“圓錐曲線中一類定值、定點(diǎn)問題”的教學(xué)設(shè)計(jì)與思考

江蘇省張家港市暨陽高級(jí)中學(xué) 童先峰

“圓錐曲線中一類定值、定點(diǎn)問題”的教學(xué)設(shè)計(jì)與思考

江蘇省張家港市暨陽高級(jí)中學(xué) 童先峰

探究教學(xué)是學(xué)生思維能力、學(xué)科素養(yǎng)增長的一種重要教學(xué)形式，本著由易到難、層次分明、循序漸進(jìn)的原則，筆者以《圓錐曲線中一類定值、定點(diǎn)問題》為例，就如何進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)，實(shí)現(xiàn)學(xué)生自主探究的能力提升與同行交流，敬請(qǐng)指正。

一、備課思考

課前定教學(xué)目標(biāo)，即讓學(xué)生學(xué)什么？定教學(xué)形式，即讓學(xué)生怎么樣學(xué)？定教學(xué)效果，即學(xué)生學(xué)會(huì)了什么？在準(zhǔn)備教學(xué)的每一個(gè)環(huán)節(jié)時(shí)，都要思考上述問題，只有這樣做，才能在教學(xué)中“潤物細(xì)無聲”地讓學(xué)生感知“教學(xué)目標(biāo)”，從而實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)。

二、教學(xué)設(shè)計(jì)

引例3 你能根據(jù)上述兩個(gè)問題，在橢圓中類比出一個(gè)新的問題嗎？

【設(shè)計(jì)意圖：通過對(duì)上述問題的探求，讓學(xué)生自覺地把圓中的結(jié)論進(jìn)行合理猜想，使學(xué)生進(jìn)入一個(gè)探究問題的環(huán)節(jié)，幫助學(xué)生打開思維。】

【設(shè)計(jì)意圖：分析如何合理設(shè)變量，建構(gòu)求解過程，使得求解過程多方法、少計(jì)算，降低題目求解難度。】

思路一：設(shè)點(diǎn)—圓方程—化簡—恒成立—定點(diǎn)。

思路二：設(shè)斜率——根據(jù)直徑得到圓方程——利用對(duì)稱性得到定點(diǎn)。

【設(shè)計(jì)意圖：通過幾何畫板的演示，對(duì)變式問題進(jìn)行逐一檢驗(yàn)，體現(xiàn)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的重要性，同時(shí)，在數(shù)學(xué)品質(zhì)層面上培養(yǎng)學(xué)生大膽質(zhì)疑和舉一反三的學(xué)習(xí)素養(yǎng)。 】

（1）當(dāng)直線PA的斜率為1時(shí)，求點(diǎn) 的坐標(biāo)；

（2）當(dāng)直線PQ的斜率為 時(shí)，直線PQ是否過 軸上的一定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，請(qǐng)給出證明，并求出該定點(diǎn)？若不過定點(diǎn)，請(qǐng)說明理由。

【設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生進(jìn)一步感受圓與橢圓之間的邏輯關(guān)系，體會(huì)兩者之間的聯(lián)系，并讓學(xué)生體會(huì)求解定點(diǎn)問題的基本策略。】

思路一：選定一個(gè)適合該題設(shè)的參變量，用題中已知量和參變量表示題中所涉及的定義、方程、幾何性質(zhì)，得到所求定（點(diǎn)）值關(guān)系所需要的表達(dá)式，化簡整理求出結(jié)果。

思路二：通過特殊探索法（特殊值、特殊位置、特殊圖形等）先確定出定值，揭開神秘的面紗，這樣可將盲目的探索問題轉(zhuǎn)化為有方向有目標(biāo)的一般性證明題。

變式1：改為“直線PQ是否過一定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，請(qǐng)給出證明，并求出該定點(diǎn)；若不過定點(diǎn)，請(qǐng)說明理由。”

變式2：若kPA·kPQ=1，則直線PQ是否過一定點(diǎn)？

【設(shè)計(jì)意圖：通過這一定點(diǎn)問題與圓錐曲線離心率之間的關(guān)系，進(jìn)一步讓學(xué)生感受離心率 是聯(lián)系橢圓、雙曲線、拋物線的紐帶，為學(xué)生課后自主探究橢圓、雙曲線、拋物線三者之間常見結(jié)論規(guī)律指明了方向。】

三、課后反思

1.基于認(rèn)知水平，尋找探究教學(xué)合適起點(diǎn)

圓錐曲線是高中數(shù)學(xué)中學(xué)生較難掌握的章節(jié)，其中有些模塊化的過程性結(jié)論可以讓解題變得十分輕松。但這些結(jié)論是怎么得來的，如何才會(huì)想到這樣的結(jié)論，是教師在課上需要下功夫解決的問題，教師如果直接告知結(jié)論，學(xué)生新的認(rèn)知很難在具體的、已有的認(rèn)知水平上建立起來。這就需要教師在進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，本著充分尊重學(xué)生的主體地位和符合學(xué)生的認(rèn)知水平這兩個(gè)原則，通過引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)參與、獨(dú)立探索，使得學(xué)生自己能夠推導(dǎo)出可能的結(jié)論。本節(jié)課從書本上學(xué)生容易解決的兩個(gè)問題出發(fā)，引發(fā)聯(lián)想，提出“你能根據(jù)上述兩個(gè)問題，在橢圓中類比出一個(gè)新的問題嗎？”讓學(xué)生自己猜想出一個(gè)可能的結(jié)論，從這一角度切入對(duì)問題的研究，學(xué)生就會(huì)感覺到有事可做，而不會(huì)陷入茫然無措。 再從已經(jīng)得到的小結(jié)論出發(fā)，進(jìn)行一般化研究，利用一個(gè)典型問題，深化過程性小結(jié)論的重要性，得到了本節(jié)課的核心內(nèi)容，展現(xiàn)了知識(shí)探究的真正的發(fā)展過程，實(shí)現(xiàn)了學(xué)生思維的“自然流淌”。

2.基于合情推理，發(fā)揮學(xué)生思維聯(lián)想能力

“推理與證明”是普通高中《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（實(shí)驗(yàn)）新增加的內(nèi)容。在教學(xué)過程中，有些教師可能只是在教材中遇到該內(nèi)容時(shí)才意識(shí)到用合情推理去探究一些問題，而在其他時(shí)候往往忽視合情推理的作用。換句話說，不少教師仍將合情推理作為教材中的一個(gè)知識(shí)點(diǎn)在教，在其他更多的教學(xué)時(shí)間中并沒有將歸納、類比、一般化、特殊化等合情推理的思維方式自覺應(yīng)用到教學(xué)中去，這也在一定程度上造成學(xué)生缺乏通過合情推理去提出問題、解決問題的能力。本節(jié)課在將圓中的結(jié)論及圓到橢圓的變化過程展現(xiàn)給學(xué)生后，讓學(xué)生提出一個(gè)新的問題，而在解決以后，又讓學(xué)生對(duì)典型例題中的題干提出質(zhì)疑：題干中的直線為什么是這樣一條直線？能不能是其他直線？從而讓學(xué)生感受問題是怎么出來的，解題后的反思使問題達(dá)到了一個(gè)新的高度，這也正是因?yàn)槌浞掷昧撕锨橥评聿抛寣W(xué)生的思維在探究課堂上達(dá)到了一個(gè)小高潮。隨后，讓學(xué)生大膽猜想圓中的其他結(jié)論，這些結(jié)論是否可以類比遷移到橢圓中？類比到橢圓中的結(jié)論又是什么？怎么樣才能得到證明？從而實(shí)現(xiàn)探究課堂中的真正探究。

3.基于學(xué)習(xí)興趣，實(shí)現(xiàn)課上課下能力延伸

知識(shí)是載體，能力是立意。課堂上的時(shí)間是有限的，知識(shí)僅僅是探究思想、探究方法的一個(gè)載體。讓學(xué)生在認(rèn)識(shí)本節(jié)內(nèi)容的同時(shí)有更多的思考，激發(fā)更多的學(xué)生課下探究的興趣，實(shí)現(xiàn)課下的一種自主延伸探究才是探究，教學(xué)真正意義上的成功。本節(jié)課通過一個(gè)統(tǒng)一結(jié)論讓學(xué)生感受在圓錐曲線中兩直線斜率乘積的結(jié)果可以利用離心率得到形式上的統(tǒng)一，學(xué)生在感受圓中結(jié)論遷移到圓錐曲線的同時(shí)，也讓學(xué)生對(duì)圓錐曲線的離心率有了更深的理解。同時(shí)通過課后相關(guān)閱讀材料的閱讀，讓學(xué)生進(jìn)一步充分體會(huì)了圓錐曲線中許多結(jié)論都是可以通過離心率來進(jìn)行統(tǒng)一的。這樣一來，學(xué)生在課下了解到圓中相關(guān)結(jié)論時(shí)，不僅會(huì)很自然地想到圓錐曲線中有類似這樣的結(jié)論嗎？如果有，這個(gè)結(jié)論是什么呢？而且也會(huì)聯(lián)想到結(jié)果用什么樣的形式出現(xiàn)，從而真正打通學(xué)生探究思維上的“任督二脈”。