“圓錐曲線中一類定值、定點問題”的教學設計與思考

江蘇省張家港市暨陽高級中學 童先峰

“圓錐曲線中一類定值、定點問題”的教學設計與思考

江蘇省張家港市暨陽高級中學 童先峰

探究教學是學生思維能力、學科素養增長的一種重要教學形式，本著由易到難、層次分明、循序漸進的原則，筆者以《圓錐曲線中一類定值、定點問題》為例，就如何進行教學設計，實現學生自主探究的能力提升與同行交流，敬請指正。

一、備課思考

課前定教學目標，即讓學生學什么？定教學形式，即讓學生怎么樣學？定教學效果，即學生學會了什么？在準備教學的每一個環節時，都要思考上述問題，只有這樣做，才能在教學中“潤物細無聲”地讓學生感知“教學目標”，從而實現教學目標。

二、教學設計

引例3 你能根據上述兩個問題，在橢圓中類比出一個新的問題嗎？

【設計意圖：通過對上述問題的探求，讓學生自覺地把圓中的結論進行合理猜想，使學生進入一個探究問題的環節，幫助學生打開思維?！?/p>

【設計意圖：分析如何合理設變量，建構求解過程，使得求解過程多方法、少計算，降低題目求解難度?！?/p>

思路一：設點—圓方程—化簡—恒成立—定點。

思路二：設斜率——根據直徑得到圓方程——利用對稱性得到定點。

【設計意圖：通過幾何畫板的演示，對變式問題進行逐一檢驗，體現數學實驗的重要性，同時，在數學品質層面上培養學生大膽質疑和舉一反三的學習素養。 】

（1）當直線PA的斜率為1時，求點 的坐標；

（2）當直線PQ的斜率為 時，直線PQ是否過 軸上的一定點？若過定點，請給出證明，并求出該定點？若不過定點，請說明理由。

【設計意圖：讓學生進一步感受圓與橢圓之間的邏輯關系，體會兩者之間的聯系，并讓學生體會求解定點問題的基本策略?！?/p>

思路一：選定一個適合該題設的參變量，用題中已知量和參變量表示題中所涉及的定義、方程、幾何性質，得到所求定（點）值關系所需要的表達式，化簡整理求出結果。

思路二：通過特殊探索法（特殊值、特殊位置、特殊圖形等）先確定出定值，揭開神秘的面紗，這樣可將盲目的探索問題轉化為有方向有目標的一般性證明題。

變式1：改為“直線PQ是否過一定點？若過定點，請給出證明，并求出該定點；若不過定點，請說明理由。”

變式2：若kPA·kPQ=1，則直線PQ是否過一定點？

【設計意圖：通過這一定點問題與圓錐曲線離心率之間的關系，進一步讓學生感受離心率 是聯系橢圓、雙曲線、拋物線的紐帶，為學生課后自主探究橢圓、雙曲線、拋物線三者之間常見結論規律指明了方向。】

三、課后反思

1.基于認知水平，尋找探究教學合適起點

圓錐曲線是高中數學中學生較難掌握的章節，其中有些模塊化的過程性結論可以讓解題變得十分輕松。但這些結論是怎么得來的，如何才會想到這樣的結論，是教師在課上需要下功夫解決的問題，教師如果直接告知結論，學生新的認知很難在具體的、已有的認知水平上建立起來。這就需要教師在進行教學設計時，本著充分尊重學生的主體地位和符合學生的認知水平這兩個原則，通過引導學生主動參與、獨立探索，使得學生自己能夠推導出可能的結論。本節課從書本上學生容易解決的兩個問題出發，引發聯想，提出“你能根據上述兩個問題，在橢圓中類比出一個新的問題嗎？”讓學生自己猜想出一個可能的結論，從這一角度切入對問題的研究，學生就會感覺到有事可做，而不會陷入茫然無措。 再從已經得到的小結論出發，進行一般化研究，利用一個典型問題，深化過程性小結論的重要性，得到了本節課的核心內容，展現了知識探究的真正的發展過程，實現了學生思維的“自然流淌”。

2.基于合情推理，發揮學生思維聯想能力

“推理與證明”是普通高中《數學課程標準》（實驗）新增加的內容。在教學過程中，有些教師可能只是在教材中遇到該內容時才意識到用合情推理去探究一些問題，而在其他時候往往忽視合情推理的作用。換句話說，不少教師仍將合情推理作為教材中的一個知識點在教，在其他更多的教學時間中并沒有將歸納、類比、一般化、特殊化等合情推理的思維方式自覺應用到教學中去，這也在一定程度上造成學生缺乏通過合情推理去提出問題、解決問題的能力。本節課在將圓中的結論及圓到橢圓的變化過程展現給學生后，讓學生提出一個新的問題，而在解決以后，又讓學生對典型例題中的題干提出質疑：題干中的直線為什么是這樣一條直線？能不能是其他直線？從而讓學生感受問題是怎么出來的，解題后的反思使問題達到了一個新的高度，這也正是因為充分利用了合情推理才讓學生的思維在探究課堂上達到了一個小高潮。隨后，讓學生大膽猜想圓中的其他結論，這些結論是否可以類比遷移到橢圓中？類比到橢圓中的結論又是什么？怎么樣才能得到證明？從而實現探究課堂中的真正探究。

3.基于學習興趣，實現課上課下能力延伸

知識是載體，能力是立意。課堂上的時間是有限的，知識僅僅是探究思想、探究方法的一個載體。讓學生在認識本節內容的同時有更多的思考，激發更多的學生課下探究的興趣，實現課下的一種自主延伸探究才是探究，教學真正意義上的成功。本節課通過一個統一結論讓學生感受在圓錐曲線中兩直線斜率乘積的結果可以利用離心率得到形式上的統一，學生在感受圓中結論遷移到圓錐曲線的同時，也讓學生對圓錐曲線的離心率有了更深的理解。同時通過課后相關閱讀材料的閱讀，讓學生進一步充分體會了圓錐曲線中許多結論都是可以通過離心率來進行統一的。這樣一來，學生在課下了解到圓中相關結論時，不僅會很自然地想到圓錐曲線中有類似這樣的結論嗎？如果有，這個結論是什么呢？而且也會聯想到結果用什么樣的形式出現，從而真正打通學生探究思維上的“任督二脈”。