緣于“三基”聯想，把握幾何解題通法

林炳江

摘 要：本文就針對初中幾何解題技巧進行探討，特別是幾何難題，可通過聯想問題中涉及的“基本知識”，“基本方法”，“基本圖形”三方面中的幾點出發尋找解題突破口。通過聯想“基本知識”，使解題有充分的理論導向；通過聯想“基本方法”，使解題有切實的技能指導；通過聯想“基本圖形”，使解題有清晰的思路引領。

關鍵詞：幾何難題；解題技巧

一、前言

縱觀全國各地歷年中考，中考以課程目標，內容標準及學業考試說明為依據，體現數學課程的基本理念，全面評價學生在知識技能，數學思考，問題解決和情感態度等方面的表現。目前存在情況是中考不僅承載著學生學業考試的任務，并且還肩負著高中招生責任，這就要求中考在一定程度上要具備著選拔功能。分析中考數學學科試題，不難看出中考特別注重對基礎知識，基本技能的考查。重視“雙基”，不是重視考查學生積累了多少“雙基”，而是重視考查學生能正確運用“雙基”來解決一些問題。而分析中考難度分布，要想突破高分，幾何題成為高分關鍵。可以發現每年中考的選擇，填空，解答中壓軸題絕大多數題為幾何題，并且都十分注重對數學綜合能力的考查。如何在教學中有效地落實幾何難題解題指導，會直接成為中考成功的關鍵。事實上，幾何難題解題并非無規律可循，在解題教學中，從“基本知識”，“基本方法”，“基本圖形”出發分析題目，就可以找到解題突破口，從而解決問題。

二、基于基本知識的突破

（2013·臺州）已知[?A1B1C1]與[?A2B2C2]的周長相等，現有兩個判斷：

①若[A1B1=A2B2，A1C1=A2C2]，則[?A1B1C1]≌[?A2B2C2]；

②若[∠A1=∠A2，∠B1=∠B2]，則[?A1B1C1]≌[?A2B2C2]；

對于上述的兩個判斷，下列說法正確的是（ ）。

A.①正確②錯誤 B.①錯誤②正確

C.①，②都錯誤 D.①，②都正確

參考解答：①由周長相等，兩對邊對應相等可得第三對邊相等，進而由SSS判定定理得到三角形全等；②由兩對角對應相等可得三角形相似，并且由周長相等確定相似比為1，從而有三角形全等。

此題解題時，應首先聯想全等三角形這一基本知識，學生對于第一問并不陌生，完全能輕易解決；第二問會有所犯難，此時應聯想[∠A1=∠A2，∠B1=∠B2]涉及基本知識是什么？容易知道涉及相似，且周長與相似之間的關系為相似三角形的周長比等于相似比，這是第二問的關鍵點。

（2011·臺州）如圖，圓的半徑為2，點O到直線l的距離為3，點P是直線l上的一個動點，PQ切圓于點Q，則PQ的最小值為（ ）。

參考解答：由切線性質與勾股定理知，[PQ2=PO2-OQ2]，而OQ大小不變，則當PO最小時，PQ取得最小值[5]。

本題解題時，首先聯想基本知識——切線性質，再者由于在直角三角形中有線段之間的運算關系，很自然會聯想到勾股定理這一基本知識，使解題變得輕而易舉。

三、基于基本方法的突破

幾何中基本方法有很多，需要在平時教學中慢慢滲透，要求學生能碰到具體問題時能想起一些常用的解題方法。比如：證明線段相等的方法，證明全等的方法，證明相切的方法，添輔助線的方法等。

參考解答：先根據四邊形ABCD是菱形可知，AD=BC，由[∠A=120°]可知[∠B=60°]，作點P關于直線BD的對稱點P，連接PQ，PC，則PQ的長即為PK+QK的最小值，由圖可知，當點Q與點C重合，CP⊥AB時PK+QK的值最小，再在[Rt?BCP']中利用銳角三角函數的定義求出PC的長即可。

此題解題的關鍵是掌握利用軸對稱求最短路徑的常規方法與多動點問題往往先固定其它動點，考慮其中一個動點這一常用方法。教學中數學解題基本方法滲透的重要性可見一斑。

（2013·呼和浩特）在平面直角坐標系中，已知點A（4，0），B（-6，0），點C是y軸上的一個動點，當[∠BCA=45°]時，點C的坐標為 。

參考解答：如答圖1所示，構造含有90°圓心角的圓心點P，則圓心點P與y軸的交點即為所求的點C（注意點P可在第三象限，此時點C在y軸負半軸上）。

解決幾何問題有些時候不僅要思考基本知識，而且同時要考慮基本方法。在本題中，AB固定不動，點C在運動，且[∠BCA=45°]。在所學知識中，弦所對同側圓周角相等，此時弦不動而角在動，題中線段不動角在動。于是就會聯想將AB看成弦，[∠ACB]是弦AB所對圓周角，進而需要作一個圓。而作圓的基本方法是尋找圓心與半徑。本題正因為基于這樣的基本知識與基本方法的聯想，才使問題迎刃而解。

四、基于基本圖形的突破

基本圖形是幾何教學必不可少的部分，比如全等三角形與相似三角形中的“8”字形；垂徑定理中半徑，弦的一半以及弦心距構成的直角三角形；射影定理中的直角三角形與斜邊上的高構成的基本圖形等。雖然有些教材中已不作要求，但不可否認學生對于基本圖形的熟記非常有助于學生解題時的思路啟發。有種基本圖形在幾何問題中經常出現，且往往存在于幾何難題中，在這里暫且將它稱為“三等角圖”。

（1）求直線y=kx的解析式和線段OA的長度；

（2）點P為拋物線第一象限內的動點，過點P作直線PM，交x軸于點M（點M，O不重合），交直線OA于點Q，再過點Q作直線PM的垂線，交y軸于點N。試探究：線段QM與線段QN的長度之比是否為定值？如果是，求出這個定值；如果不是，說明理由；

（3）如圖2，若點B為拋物線上對稱軸右側的點，點E在線段OA上（與點O，A不重合），點D（m，0）是x軸正半軸上的動點，且滿足[∠BAE=∠BED=∠AOD]。繼續探究：m在什么范圍時，符合條件的E點的個數分別是1個，2個？

此題第（3）小題給出[∠BAE=∠BED=∠AOD]，如果教學中能有“三等角圖”基本圖形的落實，則學生自然會利用[?ODE]∽[?AEB]解決問題，這為學生直接提供解題的思路。

（2013·義烏）已知[y=6xx>0]圖象上一點P，[PA⊥x]軸于點[Aa，0]，點B的坐標為（0，b）（b>0），動點M是y軸正半軸上B點上方的點，動點N在射線AP上，過點B作AB的垂線，交射線AP于點D，交直線MN于點Q，連接AQ，取AQ中點C。

（1）連接BP，求[?PAB]的面積；

（2）當點Q在線段BD上時，若四邊形BQCN是菱形，面積為[23]，求此時P點坐標；

（3）當點Q在射線BD上時，且[a=3]，[b=1]，若以點B，C，N，Q為頂點的四邊形是平行四邊形，求這個平行四邊形的周長。

第（3）小題中，已知[∠DBA=90°]，直角頂點落在y軸上，符合“三等角圖”特征。只需過D作[DE⊥y]軸于點E就構造出“三等角圖”，從而可求得[BD=310]。而在求周長時，平時教學中，應滲透點Q在射線BD上，經常會分為點Q在線段BD上或在線段BD的延長線上這一基本方法。當點Q在射線BD上時，如圖所示，這里隱含著A字形相似與直角三角形斜邊上中線等于斜邊一半的基本圖形，這些基本圖形對學生在解決問題時相當重要。當點Q在線段BD的延長線上時，不必重起爐灶，因為在幾何中，動態問題雖然圖形形狀，位置會發生變化，但解決問題的方法不會發生改變，這也是幾何解題技巧中一種基本方法。

五、總結

基于“基本知識”，“基本方法”，“基本圖形”的解題技巧對于解決幾何難題有比較明顯的效果。學生在解題時通過聯想“基本知識”，使學生有充分的理論導向；通過聯想“基本方法”，使學生有切實的技能指導；通過聯想“基本圖形”，使學生有清晰的思路引領。如何使這種解題技巧在數學教學中常態化，普遍化值得進一步研究。

參考文獻：

[1]教育部基礎教育司.數學課程標準解讀[M].北京：北京師范大學出版社，2011.

[2]林小波.在數學教學中落實學法指導[J].北京：中國教育學會，2013（7）.