兩類數列不等式的證明探析

福建 彭耿鈴

兩類數列不等式的證明探析

福建 彭耿鈴

不等式的證明因其思維跨度大、構造性強，需要具備較高的放縮技巧而充滿思考性和挑戰性，能全面而綜合地考查學生的后繼學習潛能，因而成為高考試題考查的極好素材，備受青睞．本文就此類題目進行總結梳理，希望讀者能決勝于高考．

一、對數型數列不等式的證明

【例1】（2014·陜西理）設函數f（x）＝ln（1＋x），g（x）＝xf′（x）（x≥0），其中f′（x）是f（x）的導函數．

（Ⅰ）令g1（x）＝g（x），gn＋1（x）＝g［gn（x）］（n∈N＊），求gn（x）的表達式；

（Ⅱ）若f（x）≥ag（x）恒成立，求實數a的取值范圍；

（Ⅲ）設n∈N＊，比較g（1）＋g（2）＋…＋g（n）與nf（n）的大小，并加以證明．

【解析】（Ⅰ）（Ⅱ）略；

在解題（Ⅲ）中引入（Ⅰ）（Ⅱ）的結論，是近年來高考創新型試題的一個顯著特點，它有利于培養同學們的即時應用能力與創新意識，這應在平時的訓練加以重視．

（Ⅰ）用a表示b，c；

（Ⅱ）若f（x）≥lnx在［1，＋∞）上恒成立，求a的取值范圍；

【小結】在證明形對數型數列不等式，其常用的證明方法是設數列不等式的左、右兩邊分別為Sn，Tn，只要控制Sn的通項an大于或小于Tn的通項bn即可，而證明an＞bn（an＜bn），一般利用本題中（Ⅰ）（Ⅱ）的特殊結論，再迭加求和即可證明不等式．

二、常數形數列不等式的證明

【例3】（2014·新課標卷Ⅱ）已知數列｛an｝滿足an＝1，an＋1＝3an＋1．

（Ⅰ）若x1，x3，x5成等比數列，求參數λ的值；

【解析】（Ⅰ）（Ⅱ）略．

由（Ⅱ）可知，當λ＞1時，xn＋1＝λn－1xn，yn＋1≥λn－1yn，

【總結】在證明常數形數列不等式，其常用的證明方法是構造一個小于或大于不等式的右邊常數的數列和Tn，只要控制不等式左邊的通項an大于或小于Tn的通項bn即可．

（作者單位：福建省泉州市第七中學）