絕對(duì)值不等式的求解策略

河北 陳星萌

絕對(duì)值不等式的求解策略

河北 陳星萌

解絕對(duì)值不等式是高考的熱點(diǎn)和重點(diǎn)，而解含絕對(duì)值的不等式的關(guān)鍵是去掉絕對(duì)值的符號(hào)，其基本思想是把含絕對(duì)值的不等式轉(zhuǎn)為不含絕對(duì)值的不等式．

解含有絕對(duì)值不等式時(shí)，去掉絕對(duì)值符號(hào)的方法主要有：公式法、分段討論法、平方法、幾何法等．這幾種方法應(yīng)用時(shí)各有利弊，在解只含有一個(gè)絕對(duì)值的不等式時(shí)，用公式法較為簡(jiǎn)便；但是若不等式含有多個(gè)絕對(duì)值時(shí)，則應(yīng)采用分段討論法；應(yīng)用平方法時(shí)，要注意只有在不等式兩邊均為正的情況下才能運(yùn)用．

一般的，含絕對(duì)值不等式的常用解法主要有如下幾種方法，我們分別討論．

一、基本性質(zhì)法

二、幾何意義法

根據(jù)絕對(duì)值的幾何意義，｜x｜是指數(shù)軸上點(diǎn)x到原點(diǎn)的距離；｜x1－x2｜是指數(shù)軸上x1、x2兩點(diǎn)間的距離；而｜xa｜＋｜x－b｜的幾何意義則是在數(shù)軸上設(shè)與實(shí)數(shù)x、a、b對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為P、A、B，上式的幾何意義為｜PA｜＋｜PB｜．因此，我們完全能夠利用絕對(duì)值的幾何意義簡(jiǎn)便求解以下類型的不等式：｜ax＋b｜≤c；｜ax＋b｜≥c；｜x－a｜＋｜x－b｜≥c；｜x－a｜＋｜x－b｜≤c．

【例2】解下列不等式：

（1）｜x－1｜＋｜x＋2｜≥5；

（2）｜x＋1｜＋｜x－1｜≥3．

【解析】（1）｜x－1｜＋｜x＋2｜≥5的幾何意義是數(shù)軸上的點(diǎn)到1與－2的距離之和大于等于5的實(shí)數(shù)，所以不等式的解為x≤－3或x≥2，即不等式的解集為（－∞，－3］∪［2，＋∞）．

（2）如下圖，設(shè)數(shù)軸上與－1、1對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A、B，那么A、B兩點(diǎn)的距離和為2，因此區(qū)間［－1，1］上的數(shù)都不是不等式的解．

設(shè)在A點(diǎn)左側(cè)有一點(diǎn)A1到A、B兩點(diǎn)的距離和為3，A1對(duì)應(yīng)數(shù)軸上的x．

同理設(shè)B點(diǎn)右側(cè)有一點(diǎn)B1到A，B兩點(diǎn)距離和為3，B1對(duì)應(yīng)數(shù)軸上的x，

從數(shù)軸上可看到，點(diǎn)A1、B1之間的點(diǎn)到A，B的距離之和都小于3；點(diǎn)A1的左邊或點(diǎn)B1的右邊的任何點(diǎn)到A、B的距離之和都大于3．

三、定義法（或叫零點(diǎn)分區(qū)間法）

含有兩個(gè)或兩個(gè)以上絕對(duì)值符號(hào)的不等式，可用零點(diǎn)分區(qū)間法脫去絕對(duì)值符號(hào)，將其轉(zhuǎn)化為與之等價(jià)的不含絕對(duì)值符號(hào)的不等式（組）求解．

用零點(diǎn)分段法解絕對(duì)值不等式的步驟：①求零點(diǎn)；②劃區(qū)間，去掉絕對(duì)值符號(hào)；③分別解去掉絕對(duì)值的不等式；④取每個(gè)結(jié)果的并集，注意在分段時(shí)不要遺漏區(qū)間的端點(diǎn)值．

【例3】解不等式：｜x－2｜＋x｜x＋2｜＞2．

【解析】當(dāng)x≤－2時(shí)，不等式化為（2－x）＋x（－x－2）＞2，解得－3＜x≤－2；

當(dāng)－2＜x＜2時(shí)，不等式化為（2－x）＋x（x＋2）＞2，解得－2＜x＜－1或0＜x＜2；

當(dāng)x≥2時(shí)，不等式化為（x－2）＋x（x＋2）＞2，解得x≥2；

所以原不等式的解集為｛x｜－3＜x＜－1或x＞0｝．

四、平方法

利用兩邊平方也可以去掉絕對(duì)值符號(hào)，這適應(yīng)于兩邊都是正數(shù)的絕對(duì)值不等式．對(duì)于形如｜ax＋b｜≥｜c(diǎn)x＋d｜的不等式，可以利用兩邊平方的形式轉(zhuǎn)化為二次不等式求解．

【例4】解下列不等式：

（1）｜2x－1｜＞｜2x－3｜；

（2）x2－｜x｜－2＜0．

【解析】（1）本題也可采取前面的方法：采取用零點(diǎn)分區(qū)間討論去掉絕對(duì)值，但是比較復(fù)雜．如果利用兩邊平方，即根據(jù)｜a｜＞｜b｜a2＞b2解之，則更顯得流暢簡(jiǎn)潔．原不等式同解于（2x－1）2＞（2x－3）2，即4x2－4x＋1＞4x2－12x＋9，即8x＞8，得x＞1．所以原不等式的解集為｛x｜x＞1｝．

（2）不等式原不等式可化為｜x｜2－｜x｜－2＜0，解得－1＜｜x｜＜2．∵｜x｜≥0，∴0≤｜x｜＜2，∴－2＜x＜2．

∴原不等式的解集為｛x｜－2＜x＜2｝．

【變式】解不等式｜x－2｜＜｜x＋1｜．

五、數(shù)形結(jié)合法

對(duì)于｜x－a｜＋｜x－b｜≥c（c＞0）和｜x－a｜＋｜x－b｜≤c（c＞0）形式的不等式，可以直接去掉絕對(duì)值，轉(zhuǎn)化成分段函數(shù)，畫出分段函數(shù)的圖象，也可以作出不等式兩邊所對(duì)應(yīng)的兩個(gè)函數(shù)和y1＝｜x－a｜＋｜x－b｜和y2＝c的圖象，然后結(jié)合圖象圖象求解．

【例5】解不等式｜2x－1｜＋｜x－3｜≤4．

其圖象如圖所示，與直線y＝4相交于點(diǎn)A（0，4）和B（2，4），∴該不等式的解集為｛x｜0≤x≤2｝．

【變式】已知函數(shù)f（x）＝｜x＋1｜－｜2x－3｜，求不等式｜f（x）｜＞1的解集．

【答案】f（x）＝｜x＋1｜－｜2x－3｜

故y＝f（x）的圖象如圖所示．

六、含參數(shù)的絕對(duì)值不等式

的取值范圍是_______．

【解析】通過(guò)討論x的范圍結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)得到Δ≥0，求出a的范圍即可．

若存在x∈R使g（x）≥f（x），

即x2＋｜x－a｜＋a－4≤0有解，

x≥a時(shí)，x2＋x－4≤0，顯然有解，

x＜a時(shí)，x2－x＋2a－4≤0，

解含有參數(shù)的絕對(duì)值不等式時(shí)，除按絕對(duì)值不等式來(lái)解外，還必須對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論，在討論時(shí)，要注意“不重不漏”的原則．同時(shí)，解含有參數(shù)的絕對(duì)值不等式時(shí)，常常由于忽略了對(duì)參數(shù)的正負(fù)討論而出現(xiàn)錯(cuò)誤，應(yīng)該注意避免．

形如｜f（x）｜＞g（x）的不等式可借助｜ax＋b｜＞c的解法，轉(zhuǎn)化為f（x）＜－g（x）或f（x）＞g（x）（g（x）＞0），當(dāng)然｜f（x）｜＜g（x）－g（x）＜f（x）＜g（x）．如果f（x）的正負(fù)能確定的話，也可以直接去掉絕對(duì)值符號(hào)．

【例7】設(shè)a＞0，b＞0，解關(guān)于x的不等式：｜ax－2｜≥bx．

【解析】原不等式可化為ax－2≥bx或ax－2≤－bx，即

【答案】原不等式可化為｜x－1｜＜｜x＋a｜．

兩邊平方得x2－2x＋1＜x2＋2ax＋a2，

即2（a＋1）x＞1－a2，當(dāng)a＋1＞0，即a＞－1時(shí)，

當(dāng)a＋1＝0，即a＝－1時(shí)，∴此時(shí)原不等式無(wú)解．

當(dāng)a＋1＜0，即a＜－1時(shí)，

縱觀近年各地高考數(shù)學(xué)試題，在對(duì)不等式的考查中，絕對(duì)值不等式的解法是高考的熱點(diǎn)和重點(diǎn)問(wèn)題，可謂每年必考、每卷必考，題目難度一般為中、低檔，著重考查利用數(shù)形結(jié)合的能力以及化歸與轉(zhuǎn)化思想．高考對(duì)這部分要求不是太高，高考中有選擇題和填空的形式，而新課標(biāo)等則以選做題的形式考查．可以預(yù)計(jì)2017年高考絕對(duì)值不等式仍將是考試的重點(diǎn)，應(yīng)引起我們的高度重視．

（作者單位：河北省衡水市第一中學(xué)）