例析“恒成立”問題的解題策略

福建省三明市寧化第一中學 涂海濱

例析“恒成立”問題的解題策略

福建省三明市寧化第一中學 涂海濱

不等式中恒成立問題是高中數學學習和考試中最常見的題型之一。對于這類問題,學生經常是束手無策,不知道從哪里下手,找不到問題的突破口,因而感覺十分困難。解決這類問題主要是運用化歸與轉化的數學思想、數形結合思想，借助函數的性質、導數在最值中的應用予以求解。以下是筆者在平時的教學中的一些經驗總結，著力在問題的類型特點和解答策略方面給大家一些思考和借鑒。

一、分離參數，轉化為求函數最值法

這是解決含參數不等式恒成立問題的常見方法，即將參數與變量分離于不等式的兩邊，轉化為參數與函數之間的關系，然后根據題設中變量的取值范圍求出變量一側函數的最值，最終確定參數的范圍。這種方法可避免分類討論的麻煩，使問題得到簡單明快的解決，從而縮短解題的時間。這種方法適合于分離變量過程中，不等式的移項等步驟簡單明了，移項后變量一側函數的最值易求。具體示例如下：

二、數形結合，直觀求解法

數學家華羅庚曾說：“數形結合百般好，隔離分家萬事休，幾何代數統一體，永遠聯系莫分離。”“數”與“形”反映了事物兩個方面的特性，數形結合就是把抽象難懂的數學語言、數量關系與直觀、形象的幾何圖形結合起來，通過抽象思維與形象思維的結合，使復雜的問題簡單化、抽象的問題具體化，從而達到優化解題過程的目的。許多不等式都可以通過移項，將一條含參數的動直線分離到不等式的一邊（筆者稱該法為分離動直線），或者通過移項，將兩個在同一處取到極值的函數分兩邊（筆者稱該法為分離同極值點函數），這類題型均可采用數形結合法求解，所以數形結合策略在不等式恒成立問題的解決過程中也扮演著重要的角色。

三、分類討論，直接求最值法

對于某些含參不等式恒成立問題，不易分離參數，也不易采取數形結合法，則可選擇討論含參函數的最值策略。具體示例如下：

四、端點效應，求出參數范圍的必要性，再證明所求范圍的充分性

“分類討論，直接求最值法”是解決恒成立問題的基本方法，但分類討論是大部分學生懼怕的過程，對于某些不等式的恒成立問題中，變量范圍的端點會使得該不等式的左右兩邊式子恒相等，則可使用端點效應法，此法可使問題得到簡單明快的解決，從而縮短解題的時間。示例如下：

五、函數比較，單調性法

在雙變量恒成立問題中，若兩變量分兩邊后，左右兩邊的函數形式一致，即可利用函數單調性來解決。示例如下：

六、整合變量，變更主元

在雙變量恒成立問題中，若兩變量可整合成一個變量，即可轉換為單變量的恒成立問題來解決，示例如下：

“恒成立”問題能夠把不等式、函數、三角、幾何等內容有機地結合起來，而且此類問題滲透著換元、化歸、數形結合、函數與方程等重要數學思想方法，因此也成為歷年高考的一個熱點。本文著力歸納了常見的“恒成立”問題的題型與解題策略，希望能給備考中的老師和同學帶來些許幫助。