立。

師：這里有一個長方形，它的長是9厘米，你能想到什么？（只出示數據不出示圖形）

生：橫著可以擺9個。

師：能想到它的面積嗎？為什么？

生：不能。寬不知道。

師：寬不知道，就不知道要擺幾行了？那么告訴你寬是4厘米，你能想到什么？

【我們要注重二維、三維空間觀念的建立。在六年級“常見的量”總復習的教學實踐中我們會發現，這種觀念欠缺的孩子會出現下面這樣的錯例。】

認為面積單位的進率如圖（1），體積單位間的進率如圖（2）。

圖（1）

圖（2）

2.借助“間接度量”到“間接計算”的思維提升，突破“統一長度單位計算”的難點。

師出示：長9分米，寬4分米的長方形（只有數據沒有圖）。師：這個跟剛才的長方形有什么不同？你能想到什么？長9米，寬4米呢？

師：比較這三個長方形有哪些共同點。不同點在哪里？它們的單位和什么有關？有什么關系？

師：能用2×3=6來算嗎？為什么？

師：你覺得這個長方形用哪個面積單位去量比較合適？

根據學生的回答出示這樣的幻燈片。

【以前我們只知道要求學生統一單位計算，而為什么要統一單位，學生對此還是很困惑的。“長2分米，寬3厘米的長方形面積為什么不是3×2？”這道題說明了“間接計算”比起用尺子“間接度量”它更加抽象，有尺子的長方形相對來說是直觀的。“間接度量”到“間接計算”是需要以尺子的表象為支點（或者說單位的表象）跨過來的。這個跨越分成了三個層次：（1）有尺子的10厘米到沒尺子的8厘米的出現。（2）由長和寬是什么長度單位去想象相應的面積單位。（3）思考單位不一樣，選擇怎樣的面積單位比較合適。相信借助“尺子”表象的建立，通過想象推理，學生會發現邊長用什么長度單位隨之會對應一個什么樣的面積單位。當長和寬的單位不一樣時，需要統一單位才能想象推理出它的面積是多少。】

3.練習二維和一維的轉化，強化一維和二維的聯系。

到課最后出示了這樣一個開放式練習：

根據這幅圖你想到了什么？想得越多，說明你這節課學得越好。孩子會想到面積，想到邊長，又進而想到周長。

從一維的長度想到二維的面積是這節課的難點，整堂課通過操作、建立表象、想象推理，借助尺子等材料突破了“直接度量”到“間接計算”的飛躍，同時培養了孩子的空間能力，最后從二維想到一維又是認識的升華。當思維能自如地在一維和二維之間互相轉化時，長方形面積公式的歸納也是水到渠成的事。在度量幾何的教學中，這樣的一節課的意義是非凡的。