2017年高考全國卷立體幾何命題趨勢

安徽 朱啟州

2017年高考全國卷立體幾何命題趨勢

安徽 朱啟州

立體幾何是中學數學的核心內容，又是高考命題微創新最活躍的部分．本文試圖就2017年全國卷立體幾何命題趨勢談幾點看法，供大家參考．

一、2017年立體幾何高考數學卷中的“不變”

每年的高考數學命題都是在繼承中求穩定、創新中求發展．具體說預計2017年全國卷立體幾何的命題在以下幾個方面不會變：

1．對空間幾何體的三視圖、體積、面積的計算考查

【例1】（2014·湖北文）在如左圖所示的空間直角坐標系O－xyz中，一個四面體的頂點坐標分別是（0，0，2），（2，2，0），（1，2，1），（2，2，2），給出編號為①②③④的四個圖，則該四面體正視圖和俯視圖分別為 （ ）

A．①和②

B．③和①

C．④和③

D．④和②

【解析】由給出的頂點坐標，畫出符合要求的四面體，由于不夠直觀，可以通過補圖的方法將圖形補成一個長方體或正方體，再畫出該四面體的正視圖和俯視圖，可得結果，應選D．

【變式1】中國古代數學名著《九章算術》中記載了公元前344年商鞅督造的一種標準量器——商鞅銅方升，其三視圖如圖所示（單位：寸），若π取3，其體積為12．6立方寸，則圖中的x為 （ ）

A．1．2

B．1．6

C．1．8

D．2．4

【答案】B

【評析】對三視圖的考查重點是學生對空間幾何體的識別以及幾何體的體積、面積計算以及圖形位置關系，以及考查學生的空間想象能力，一般難度不大．

2．對空間線面平行與垂直關系的考查

空間線面位置關系有關概念、公理、定理的理解與運用是立體幾何核心內容，是高考命題的熱點．

【例2】（蚌埠市2017屆高三質量檢測19）如圖，正四棱錐P－ABCD各棱長都為2，點O，M，N，Q分別是AC，PA，PC，PB的中點．

（1）求證：PD∥平面QAC；

（2）求三棱錐P－MND的體積．

【解析】（1）連接BD，則BD交AC于O點，連接OQ，

因為O是AC的中點，Q是PB的中點，所以OQ∥PD，

又因為OQ平面QAC，PD平面QAC，

所以PD∥平面QAC．

【變式】（2016·新課標Ⅱ理）α，β是兩個平面，m，n是兩條直線，有下列四個命題：

①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β．

②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n．

③如果α∥β，mα，那么m∥β．

④如果m∥n，α∥β，那么m與α所成的角和n與β所成的角相等．

其中正確的命題有_______．（填寫所有正確命題的編號）

【答案】②③④

【評析】空間線面平行與垂直關系證明往往與空間向量、空間角與距離求解等放在一起，解題方法一般有幾何法和向量法，當幾何法不易時常用向量法解決．

3．圍繞理性思維能力的考查設計立體幾何問題

概念、判斷與推理是理性思維的三種基本形式，它是以數學理解為基礎，圍繞理性思維設計高考立體幾何問題已成為常態．

【例3】已知一個空間幾何體的三視圖如圖，根據圖中標出的尺寸（單位：cm），可得這個幾何體的體積是 （ ）

A．4cm3B．5cm3

C．6cm3D．7cm3

【解析】本題重點考查三視圖的有關知識，和簡單幾何體的有關計算．此類題把三視圖轉化為直觀圖是解題的關鍵．

【變式】（2014·新課標Ⅰ理·12）如圖，網格紙上小正方形的邊長為1，粗實線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體的各條棱中，最長的棱的長度為 （ ）

【解析】從三視圖可知，可考慮在棱長為4的正方體內構造出這個四面體D－ABC，

故最長的棱長為6．

【評析】《新考綱》中三選一模塊刪去“幾何證明選講”，這就必然要求立體幾何問題的設計要以推理論證能力的考查作為重要元素．

4．與球的組合體有關的立體幾何問題不容忽視

在全國卷中，與球的組合體有關的立體幾何問題出現的頻率是比較高的，球的體積與表面積的計算、與其他立體圖形構成的組合體的有關計算．

【例4】已知正三棱柱ABC－A1B1C1的六個頂點在球O1上，又知球O2與此正三棱柱的5個面都相切，則球O1與球O2的體積之比為________

【解析】顯然正三棱柱外接球與內接球是同一點，設為O點，球O1與球O2的半徑分別為R，r，正三棱柱底面邊長為a，則正三棱柱的高為2r，

【變式】（2016·新課標Ⅲ文·11）在封閉的直三棱柱ABC－A1B1C1內有一個體積為V的球．若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，則V的最大值是 （ ）

【評析】球體問題往往先確定球心，再確定半徑，常常通過截面圖將問題轉化為平面幾何問題來解決，常常運用圓的有關性質解題．

二、2017年全國卷立體幾何命題的新動向

基于《新考綱》，2017年全國卷高考數學立體幾何部分將可能在以下幾個方面有所建樹．

1．突出立體幾何模塊與其他模塊間的融合

【例5】已知圓柱OO1底面半徑為1，高為π，ABCD是圓柱的一個軸截面．動點M從點B出發沿著圓柱的側面到達點D，其距離最短時在側面留下的曲線Γ如圖所示．將軸截面ABCD繞著軸OO1逆時針旋轉θ（0＜θ＜π）后，邊B1C1與曲線Γ相交于點P．

（1）求曲線Γ長度；

若存在，求出線段BP的長度；若不存在，請說明理由．

【簡解】（1（將圓柱側面展開成平面）；

【變式】（黃崗市2016年高三3月份質檢題）如圖，點P在正方體ABCD－A1B1C1D1的表面運動，且P到直線BC與直線C1D1的距離相等．如果將正方體在平面內展開，那么動點P的軌跡在展開圖中的形狀是 （ ）

【解析】在平面BCC1B1中，由P點到直線BC與直線C1D1的距離相等，可知P點C1的距離與到直線BC的距離相等，所以點P的軌跡是以C1為焦點，BC為準線的拋物線，可排除C，D；再在其他平面上驗證，在平面BB1A1A中，P點到BC1C1D1距離相等可轉化為P到B的距離平方比P到A1B1的距離平方大1，可求出此時P的軌跡方程，可知B符合題意．

【評析】例4還可以用幾何法求解，它是一道涉及點到平面的距離、面面角等立體幾何綜合題，同時又是一道應用函數與導數分析與解決問題應用題；變式題是一道立體幾何問題與解析幾何問題的綜合題．

2．突出體現現實情境下的立體幾何應用問題

體現現實問題情境下的應用問題，能更好地考查學生綜合運用知識解決問題的能力，體現數學學科應用的廣泛性和學科價值．

【例6】某產品包裝盒（如圖），平面ADE⊥平面ADC，矩形DCBE中，AB、BE邊的長分別為20cm和30cm，∠ACB＝∠ACD＝90°，因包裝產品的需要，要求該包裝盒平面ADE與平面ABC所成的二面角不小于60°，問：邊BC長度至少多長才能滿足要求？

【簡解】可考慮在底面對角線長為20cm，高為30cm的長方體內構造出這個四棱錐A－BCDE，設BC＝t，則AC＝，以C為原點建立如圖所示的空間直角坐標系C－xyz，

面ABC的一個法向量為n2＝（0，0，1）．

∴t≥10．即邊BC長度至少為10cm才能滿足要求．

【變式】如圖所示，ABCD是邊長為60cm的正方形硬紙片，切去陰影部分所示的四個全等的等腰直角三角形，再沿虛線折起，使得ABCD四個點重合于圖中的點P，正好形成一個正四棱柱形狀的包裝盒，E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜邊的兩個端點，設AE＝FB＝xcm．要使包裝盒容積V（cm3）最大，這時x值為________．

【簡析】，對其求導，得，易求得當x＝20時取得極大值，也就是當x＝20時，包裝盒容積V最大．

【評析】此問題具有一定現實背景數學應用問題，通過閱讀獲取信息，將實際問題轉化為數學問題．

3．突出體現數學文化立體幾何問題

【例7】（2013·上海理·13）在xOy平面上，將兩個半圓?。▁－1）2＋y2＝1（x≥1）和（x－3）2＋y2＝1（x≥3）、兩條直線y＝1和y＝－1圍成的封閉圖形記為D，如圖中陰影部分．記D繞y軸旋轉一周而成的幾何體為Ω，過（0，y）作Ω的水平截面，所得截面面積為，試用祖暅原理，求出一個平放的圓柱和一個長方體，得出Ω的體積值為________．

注：祖暅原理：“緣冪勢既同，則積不容異．”意思是說：兩等高立方體，若在每一等高處的截面面積都相同，則兩立方體的體積相等．

【解析】由題意，知一個水平放置的半徑為1高為2π的圓柱體和一個高為2底面面積8π的長方體組合成一個幾何體，這個幾何體與幾何體Ω放在一起，每個平行水平截面的截面面積都相等．根據祖暅原理，可知它們的體積一定相等，即幾何體Ω的體積為π×12×2π＋2×8π＝2π2＋16π．

【變式】《九章算術》中，將底面是直角三角形的直三棱柱稱之為“塹堵”，已知某“塹堵”的三視圖如圖所示，則該“塹堵”的表面積為 （ ）

【答案】D

【評析】我國古代數學著作如《九章算術》《數書九章》等有大量素材．如例1變式問題、2015年全國Ⅰ卷文理第6題都是《九章算術》中的問題．這類問題難度不大，關鍵是審清題意，理解給出的相關概念．

4．以數學問題解決為基礎的立體幾何微創新問題

【例8】如左圖，有兩個圓柱體，它們的底面都是半徑為1的圓．這兩個圓柱互相垂直地交疊在一起，中心軸相交，在公共部分這個幾何體里，正好可以內切一個半徑為1的球體．教科書中關于球體積公式推導，運用了“分割，求近似和，化為準確和”的方法，利用這種思想，試求它們公共部分（如右圖）的體積是多少？

【解析】設想在陰影部分中放進一半徑為1個單位長的球，使它的圓心正好在軸線的交點．其軸截面如下圖，公共部分則為一個正方形，內有一個內切圓，為單位球的截面圓，如果將截面向兩邊平移，公共部分還是一個正方形，內也有一個內切圓，是單位球被平面截得的截面．

設想用這樣的一組平面把公共部分切成n層，所有這些“薄片”都疊加起來，各圓片之和就是單位球的體積，各正方形薄片之和就是公共部分的體積，應有如下關系：

【變式】如圖，圓柱、圓錐與半球的底面直徑都為2R，半球內切于圓柱，圓椎的頂點是圓柱的底面圓心．則圓柱、圓錐與半球體積之比為________．

【答案】3∶2∶1

【評析】例7中運用數學思想去解決問題，變式問題中優美結果發現，都是微創新．

（作者單位：安徽省淮北市杜集區教育局）