空間向量的線性運算

王艷麗

[摘 要] 空間向量是從平面向量擴展到空間向量，所以，在學習空間向量概念時，可以完全類比平面向量的概念及其運算規律。

[關 鍵 詞] 空間向量；線性運算；平面向量

[中圖分類號] G712 [文獻標志碼] A [文章編號] 2096-0603（2017）05-0065-01

要學習空間向量知識，需要牢固掌握平面向量的概念和運算規律，空間向量是從平面向量擴展而來的。在學習中可以完全類比平面向量的運算規律。

一、掌握空間向量的有關概念

（一）掌握空間向量的有關概念

要學好空間向量知識，首先要掌握其全部概念。如，空間向量的定義及注意問題，空間向量的長度（模），零向量、相等向量、相反向量、共線向量的概念及注意問題，兩個向量夾角的概念及規定，空間向量數乘概念，實數與空間向量積的定義，向量積的定義等。

（二）掌握空間向量線性運算的公式

要掌握空間向量加減法的運算公式及規定，加法的結合律、交換律及注意問題；實數與空間向量積的運算律，包括結合律、兩個分配律；空間向量積的運算律等。

（三）掌握空間向量有關法則和定理

掌握向量加減法的三角形法則、平行四邊形法則；共線向量定理、共面向量定理；空間向量共線和垂直的判定定理等。

二、空間向量及其線性運算的重點問題指導

（一）空間向量加減法的運算

空間向量加減法可運用平行四邊形法則或三角形法則運算。（1）多個首尾相接向量的和，就等于由起始向量的起點指向末尾向量的終點的向量，所以求空間向量之和時，能通過平移向量使這些向量變成首尾相接的向量；（2）多個向量如果首尾相接構成封閉圖形，這些向量之和為零向量；（3）平行四邊形法則在空間向量中仍然成立。

（二）共線向量定理的應用

共線向量定理可用于：判定兩條直線平行；證明三點共線。在證明兩條直線平行時，要先從每條直線上取有向線段表示向量，然后再用向量線性運算證明兩個向量共線，由此證明兩條直線平行。證明三點共線時，一般不用圖形，直接運用向量的線性運算，切記所表示向量要有一個公共點。

（三）運用向量求線段長度

在求線段長度時，可把線段用向量來表示，從而把問題轉化為求向量的模。求解此類問題時，通常要先選擇基底，要用基向量表示所求向量，再使用|■|2=■2公式求解。在選擇基底時，要注意三個基向量兩兩之間的夾角是確定的或是已知的或是可以求出來的。在求向量的模時可用兩種方法：一是不建立坐標系，直接用向量計算；二是建立坐標系，用距離公式求線段的長度。

（四）運用空間向量求異面直線的夾角

求異面直線所夾的角度，可通過計算兩個直線的方向向量的夾角來求，在進行計算時可用基向量表示，也可運用坐標運算方式進行。在求異面直線所成角時，要注意異面直線所成角和向量之間夾角是不完全相同的：假如兩個向量夾角為銳角或直角，則異面直線所成角就是兩個向量夾角；假如兩個向量夾角為鈍角時，則異同直線所成角為兩個向量夾角的補角。

三、空間向量及其線性運算應用

（一）空間向量的線性運算

例1.在平行六面體ABCD-A′B′C′D′中，假設■=■，■=■，■=■，用向量■、■、■來表示向量■、■。

■

例1圖

解題：在平行六面體ABCD-A′B′C′D′中，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴■=■+■=■+■=■+■。又∵四邊形ACC′A′是平行四邊形，∴■=■+■=■+■+■=■+■+■。

總結：利用已知向量來表示其他向量時，要利用向量的加減法的三角形法則、或平行四邊形法則，以及向量加法的結合律、交換律，并使用數形結合的思路來解題。

（二）共線向量定理的運用

例2.假設向量■、■在平面上不共線，已知■=2■+k■，■=■+3■，■=2■-■，如果A、B、D這三點共線，求k的值是多少？

解題：根據題目可知：■=■-■=（2■-■）-（■+3■）=■-4■，∵A、B、D三點共線，由共線向量定理可得：■=-■，∴k=-8。

（三）用空間向量的數量積求線段的長度

例3.已知DA⊥平面ABC，∠ABC=120°，DA=AB=BC=6，求線段DC的長度。

解題：∵■=■+■+■，∴■2=■2+■2+■2+2■·■=36+36+36+2×36cos60°=144。∴|DC|=12。

■

（四）用空間向量的數量積求異面直線所成的角

例4.已知在空間四面體P-BAC中PA=8、AB=6、AC=4、BC=5、∠PAC=45°、∠PAB=60°。

求異面直線PA和BC所夾角的余弦值。

解題：∵■=■-■，∴■·■=■·■-■·■=|■|·

|■|·cos<|■|，|■|>-|■|·|■|·cos<|■|，|■|>=8×4×cos135°-8×6×cos120°=24-16■。

∴cos<|■|，|■|>=■=■=■。 ∴PA和BC夾角余弦值是■。

總之，空間向量及線性運算，需要理解概念，掌握運算公式的運用要求，才能正確解決問題。

參考文獻：

[1]龔華梅.“空間向量與立體幾何”學習中典型錯誤及歸因研究[D].西南大學，2011.

[2]王東云.平面向量的單元教學設計[D].天水師范學院，2015.