約束Hamilton系統的穩定性研究

鄭明亮，傅景禮

(1.浙江理工大學 機械設計與控制學院，浙江 杭州 310018；2.浙江理工大學 理學院，浙江 杭州 310018)

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約束Hamilton系統的穩定性研究

鄭明亮1，傅景禮2

(1.浙江理工大學 機械設計與控制學院，浙江 杭州 310018；2.浙江理工大學 理學院，浙江 杭州 310018)

給出了一種約束Hamilton系統的穩定性判斷方法.首先，提出將因系統奇異性導致的內在限制方程看作是外在完整約束方程，采用Routh方法導出了約束Hamilton系統的相空間正則方程.其次，將約束Hamilton系統轉化成力學梯度系統，給出轉化微分方程表示的條件和表達形式；接著，根據梯度系統的性質結合李雅普諾夫的一次近似理論直接來判定約束Hamilton系統的平衡位置穩定性.最后，舉例說明結果的應用.

約束Hamilton系統；梯度系統；李雅普諾夫；穩定性.

0 引 言

力學系統的運動穩定性在數學、力學、航空、航海、航天、新技術和高技術中得到廣泛應用，發揮了越來越大的作用[1].關于穩定性的問題，Lyapunov首先給出了穩定性的嚴格數學定義，并提出一種研究運動穩定性的直接方法[2].Bottema[3]研究了лЯПУНОВ意義下，包括關于全部變量穩定性和關于部分變量穩定性.Risito[4]和Laloy[5]總結了保守系統和耗散系統的平衡和運動穩定性，得到線性、齊次、定常非完整系統平衡位置穩定與不穩定的一些更特殊的結果.我國著名力學專家梅鳳翔[6]系統地論述了約束力學系統的運動穩定性問題.朱海平[7]研究了非完整系統的穩定性.傅景禮等[8-9]研究了相對論性和轉動相對論性Birkhoff系統的平衡穩定性.Zhang[10]利用Noether守恒量構造了Lyapunov函數，研究了廣義Birkhoff系統的運動穩定性.姜文安等[11]研究了廣義Hamilton系統的運動穩定性.Cheng[12]研究了系統參數對帶附加廣義力項的約束力學系統運動穩定性的影響.如果一個力學系統能夠成為梯度系統，那么就可用梯度系統的特性來研究力學系統的性質,特別是穩定性質[13].梅鳳翔運用梯度系統研究了一階Lagrange系統與二階Lagrange系統的穩定性[14]，以及廣義Hamilton系統與梯度系統兩者之間的關系[15]，曹秋鵬等[16]研究了約束自治廣義Birkhoff系統平衡穩定性的梯度系統方法.

在Legendre變換下，奇異Lagrange系統在過渡到相空間用Hamilton正則變量描述時,其正則變量之間存在固有約束，稱之為約束Hamilton系統[17].機械工程和數學物理上許多重要的動力系統正符合約束Hamilton系統模型，如非樹形多體機器人系統動力學模型一般為微分-代數方程組形式[18]、光的橫移現象和量子電動力學[19]等.但是，關于約束Hamilton系統的穩定性研究一直鮮有報道.本文研究僅含第二類約束的約束Hamilton系統的穩定性，基本思想是將奇異內在約束等效成外在完整約束，方法是將其轉化成梯度系統形式，再直接利用Lyapunov定理來研究其平衡穩定性的有關結論.

1 約束Hamilton系統的正則方程

Φj(t,p,q)=0,(j=1,…,n-r)

(1)

則約束Hamiltom系統的正則方程為[20]：

(2)

(3)

則方程(2)可簡寫為：

(4)

稱方程(4)為與約束Hamilton系統相應的完整系統的正則方程.如果運動的初始條件滿足內在限制約束方程(1)，即Φj(t,p0,q0)=0,(j=1,…,n-r)，則相應完整系統(4)的解就給出約束Hamilton系統的運動.

2 約束Hamilton系統的梯度表示

梯度或者斜梯度系統的微分方程為[15]：

(5)

其中V=V(a)稱為勢函數，并不是力學中的勢能.而矩陣Aij(a)=-Aji(a)是反對稱的，為便于研究約束Hamilton系統的梯度表示，將方程(4)表為如下形式：

(6)

方程(4)一般不是一個梯度系統，如果滿足如下條件：

(7)

則方程(4)是一個梯度系統.進而，如果還滿足條件

(8)

則式(7)可變為：

(9)

則可求得勢函數V=V(a)使得，

(10)

值得注意的是，對于一個確定的力學系統,如果條件(7)不滿足，還不能斷定它不是一個梯度系統.因為，這與方程的一階表示有關.

3 約束Hamilton系統的穩定性

約束Hamilton系統的平衡位置a0滿足方程：

(11)

如果上述2n個代數方程彼此獨立，則平衡位置是孤立的.不同于非奇異系統，由于內在固有限制約束的影響，約束Hamilton系統的平衡位置往往不是孤立的，而組成維數與限制方程有關的流形，其維數不小于齊次限制方程的數目.另外，約束Hamilton系統的運動方程可能存在平穩解，但卻沒有循環積分，且限制方程中顯含循環坐標.因此，嚴格來講，約束Hamilton系統的穩定性研究應包括關于全部變量穩定性和關于部分變量穩定性、平衡狀態流形的穩定性等.

(12)

由于梯度系統平衡點處的線性化系統都只有實特征根，因此，特征根可為負，可為正，亦可為0.由Lyapunov一次近似理論可得[23]：約束Hamilton系統能夠成為一個梯度系統，如果它的一次近似特征方程的根皆為負，則平衡位置是漸近穩定的；如果有正根，則是不穩定的；如果有零根，且是單根，其余無正根，則平衡位置是穩定的，但非漸近穩定；如果零根為重根，則平衡位置是不穩定的.

4 算例說明

設某力學系統的Lagrange函數為[24]：

其中非有勢廣義力Q1=Q2=0.試研究該系統平衡位置的穩定性.

系統的廣義動量為：

易驗證這是約束Hamilton系統，系數矩陣的秩為r=0<2，系統哈密頓函數和約束方程為：

有約束相容條件易得到[21]：λ1=-q2,λ2=q1，則系統總能量函數HT=q1p2-q2p1.

將上式帶入式(4)或者式(6)可得約束Hamilton系統正則方程：

V(a)=HT=a1a4-a2a3.

容易驗證系統的勢函數是一個定負函數，可成為系統的一個Lyapunov函數.

系統的平衡位置為：

系統的特征方程形式為：

特征根實部全是非正數，則此約束Hamilton系統的平衡位置零解是穩定的.

5 結束語

本文將由于Lagrange函數奇異性而存在的內在固有限制方程看作是外在完整約束方程，建立了約束Hamilton系統的正則方程，給出了系統的運動微分方程成為梯度或者斜梯度系統的條件，一般說來，約束Hamilton系統是嚴格梯度系統的條件是很不容易滿足的，但不帶附加非有勢廣義力項的約束Hamilton一定是個斜梯度系統.化成斜梯度系統后便可利用梯度系統的性質來研究這類系統的穩定性.文中內容表明：約束Hamilton的總能量函數或者系統的積分可以成為斜梯度系統的勢函數，如果該勢函數又是一個Lyapunov函數，則系統的平衡零解穩定.約束Hamilton系統的穩定性在現代數理科學和工程技術中占有重要地位并廣為應用，值得廣大科技工作者關注和深入研究.

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[責任編輯：徐明忠]

2017-03-20；

2017-03-22

鄭明亮(1988—)，男，安徽馬鞍山人，浙江理工大學博士研究生，主要從事分析力學、機械結構動力學與控制方面的研究.

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