賞析由數學家引發的數學題

江蘇 王佩其

賞析由數學家引發的數學題

江蘇 王佩其

數學的發展，離不開歷代數學家的貢獻．當數學文化走進數學高考時，由數學家引發的數學題便應運而生，這些試題集數學文化與數學知識于一體，已成為當今高中數學一道亮麗的風景．我們一起來賞析幾例．

一、數學家與函數問題

【狄利克雷】約翰·彼得·古斯塔夫·勒熱納·狄利克雷（Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet，勒熱納·狄利克雷是姓，1805年2月13日－1859年5月5日），德國數學家．他是解析數論的奠基者，也是現代函數概念的定義者．

①f（f（x））＝0；

②函數f（x）是偶函數；

③任取一個不為零的有理數T，f（x＋T）＝f（x）對任意的x∈R恒成立；

④存在三個點A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））C（x3，f（x3）），使得△ABC為等邊三角形．其中真命題的個數是 （ ）

A．1 B．2

C．3 D．4

【解析】當x為有理數時f（x）＝1，當x為無理數時，f（x）＝0，

∴當x為有理數時，f（f（x））＝f（1）＝1；

當x為無理數時，f（f（x））＝f（0）＝1，

即不論x是有理數還是無理數，均有f（f（x））＝1，故①不正確．

∵有理數的相反數還是有理數，無理數的相反數還是無理數，

∴對任意x∈R，都有f（－x）＝f（x），故②正確．

③若x是有理數，則x＋T也是有理數；若x是無理數，則x＋T也是無理數，∴根據函數的表達式，任取一個不為零的有理數T，f（x＋T）＝f（x）對x∈R恒成立，故③正確．

綜上，應選C．

【評注】本題主要考查分段函數的基本性質．借助狄利克雷函數考查了分段函數的函數值的計算、分段函數周期性與奇偶性及其分段函數的應用．題干新穎，難度一般．

二、數學家與數列問題

【斐波那契】比薩的列奧納多，又稱斐波那契（Leonardo Pisano，Fibonacci，Leonardo Bigollo，1170年－1250年），意大利數學家，是西方第一個研究斐波那契數列的人，并將現代書寫數和乘數的位值表示法系統引入歐洲．

【例2】意大利著名數學家斐波那契在研究兔子繁殖問題時，發現有這樣一列數：1，1，2，3，5，8，13，…，其中從第三個數起，每一個數都等于它前面兩個數的和，人們把這樣的一列數所組成的數列｛an｝稱為“斐波那契數列”，該數列是一個非常美麗、和諧的數列，有很多奇妙的性質，比如：隨著項數的增加，前一項與后一項的比值越逼近黃金分割0．6180339887．若把該數列｛an｝的每一項除以4所得的余數按相對應的順序組成新數列｛bn｝，在數列｛bn｝中第2016項的值是________．

【解析】由題意得，數列1，1，2，3，5，8，13，…，除以4所得的余數分別為1，1，2，3，1，0，1，1，2，3，1，0，…，即新數列｛bn｝是周期為6的周期數列，所以b2016＝b336×6＝a6＝0．

【評注】本題主要考查了數列的綜合應用問題，其中解答中涉及數列的遞推關系式的應用、數列的周期性的應用等知識點的考查，著重考查了學生分析問題和解答問題的能力，試題有一定的難度，屬于中檔試題．本題的解答中仔細審題，根據數列的遞推關系得出數列為周期數列是解答的關鍵．

三、數學家與解析幾何問題

【歐拉】萊昂哈德·歐拉（Leonhard Euler，1707年4月15日－1783年9月18日），瑞士數學家、自然科學家．歐拉是18世紀數學界最杰出的人物之一，他不但為數學界做出貢獻，更把整個數學推至物理的領域．他是數學史上最多產的數學家，平均每年寫出八百多頁的論文，還寫了大量的力學、分析學、幾何學、變分法等課本，《無窮小分析引論》《微分學原理》《積分學原理》等都成為數學界中的經典著作．

【例3】數學家歐拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心，依次在同一條直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，這條直線后人稱為三角形的歐拉線．已知△ABC的頂點A（2，0），B（0，4），若其歐拉線方程為x－y＋2＝0，則頂點C的坐標是________．

即x－2y＋3＝0．

∴△ABC的外心為（－1，1）．

則（m＋1）2＋（n－1）2＝32＋12，

整理得m2＋n2＋2m－2n＝8，②

聯立①②，得m＝－4，n＝0或m＝0，n＝4．

當m＝0，n＝4時B，C重合，舍去．

∴頂點C的坐標是（－4，0）．

【評注】本題引進歐拉線，增強了試題的數學文化．本題主要考查直線方程，利用方程思想求點的坐標，難度中等．

四、數學家與立體幾何問題

【阿基米德】阿基米德（公元前287年—公元前212年），偉大的古希臘哲學家、百科式科學家、數學家、物理學家、力學家，靜態力學和流體靜力學的奠基人，并且享有“力學之父”的美稱，阿基米德和高斯、牛頓并列為世界三大數學家．

【例4】如圖是古希臘數學家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻著一個圓柱，圓柱內有一個內切球，這個球的直徑恰好與圓柱的高相等．相傳這個圖形表達了阿基米德最引以自豪的發現“圓柱容球定理”．我們來重溫這個偉大發現：

（1）求圓柱的體積與球的體積之比；

（2）求圓柱的表面積與球的表面積之比．

【解析】（1）設圓柱的高為h，底面半徑為r，求的半徑為R，

【評注】本題考查球與圓柱的內切及體積和表面積的算法，難度不大，但必須記住有關球體與柱體的體積與表面積的計算公式．

五、數學家與算法初步問題

【劉徽】劉徽（約公元225年—295年），漢族，山東鄒平縣人，魏晉期間偉大的數學家，中國古典數學理論的奠基人之一．是中國數學史上一個非常偉大的數學家，他的杰作《九章算術注》和《海島算經》，是中國最寶貴的數學遺產．

【例5】公元263年左右，我國數學家劉徽發現，當圓內接多邊形的邊數無限增加時，多邊形面積可無限逼近圓的面積，由此創立了割圓術，利用割圓術劉徽得到了圓周率精確到小數點后面兩位的近似值3．14，這就是著名的徽率．如圖是利用劉徽的割圓術設計的程序框圖，則輸出的n值為 （ ）

A．12 B．24 C．48 D．96

【解析】由程序框圖，n，S值依次為：n＝6，S＝2．59808；n＝12，S＝3；n＝24，S＝3．10583，此時滿足S≥3．10，輸出n＝24．應選B．

【評注】本題考查程序框圖．解題時要注意兩種循環結構的區別，這也是容易出錯是地方：當型循環與直到型循環．直到型循環是“先循環，后判斷，條件滿足時終止循環”；而當型循環則是“先判斷，后循環，條件滿足時執行循環”；兩者的判斷框內的條件表述在解決同一問題時是不同的，它們恰好相反．

六、數學家與合情推理問題

【伯努瓦·曼德爾布羅】伯努瓦·曼德爾布羅，世界“分形幾何之父”，1924年11月20日出生于波蘭，童年時隨家人移居法國，后來在美國擔任耶魯大學名譽教授．2010年10月14日，伯努瓦·曼德爾布羅在美國馬薩諸塞州劍橋辭世，享年85歲．

【例6】分形幾何學是數學家伯努瓦·曼德爾布羅在20世紀70年代創立的一門新的數學學科，它的創立為解決傳統科學眾多領域的難題提供了全新的思路．按照如圖甲所示的分形規律可得如圖乙所示的一個樹形圖：記圖乙中第n行白圈的個數為an，則：

【評注】本題主要考查了與數列有關的歸納推理，歸納推理的一般步驟：（1）通過觀察個別情況發現某些相同的性質；（2）從已知的相同性質中推出一個明確的表達的一般性的命題，正確理解歸納推理的步驟是解答此類問題的關鍵，本題的解答中，根據題設中分形規律，則可得第一行為（1，0）；第二行為（2，1）；第三行為（5，4）；第四行為（14，13），各行白圈數乘以2，分別是2，4，10，28，82，…，即1＋1，3＋1，9＋1，27＋1，81＋1，…，即可得出an的表達式．

七、數學家與數學猜想問題

【科拉茨】洛薩·科拉茨（Lothar Collatz，1910．7．6－1990．9．26），德國數學家，于1937年提出最早提出“3N＋1猜想”．

（1）如果n＝2，則按照上述規則施行變換后的第8項為________．

（2）如果對正整數n（首項）按照上述規則施行變換后的第8項為1（注：1可以多次出現），則n的所有不同值的個數為________．

則n的所有可能取值為2，3，16，20，21，128，共6個．

【評注】數學猜想是推動數學理論發展的強大動力．數學猜想是數學發展中最活躍、最主動、最積極的因素之一，是人類理性中最富有創造性的部分．在數學試題中引入數學猜想，并讓考生沿著數學猜想的思路探究有關新的問題，不僅考查了考生的探究能力，而且能讓試題更具有數學味兒．

（作者單位：江蘇省太倉市明德高級中學）