一道函數題解法探究與推廣

廣東 鄭榮坤

一道函數題解法探究與推廣

廣東 鄭榮坤

（1）求f（x）的最小值；

（2）若方程f（x）＝a有兩個根x1，x2（x1＜x2），證明：x1＋x2＞2．

本題第（1）問的解答比較簡單，在此我們不對它深入探究．

所以f（x）在（0，1）上單調遞減，在（1，＋∞）上單調遞增，故f（x）的最小值為f（1）＝1．

以下我們重點探究第（2）問的解法．

一、探究第二小題的多種解法

本小題主要考查導數與不等式的綜合問題，此類不問題方法技巧性強，很多學生難以掌握其解題方法，近幾年來在各地高考題和模擬考題中，此類問題屢屢出現．下面筆者對此題解法做一些探究，并摸索出了一些解決此類題型的方法．

【評注】此解法由命題人提供的，由題目條件推出x1，x2的等式，用分析法尋找所要構造的函數，先換元再求所得函數的最值，這是證明此類不等式的常用方法和技巧．但這樣的方法學生掌握起來往往很困難，為了讓優化解題思路，下面繼續探究解法．

當x∈（0，1）時f′（x）＜0，所以y＝f（x）在（0，1）遞減，

當x∈（1，＋∞）時f′（x）＞0，所以y＝f（x）在（1，＋∞）遞增．

【評注】此解法由（1）求出的函數極值點為1，設x0＝2－x1，x0與x1關于極值點對稱，通過比較｜f′（x0）｜與｜f′（x1）｜的大小來判斷曲線的凹凸程度，從而證明不等式．此解法雖然過程簡單，但解題思路大部分學生仍然覺得很難，所以筆者引導學生繼續作出下面的解法探究．

當x∈（0，1）時，f′（x）＜0，所以y＝f（x）在（0，1）上單調遞減，

當x∈（1，＋∞）時，f′（x）＞0，所以y＝f（x）在（1，＋∞）上單調遞增，

即當t∈（0，1）時，g′（x）＜0，g（x）單調遞減．

故x1＋x2＞2．

【評注】為了優化上述解法思路，筆者引導學生探究出此解法，設x0＝2－x1，x0與x1關于極值點對稱，通過構造差函數g（x）＝f（x）－f（2－x），求差函數最值從而證明不等式．下面筆者介紹對數平均不等式，讓學生利用對數平均不等式來證明．

取等條件：當且僅當a＝b時，等號成立．

利用對數平均不等式，可以得到如下解法．

【解法5】若方程f（x）＝a有兩個根x1，x2（0＜x1＜x2），

【評注】運用“對數平均值不等式”，這種類型的題直接由此結論即可證得，那么這道壓軸題就顯得很單薄了．為了更好把握此類問題的解答，我們從此類函數的特征挖掘發現，它是極值點偏移函數，下面讓我們通過研究極值點的偏移，更好地理解解決這一類問題．

二、極值點偏移問題的定義及其判斷方法

1．極值點偏移問題的定義

對于函數y＝f（x）在區間（a，b）只有一個極值點x0，方程f（x）＝0的解分別為x1，x2，且a＜x1＜x0＜x2＜b．

2．極值點偏移問題的常用判斷方法

對于可導函數y＝f（x）在（x1，x2）內只有一個極大（小）值點x0，且f（x1）＝f（x2）．

三、常用判斷方法的應用

1．不含參數的問題

2．含參數的問題

【例2】（2016·新課標Ⅰ）已知函數f（x）＝（x－2）ex＋a（x－1）2有兩個零點．設x1，x2是f（x）的兩個零點，證明：x1＋x2＜2．

【證明】設x1＜x2，不難求出x1∈（－∞，1），x2∈（1，＋∞），2－x2∈（－∞，1），f（x）在（－∞，1）上單調遞減，所以x1＋x2＜2等價于f（x1）＞f（2－x2），即f（2－x2）＜0．由于f（2－x2）＝－x2e2－x2＋a（x2－1）2，而f（x2）＝（x2－2）ex2＋a（x2－1）2＝0，

所以f（2－x2）＝－x2e2－x2－（x2－2）ex2．

設g（x）＝－xe2－x－（x－2）ex，

則g′（x）＝（x－1）（e2－x－ex）．

所以當x＞1時，g′（x）＜0，而g（1）＝0，

故當x＞1時，g（x）＜0．

從而g（x2）＝f（2－x2）＜0，故x1＋x2＜2．

【總結】解決極值點偏移問題有多種方法，但本質上都是把兩個變元的不等式轉化為一元問題求解．其中，筆者認為構造對稱函數是最常用的方法，此方法解題思路學生容易接受．近幾年在各地高考題和模擬考題中，極值點偏移問題屢屢出現，雖然我們無法猜測高考命題者的出題意圖，但我們在高考備考過程中要高度重視，常用方法必須掌握．

（作者單位：廣東省揭陽市惠來縣第一中學）