高考易錯題自測卷
——解析幾何

江蘇 尚建敏浙江 張永兵

高考易錯題自測卷
——解析幾何

江蘇 尚建敏浙江 張永兵

一、選擇題

1．經過點（2，－1）且在兩坐標軸上的截距相等的直線方程為 （ ）

2．已知直線l1：x＋ay－1＝0，l2：a2x－y＋3＝0（a∈R），若l1⊥l2，則a的值是 （ ）

A．0 B．1

C．0或1 D．－1或1

3．以點（5，0），（0，5）為端點的線段的方程為 （ ）

A．x－y－5＝0

B．x＋y＋5＝0

C．x＋y－5＝0（0＜x＜5）

D．x＋y－5＝0（0≤x≤5）

4．過點（1，1）的直線與圓x2＋y2－4x－6y＋4＝0相交于A、B兩點，則｜AB｜的最小值為 （ ）

5．已知F1、F2為兩個定點，動點P滿足｜PF1｜＋｜PF2｜＝10，則動點P的軌跡是 （ ）

A．橢圓 B．圓

C．線段 D．不確定

A．4 B．12

C．16 D．48

8．設拋物線y2＝mx（m≠0）的準線與直線x＝1的距離為3，則拋物線方程為 （ ）

A．y2＝－8x

B．y2＝－16x

C．y2＝－8x或y2＝16x

D．y2＝8x或y2＝－16x

10．若動點M與兩個定點A（3，0），B（－3，0）構成的三角形周長為16，則動點M的軌跡方程為 （ ）

二、填空題

12．等腰三角形的頂點A（－4，0），底邊一個端點B的坐標為，則另一個端點P的軌跡方程為_______．

13．已知實數x、y滿足方程x2＋y2－4x＋1＝0，則z＝y－x 的最大值和最小值分別為_______．

14．若橢圓的對稱軸為坐標軸，長軸長與短軸長的和為18，焦距為6，則橢圓的方程為_____________．

15．雙曲線x2－y2＝16的左焦點為F1，點P在雙曲線上，若｜PF1｜＝10，則｜PF2｜＝________．

16．已知圓C：（x－3）2＋（y－4）2＝1和兩點A（－m，0），B（m，0），m＞0，若圓上存在點P，使得∠APB＝90°，則m 的取值范圍是_______．

18．過點（0，1）的直線且與拋物線y2＝2x僅有一個交點的直線方程為____________．

19．已知A是拋物線y2＝4x上一點，F是拋物線的焦點，直線FA交拋物線的準線于點B（點B在x軸上方），若｜AB｜＝2｜AF｜，則點A 的坐標為_______．

20．已知動圓M與圓C1：（x＋4）2＋y2＝2外切，與圓C2：（x－4）2＋y2＝2內切，則動圓圓心M的軌跡方程為____________．

【參考答案與提示】

2．C 【解析】因為l1⊥l2，所以a2－a＝0，解得a＝0或a＝1，故選C．

【易錯警示】由斜率乘積等于－1得到a的值是－1，忽略了直線l1的斜率不存在的情況．

3．D 【解析】以點（5，0），（0，5）為端點的線段的方程為x＋y－5＝0（0≤x≤5）．

【易錯警示】不注意線段與直線方程的區別．

【易錯警示】不能區別弦長與弦心距，把求最小值當作求最大值．

5．D 【解析】依題意，①當｜F1F2｜＜10時，動點P的軌跡是以F1、F2為焦點的橢圓；②當｜F1F2｜＝10，動點P的軌跡是線段｜F1F2｜；③｜F1F2｜＞10，動點P的軌跡不存在．故選D．

【易錯警示】對橢圓的定義理解不透徹，誤以為點P到兩定點的距離之和為常數的點的軌跡一定是橢圓．

所以m＋n＝16，

解方程組

所以mn＝48，故選D．

7．C 【解析】①當橢圓的焦點在x軸上，因為a2＝2，b2＝m，所以c2＝2－m，

②當橢圓的焦點在y軸上，由題意得b2＝2，a2＝m，所以c2＝m－2，

【易錯警示】由于2與m的大小關系不確定，橢圓的焦點可能在x軸或y軸上，需要分類討論．

【易錯警示】忽視m＜0的情況，注意：拋物線y2＝2px（p＞0）開口向右，拋物線y2＝－2px（p＞0）開口向左．

得（x－2）2＋（y－3）2＝4（1≤y≤3），如圖所示，

10．C 【解析】因為A、B是兩定點，｜AB｜＝6．

又三角形的周長為16，所以｜MA｜＋｜MB｜＝10．

其中2a＝10，2c＝6，即a＝5，c＝3，

所以b2＝a2－c2＝25－9＝16，

因此應去掉橢圓在x軸上的兩個端點，

11．直線x＝1和射線x＋y－1＝0（x≥1） 【解析】由方程得或，則x＋y－1＝0（x≥1）或x－1＝0，故原方程的曲線表示直線x＝1和射線x＋y－1＝0（x≥1）．

【易錯警示】注意二次根式的被開方式應大于或等于0，所以求出的是曲線的一部分．

12．（x＋4）2＋y2＝36（x≠－10且x≠2） 【解析】根據題意，由等腰三角形的特征，設P（x，y），由PA＝AB，得，

則另一個端點P的軌跡方程（x＋4）2＋y2＝36．

因為△PAB必存在，所以P、A、B不共線，

所以x≠－10且x≠2，

故點P的軌跡方程（x＋4）2＋y2＝36（x≠－10且x≠2）．

【易錯警示】因為△PAB必存在，所以P、A、B不共線，所以注意x的取值范圍是x≠－10且x≠2．【解析】z看作是直線y＝ x＋z在y軸上的截距，當直線y＝x＋z與圓相切時，縱截距z取得最大值或最小值，此時，解得z＝或，所以z的最大值為，最小值為．

【易錯警示】不理解z的幾何意義，或用點到直線的距離公式時漏掉絕對值符號．

【易錯警示】忽視焦點的位置，只求出一個方程．

因為｜PF1｜＝10，由｜｜PF1｜－｜PF2｜｜＝2a＝8，

得｜PF2｜＝10－8＝2或｜PF2｜＝10＋8＝18．

所以｜PF2｜＝2或18．

【易錯警示】對雙曲線的定義理解出錯，把｜｜PF1｜－｜PF2｜｜寫成｜PF1｜－｜PF2｜只能求出一個結果．

16．［4，6］ 【解析】由已知以AB為直徑的圓與圓C有公共點，AB中點為原點，｜AB｜＝2m，則｜m－1｜≤，解得4≤m≤6，故m的取值范圍是［4，6］．

【易錯警示】漏掉不等式中的等號．

②當所求直線斜率k＝0時，直線為y＝1，平行于x軸，它正好與拋物線y2＝2x只有一個交點；

③當k≠0時，設所求的過點（0，1）的直線為y＝kx＋1，

【易錯警示】忽視k＝0與斜率不存在的情形，對于直線與拋物線“相切”和“只有一個交點”理解不透徹．

由

②若點A位于x軸下方，則此時點F（1，0）是線段AB的中點，

又點B的橫坐標是－1，

【易錯警示】忽視點A在x軸下方的情況，導致得到的答案不全面．

又C1（－4，0），C2（4，0），所以｜C1C2｜＝8，

根據雙曲線定義知，點M的軌跡是以C1（－4，0），C2（4，0）為焦點的雙曲線的右支．

所以b2＝c2－a2＝14，

【易錯警示】不能區別｜｜MC1｜－｜MC2｜｜與｜MC1｜－｜MC2｜的含義；寫方程時忽視了限制條件．

（作者單位：江蘇省贛榆縣海頭高級中學，浙江省杭州市黃公望高級中學）