面積法在中學數學解題中的應用

安徽省合肥育英學校 趙 杰

面積法在中學數學解題中的應用

安徽省合肥育英學校 趙 杰

面積及面積法相關知識是中學數學學科教學中的重要內容之一，通過對面積和面積法的學習，一方面能夠使學生更好、更直觀地學習、理解和掌握數學知識，另一方面通過面積法構建“數形結合”幾何模型，能夠將中學數學中一些較為抽象和代數化的知識進行更為直觀、具象的幾何解釋。這些都對培養學生的數學品質，理解數學思想，提升和強化學生的具象思維和直覺思維等大有裨益。

面積法；數形結合

一、面積法的定義

面積法是在面積理論基礎上所推演出來的利用面積求解直接相關或間接相關數學問題的一種方法。關于面積法的定義，現行的教材上有明確的表述，即：采用某種特定的手段，使面積與面積、面積與邊角關系等相互轉化，從而使問題更加簡單直觀、易于解決的一種方法。在中學數學解題中，面積法是較為常見且運用頻率較多的一種方法，其通常被運用于計算平面幾何圖形的面積問題，也常用于邊角關系、線段的“和差倍分”關系等問題的證明。學生在解題過程中，若能靈活、熟練地使用面積法，將大大縮減解題步驟，降低問題難度，從而達到事半功倍的學習效果。

二、面積法在中學數學解題中的應用

在本章，筆者就簡要介紹面積法在中學數學解題中的幾種巧用。

1.用面積法證明線段間的關系

面積法的運用十分廣泛，在證明線段的“和差倍分”關系時，面積法的作用和便捷性也不容忽視。通常情況下，證明平面圖形線段的“和差倍分”關系大多需要添加一些輔助線，而采用面積法則大多數情況無需添作輔助線就可完成證明。即采用面積法求證線段間的關系，可以結合題目中已給出的條件來搭建圖形面積間的關系，從而達到便捷解題的目的。與此同時，采用面積法求證線段的“和差倍分”關系還有助于開闊學生思路，啟發學生思維，對學生綜合素質的發展和提升十分有利。

例1 如圖1所示，在△ABC中，CE為B邊上的高，BD為AC邊上的高，并且AB＞AC，求證：BD＞CE。

分析：本題求證線段BD與CE的大小關系，這屬于線段“和差倍分”關系證明題中的一種。用面積法求證較為簡單直觀，可操作性很強。在證明過程中，教師可以將證明任務D＞CE轉化為對△ABC的面積構建。

圖1

2.用面積法證明線段的比例等式

在證明線段的比例等式時面積法的作用也非常大，證明方法采用面積法，通過“面積”這一橋梁，巧妙地證明了幾何圖形中線段的比例關系，既直觀又清晰，同時易于被學生所學習、理解和掌握。

例2如圖2所示，已知△ABC中，E為AD的中點，連接BE，并延長交AC于點F，若BD∶CD=2∶1，求證AF∶FC=2∶3。

圖2

3.用面積法得到一些有用的結論

（1）有一條公共邊的兩個三角形面積的比，等于它們的第三頂點連線被公共邊分成的兩條線段的比（內分比或外分比）。

（2）等邊三角形內任一點到各邊的距離的和是一個定值。

（3）梅涅勞斯Menelaus定理。

（4）（2）中推廣到任意正n邊形，其定值是邊心距的n倍。

面積這塊內容在中學數學教學中占據重要地位，其貫穿中學數學教學的始終。通過學習面積和面積法，并在數學解題中巧妙地運用面積法求解和證明問題，既可以幫助學生深刻理解“數形結合”的思想內涵，使其在解題過程中自覺樹立起“數形結合”觀念，建構出直觀的幾何模型和知識框架，進而掌握數學知識的本質內容，靈活運用、觸類旁通，有力地打破傳統中學數學教學中容易形成的思維定式弊端，又可以培養起學生的幾何直觀，化繁為簡，化抽象為具象，解決以往學生普遍反映的畏懼平面幾何這一問題，有助于增強學生自信，提高其數學素養和綜合素質。

[1]黃啟林.面積問題與面積方法[J].數學通訊，2011（09）.

[2]黃勇等.巧用面積法解幾何題[J].語數外學習，2014（08）.