比較思維在初三數學總復習中的幾個應用

黎偉克

【摘 要】在緊張的初三數學總復習中，提高課堂教學效率是初三數學后期教學工作的重中之重。在課堂教學中適時運用比較思維，既能幫助學生更好、更快、更系統地掌握數學知識，又能提高學生的思維能力和解決問題的能力，自然能夠提高復習效率。

【關鍵詞】比較思維；初三數學總復習；應用

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1671-0568（2017）18-0077-02

現行中考時間都在六月，而初三教學內容難度大，知識點多，教學時間緊；初三內容又是中考的重點、難點所在。很多學校在沒有增加教學時間的前提下，要保質、保量地完成教學內容就已捉襟見肘，遑論有充裕時間進行總復習。因此，在進行初三數學總復習時如何提高課堂復習效率便成為初三數學教學面臨的重大課題。在多年的初三教學工作中，筆者發現，適時運用比較思維，將數學知識、數學方法系統化，幫助學生更快、更有效地進行復習，有利于提升教學效率。

比較思維，就是尋求事物之間的相同點和不同點的思維方法。簡言之，“同中求異”，“異中求同”。前者求異思維，后者求同思維；前者要求善于抓住事物的個性，有利于把握事物的特征，后者善于抓住事物的共性，有利于把握事物的本質。只有抓住事物的個性與共性，才能深刻地理解事物。在進行初三數學總復習時，利用比較思維，可以將零散的知識點串成知識串，可以培養學生的觀察力，以及分析問題、解決問題的能力。下面從幾個方面來說明比較思維在初三數學總復習中的應用。

一、在相近概念的復習中運用比較思維

概念是反映客觀事物本質屬性的思維形式。很多學生在進行概念的學習時，只是停留在詞語、形式的記憶上，而未真正掌握概念的內涵和外延。因此，在進行數學總復習時，將相近的概念放在一起復習，有助于加深對概念的理解，有助于區別這些概念，從而達到更好、更準確理解的目的。

1. 在復習互為余角，互為補角概念時，我們進行求同思維：都是對兩個角而言，都是描述兩個角的數量關系，與這兩個角的位置無關；我們求異思維：只有銳角才有余角，銳角，直角，鈍角都有補角。互余兩角是指它們的和為90°，互補兩角是指它們的和為180°，即若該角為α，它的余角為：90°-α，而補角為180°-α。

2. 在復習軸對稱圖形和軸對稱的概念時，我們進行求同思維：都能沿一條直線折疊，直線兩旁的圖形能完全重合，這條直線都叫圖形的對稱軸；我們進行求異思維：軸對稱圖形是對一個圖形而言，它描述的是一個幾何圖形的性質。而軸對稱是對兩個圖形而言，描述的是兩個全等圖形具有特殊的位置關系。若將兩個成軸對稱的圖形視為一個圖形，它就是一個軸對稱圖形。

3. 在復習矩形、菱形概念時，我們進行求同思維：它們都是平行四邊形；它們都具有平行四邊形的所有性質，對邊分別平行且相等，對角分別相等，對角線互相平分，都是軸對稱圖形。我們進行求異思維：矩形是有一個角是直角的平行四邊形，或是對角線相等的平行四邊形；菱形是有一組鄰邊相等的平行四邊形，或是對角線互相垂直的平行四邊形。

這樣，通過對相近概念進行比較，既能避免學生混淆概念，又能加深對這些概念的理解，復習時學生也容易掌握。

二、在相近性質的復習中運用比較思維

1. 在復習全等圖形的性質和相似圖形的性質時，我們求同思維：他們描述的是兩個圖形形狀相同，對應角相等。我們求異思維：全等圖形的對應邊，對應線段（對應邊上的高線，對應邊上的中線，對應角的角平分線，對應的對角線），周長，面積相等。而相似圖形的對應邊，對應線段，周長都成比例，面積的比等于對應邊的比的平方。

2. 在復習平方根和立方根性質時，我們求同思維：一個數平方根的平方等于這數本身，一個數立方根的立方等于它本身。0的平方根、立方根都是0。我們求異思維：一個正數有兩個平方根，他們互為相反數。負數沒有平方根；一個任意實數都有唯一的一個立方根。一個數平方的平方根等于這個數的絕對值，而一個數立方的立方根等于這個數。

在教學中，教師若能將這些相近知識比較起來復習，學生就很容易掌握它們性質的異同，既能區分，還可以加深對這些性質的理解。

三、在一題多變的練習中應用比較思維

高效的復習課堂追求的目標是通過少而精的習題教學，既能鞏固學生所學知識，又能使學生的數學思維能力，分析問題、解決問題的能力，以及邏輯推理能力得到較高程度的提升。

一題多變是跳出題海戰術的好的途徑。一題多變是指在一道題的基礎上，改變部分條件或是數字，從而變為一個新的問題，它正是在掌握例題典型性的基礎上，充分發揮例題的可變性，通過條件的變化和問題的改換，使知識向縱向和橫向延伸。這對于防止學生思維的呆板，擺脫思維定勢的羈絆，都是極其有益的。它可以很好地利用一個素材，培養學生的觀察能力，使之善于發現問題的聯系與區別，達到掌握和消化多個知識的目的，自然也能夠提升初三數學總復習的效率。

例1. 在△ABC中，BI，CI分別平分∠ABC，∠ACB。BI，CI交于點I，若∠BAC=70°，則∠BIC的度數是多少？

在解決這一問題后，提出如下變形問題：①若BI，CI分別是△ABC的外角∠CBD，∠BCE的平分線，BI，CI交于點I，若∠BAC=70°，則∠BIC的度數是多少？

例2. 在三角形ABC中，BI平分∠ABC，CI平分△ACB的外角∠ACD，BI， CI交于點I，若∠BAC=70°，則∠BIC的度數是多少？

通過觀察、分析發現，第一個問題可以通過角平分線的定義，以及三角形內角和求出∠BIC的度數。后面兩個問題雖然條件發生了變化，但是解決問題的思路、方法和前一個問題類似。所以在復習時，只需引導學生在求同、求異思維的基礎上進行觀察、比較、聯想，就能夠找到解決問題的突破口，從而實現舉一反三，觸類旁通。

這樣的例子還有如下：已知，在四邊形ABCD中，E，F，G，H分別是邊AB，BC，CD，DA的中點，則四邊形EFGH是什么特殊四邊形？

通過觀察和分析，不難得出四邊形是平行四邊形。可以考慮連接AC，利用三角形的中位線知識說明EF，GH都和AC平行，都等于AC的一半，從而說明EF，GH既平行又相等，則四邊形EFGH就是平行四邊形了。

此后可以提出以下問題：①在上一個問題中，四邊形ABCD的對角線AC=BD，其余條件不變，四邊形EFGH是什么特殊的四邊形？ ②若四邊形ABCD的對角線AC⊥BD，其余條件不變，四邊形EFGH是什么特殊的四邊形？ ③若四邊形ABCD的對角線AC⊥BD，且AC=BD，其余條件不變，四邊形EFGH是什么特殊的四邊形？

后面的幾個問題經過比較可知，它們都是連接四邊形各邊中點得到的四邊形，它們都應該是平行四邊形。進行求異思維：①中利用三角形中位線知識可以知道，EH= BD， EF= AC，當AC=BD時，EF=EH，四邊形就是菱形。②中由AC⊥BD，利用平行四邊形的性質可以說明∠HEF=90°，從而說明四邊形是矩形。③中AC⊥BD，且AC=BD，利用前面結論，可以知道四邊形既是矩形又是菱形，所以它是正方形。

在上述例題中，通過一題多變練習，不僅復習了三角形的中位線，平行四邊形的判定，還復習了特殊平行四邊形矩形、菱形、正方形的判定。由此，很好地鍛煉了學生的觀察能力，以及分析問題、解決問題的能力，也提升了總復習的效率。

四、在深化解題方法為解題通用思路中應用比較思維

在復習分式方程、簡單的無理方程、簡單的高次方程時，進行求異思維：它們的解題方法分別是：去分母，去根號，降次。但進行求同思維：它們都運用轉化思維，將這些方程轉化為一元一次，或者是一元二次方程求解。因此，總結出這些問題通用的解題思路，這樣就可以達到從知識向方法轉變的目的，復習效率自然就高。

五、在一題多解中應用比較思維

同一個問題可能有不同的解法，我們在進行數學總復習中如遇到同一個問題，就應引導學生充分利用已知條件，從不同角度看問題，從不同方向、不同知識體系思考問題，從而形成不同的解法。比較這些解法，可以培養學生的發散思維，提高思維的靈活性，也可以加深對知識的理解。

比如，在解方程：x2-5|x|+4=0時，甲同學利用對x取值分類討論，化為兩個方程：x2+5x+4=0（x≤0），x2-5x+4=0（x﹥0）來解決。乙同學將方程轉化為：|x|2-5x+4=0，進而化為（|x|-1）（|x|-4）=0，易知|x|-1=0或|x|-4=0。比較這兩種解法，可以發現前者為典型解法，容易想到；后者利用因式分解，將方程轉化為兩個簡易絕對值方程，思維更巧妙。

比較思維內容豐富，應用廣泛，教學方法也各有千秋，還需廣大教師在實際教學中進一步探討，以實現教學效率的穩步提升。

（編輯：朱澤玲）