例談數形結合在高中數學中的妙用

鮑 慧

（嘉興市第三中學 浙江 嘉興 314050）

例談數形結合在高中數學中的妙用

鮑 慧

（嘉興市第三中學 浙江 嘉興 314050）

數形結合思想是高中數學主要的思想方法之一，其本質是“數”與“形”之間的相互轉化。在高中數學教學中，通過數形結合思想方法的有效運用可以使學生在學習過程中輕松跨越障礙。數形結合思想通過“數中思形，以形助數”使復雜問題簡單化，抽象問題具體化，有助于把握數學問題的本質。

高中數學；數形結合；數學思想

所謂數形結合，就是把題目所給條件中的“數”與“形”一一對應，把靜態的數量與動態的圖形結合起來，進行詮釋、探究并最終解決問題。華羅庚曾說過：“數缺形少直觀，形缺數難入微。”這句話深刻地揭示了數學中數與形之間的相互依存關系。數形結合是高中階段重要的數學思想，將其貫徹于數學教學過程始終，是教好數學的關鍵之一。下面筆者通過實例，談談數形結合的思想在高中數學實踐中的運用。

一、研究函數最值問題

例1 對a，b∈R，記，求函數f（x）＝max｛｜x＋1｜，｜x－2｜｝的最小值.

解：根據題意畫出函數f（x）的圖像，如圖1，由圖可知：函數f（x）在A點處取得最小值，點A可看成是兩直線的交點，由方程組解得A點的坐標為，所以函數f（x）的最小值為.

圖1

評注：通過數與形的轉化分析，根據圖形直觀，將求函數最小值問題轉化為求方程組的解.

二、研究參數的取值范圍

例2 （2010年寧夏卷）已知函數f（x）＝若a，b，c互不相等，且滿足f（a）＝f（b）＝f（c），則abc的取值范圍是 （ ）

A.（1，10） B.（5，6）

C.（10，12） D.（20，24）

解：不失一般性可設0＜a＜b＜c，因為f（a）＝f（b）＝f（c），并結合圖2得0＜a＜1，1＜b＜10，10＜c＜12，因為f（a）＝f（b），所以－lga＝lgb，lga＋lgb＝0，ab＝1，故abc＝c∈（10，12），選C.

圖2

評注：數形結合是“數”與“形”的完美結合，充分體現了代數與幾何的內在關系，解決問題時，我們既要考慮代數問題在“形”上的直觀體現，也要考慮幾何問題在“數”上的精準表達，這兩方面相互結合，從而提高解題能力.

三、研究開放性問題

例3 （2012年福建卷）對于實數a和b，定義運算“”：設函數f（x）＝（2x－1）（x－1）且關于x的方程f（x）＝m（m∈R）恰有三個互不相等的實數根x1，x2，x3，則x1x2x3的取值范圍是_________.

圖3

評注：開放性問題往往具有新穎性和一定的難度性，很多學生在解決此類問題時經常手足無措，如果能夠正確理解題意并用圖形直觀的表示出問題條件中的代數關系，該類型問題就會“水落石出”.