含絕對值的雙變量問題的求解策略

陜西 韓紅軍

含絕對值的雙變量問題的求解策略

陜西 韓紅軍

自從2015年全國Ⅱ卷考查了含絕對值雙變量“任意性”問題之后，高考模擬試題陸續出現了此類問題．該類問題綜合考查了函數、導數以及不等式等方面的知識，涉及了函數與方程思想、等價轉化思想等，對學生有較高的要求．本文系統探究含絕對值雙變量“任意性”與“存在性”問題的求解策略．

一、“任意任意型”

對于任意的x1，x2∈D，｜f（x1）－f（x2）｜≤m恒成立［f（x）］max－［f（x）］min≤m恒成立．

（1）當a＞1時，討論函數f（x）的單調性．

（2）由（1）知，當a∈（3，4）時，f（x）在［1，2］上單調遞減，f（1）是最大值，f（2）是最小值．

（1）討論f（x）的單調性；

（2）若對任意的a∈（－3，－2），x1，x2∈［1，3］，恒有（m＋ln3）a－2ln3＞｜f（x1）－f（x2）｜成立，求實數m的取值范圍．

（2）由（1）知，當a∈（－3，－2）時，函數f（x）在［1，3］上單調遞減，

原問題等價于對任意的a∈（－3，－2），恒有［f（x）］max－［f（x）］min＜（m＋ln3）a－2ln3，

二、“存在存在型”

1．存在x1，x2∈D，使得｜f（x1）－f（x2）｜≥m成立［f（x）］max－［f（x）］min≥m成立．

【例3】（2016·江西模擬）已知函數f（x）＝ax＋x2－xlna（a＞0，且a≠1）．若存在x1，x2∈［－1，1］，使得｜f（x1）－f（x2）｜≥e－1（e是自然對數的底數），求實數a的取值范圍．

【解析】∵存在x1，x2∈［－1，1］，使得｜f（x1）－f（x2）｜≥e－1成立，而當x∈［－1，1］時，｜f（x1）－f（x2）｜≤f（x）maxf（x）min，∴只要f（x）max－f（x）min≥e－1即可．

又f′（x），f（x）的變化情況如下表所示：

∴函數f（x）在［－1，0］上是減函數，在［0，1］上是增函數，∴當x∈［－1，1］時，f（x）的最小值f（x）min＝f（0）＝1，f（x）的最大值f（x）max為f（－1）和f（1）中的最大者．

而g（1）＝0，故當a＞1時，g（a）＞0，即f（1）＞f（－1）；當0＜a＜1時，g（a）＜0，即f（1）＜f（－1）．

∴當a＞1時，f（1）－f（0）≥e－1，即a－lna≥e－1，函數y＝a－lna在a∈（1，＋∞）上是增函數，解得a≥e．

【評注】本題要注意等價轉化，關鍵是把已知條件轉化為求函數f（x）的最大值和最小值，最小值為f（0）＝1，最大值為f（－1）和f（1）中的最大者，再分類討論得出結論．

2．存在x1，x2∈D，使得｜f（x1）－g（x2）｜≤m成立當f（x）max＜g（x）min時，［g（x）］min－［f（x）］max≤m成立．

【例4】已知x＝3是函數f（x）＝（x2＋ax＋b）e3－x，x∈R的一個極值點．

（1）求a與b的關系式（用a表示b），并求f（x）的單調區間；

【解析】（1）∵f（x）＝（x2＋ax＋b）e3－x，

∴f′（x）＝（2x＋a）e3－x＋（x2＋ax＋b）e3－x（－1）＝－［x2＋（a－2）x＋b－a］e3－x．

由題意得：f′（3）＝0，即32＋3（a－2）＋b－a＝0，即b＝－2a－3．

∴f（x）＝（x2＋ax－2a－3）e3－x且f′（x）＝－（x－3）·（x＋a＋1）e3－x．

令f′（x）＝0得x1＝3，x2＝－a－1．

∵x＝3是函數f（x）＝（x2＋ax＋b）e3－x，x∈R的一個極值點，

∴x1≠x2，即a≠－4．故a與b的關系式為b＝－2a－3，a≠－4．

①當a＜－4時，x2＝－a－1＞3，由f′（x）＞0得單調遞增區間為（3，－a－1）；由f′（x）＜0得單調遞減區間為（－∞，3）和（－a－1，＋∞）；

②當a＞－4時，x2＝－a－1＜3，由f′（x）＞0得單調遞增區間為（－a－1，3）；由f′（x）＜0得單調遞減區間為（－∞，－a－1）和（3，＋∞）．

（2）由（1）知，當a＞0時，x2＝－a－1＜0，f（x）在［0，3］上單調遞增，在［3，4］上單調遞減，f（x）min＝min｛f（0），f（4）｝＝－（2a＋3）e3，f（x）max＝f（3）＝a＋6．∴f（x）在［0，4］上的值域為［－（2a＋3）e3，a＋6］．

（作者單位：陜西省麟游縣中學）