對常微分方程數學建模案例的研究

鄭玉敏

(黑龍江生態工程職業學院，哈爾濱 150000)

對常微分方程數學建模案例的研究

鄭玉敏

(黑龍江生態工程職業學院，哈爾濱 150000)

案例教學法貼近學生們的實際情況，引出數學問題，進而轉換為數學知識，加強了學生們對常微分方程在實際應用過程中的了解及對數學建模思想的理解，從而有效地提高了學生們的數學建模能力和學生們對應用數學的學習興趣。所以，強化對常微分方程數學建模案例的研究，在高等數學教學與研究中具有十分重要的現實意義。

常微分方程；數學建模；案例分析

如今，越來越多的院校在高等數學課程的教學過程中應用案例教學法，因為案例教學法本身就是由貼近學生們的生活實際情境而引發數學問題，并轉化為相應的數學知識，在運用學生們所學會的數學知識解決實際生活中所遇到的問題的一個過程。應用案例教學法不僅進一步縮短了實際生活情境與數學教學情境之間的差異，還對進一步提高學生們的數學學習興趣，培養學生們的實踐創新能力有著至關重要的作用。所以，做好案例教學法的應用也是各個院校開展數學教學工作所采用的重要手段。常微分方程作為高等教育的重要組成內容，絕大多數學生在常微分方程的學習過程中往往只了解如何去解方程，而不知道這些方案的真實背景，造成學生們在常微分方程的學習過程中缺乏學習動力、產生了消極的學習態度。案例教學法在數學授課過程中恰恰是由實際案例出發，使學生們更加清楚的掌握對常微分方程的應用，加深了學生們對數學建模思想的進一步理解，有效提高了學生們的數學建模能力和對問題的實際分析能力、解決能力。所以，在常微分方程的學習過程中將數學建模思想融入其中，能使學生們更好的掌握常微分方程的學習方法、學習背景、學習意義，從而最大限度的提高學生們對應用數學知識的學習興趣。

以常微分方程中的若干習題為例，運用數學語言進行闡述，按照數學建模解決問題的思想對其進行科學合理的假設，構建微分方程模型，并讓學生們運用所學的數學知識進行模型求解，使學生們在數學課堂上將所學到的數學內容與數學建模內容有機的融合，最終利用數學建模方法把數學建模思想表達出來，使學生們在學習數學課堂知識的同時，正確掌握數學建模思想，更好的掌握常微分的方程理論。

模型假設：第一，假設湖水的唯一水源就是河水，且湖水的實際容量不會發生變化；第二，假設湖水中污染物A的濃度始終都是均勻的；第三，假設當河水流入到湖泊以后能與湖水進行充分的融合，并且能在湖水中將全部的有毒污染物溶解。

歷經6ln3年以后，該湖泊中所包含的污染物A可以降到m0之內。

問題2：乘坐公共汽車的時候，對交通信號燈的等待是十分煩惱的問題，尤其是由紅、黃、綠三種顏色組成的交通路口指揮信號燈，想要從綠燈轉換為紅燈必須要經過黃燈的過渡，黃燈需要亮起一段時間以后方可從綠燈轉換為紅燈。雖然這種設計十分科學、合理，能夠最大限度的避免某個方向車流等待時間過長的問題，最大限度的減輕司機與乘客的煩惱，但是，如若交通指揮信號燈在閃爍時間設計上存在不合理性，人們不僅面臨更加漫長的等待，也會進一步增加司機與乘客的煩惱，所以，應該科學、合理的設計交通路口指揮信號燈閃爍的時間，使其閃爍時間長短更加合理。

分析模型：黃燈信號具有兩個作用：其一，提醒駕駛員注意紅、綠信號燈，當紅燈信號亮起的時候應立刻停車，讓橫向車流、人流通過，對于已經超過了停止線的車輛允許繼續通過；其二，當黃燈信號亮起的時候，為確保機動車與行人都能在安全的原則下通行，車輛仍然會向前行駛一段距離L以后方能停車，假設道路寬度為D，此時的問題就是如何對L的大小進行確定。

此時黃燈信號要亮起多久才最為科學合理呢？

通過上述公式的推導可以得知，從黃燈信號開始閃爍的時間算起，包括駕駛員看到黃燈信號時，準備開始停止機動車時所用的時間，以及讓已經超過了停止線的機動車順利通過路口所用的時間，黃燈信號最為科學、合理的閃爍時間應該為：

通過常微分方程解的各種屬性研究對一些現象進行解釋，從而對未來的發展趨勢做出有效的預測，為人們設計新的裝置提供重要的參考依據。所以常微分方程也是研究自然科學、工程技術乃至社會生活現象的重要工具。筆者對常微分方程中的部分內容進行了分析，在常微分方程中融入數學建模思想，使數學知識與實際生活內容緊密的聯系在一起，并在教學過程中應用案例教學法，對案例進行分析，采取提出問題、分析問題、建立模型、求解模型的一系列教學手段，讓學生們更加清楚的了解到常微分方程的實際背景，對所列出的常微分方程進行求解，更好地解決生活中所遇到的實際問題。這樣不僅大大提高學生們對數學知識的學習興趣和學習積極性，也大大的增強了學生們的數學學習能力。這種數學建模思想有著極為深遠的意義，值得我們在數學教學中深入的研究與探討。

[1] 廉海榮，趙俊芳，褚寶增.在“常微分方程”教學中融入數學建模思想的探討[C]//城市空間結構理論與資源型城市轉型研究——中國科協第224次青年科學家論壇，2010.

[2] 劉洪霞，周紹偉.常微分方程數學建模案例分析[J].河南教育學院學報(自然科學版)，2015，(12)：22-23.

[3] 方芳.常微分方程理論在數學建模中的簡單應用[D].合肥：安徽大學，2010.

[4] 王莉.關于常微分方程課程教學模式的探索與研究[J].山東農業工程學院學報，2016，(08)：13-15.

Research on mathematical modeling of ordinary differential equations

ZHENG Yu-min

(Heilongjiang Ecological Engineering Vocational College, Harbin 150000, China)

Case teaching method is close to the actual situation of students, which strengthens the understanding of the practical application of ODE and mathematical modeling ideas, so as to effectively improve students’ mathematical modeling ability and their interest in applying mathematics. Therefore, it is of great practical significance to study the case of mathematical modeling of ordinary differential equations in higher mathematics teaching and research.

Ordinary differential equation; Mathematical modeling; Case analysis

2017-05-20

鄭玉敏(1978-)，女，碩士，副教授。

O175.1

A

1674-8646(2017)13-0066-02