基于半解析法的鋼絲繩股多態(tài)接觸性能研究

周美娟，馬志飛，孟凡明?，陳原培

基于半解析法的鋼絲繩股多態(tài)接觸性能研究

周美娟1，馬志飛2，3，孟凡明1?，陳原培1

（1．重慶大學機械傳動國家重點實驗室，重慶400044；2．上海宇航系統(tǒng)工程研究所，上海201109；3．上海市空間飛行器機構重點實驗室，上海201109）

針對鋼絲繩在服役過程中因絲間接觸導致的失效問題，基于半解析法、彈性接觸理論和曲桿理論，研究了軸向拉伸、扭轉(zhuǎn)載荷作用下的鋼絲繩股絲間多態(tài)接觸性能。建立了能反映繩股接觸狀態(tài)隨載荷演變規(guī)律的絲間接觸模型及繩股力學模型，并采用共軛梯度法及快速傅里葉變換進行求解，驗證了模型有效性。結果表明：在一定軸向拉伸與扭轉(zhuǎn)載荷作用下，部分繩股處于多態(tài)接觸狀態(tài)。隨著拉伸載荷的增加，芯絲?側絲趨于接近而相鄰側絲趨于分離，接觸狀態(tài)的變化使小捻角繩股剛度趨于減小而使大捻角繩股剛度趨于增大。隨著扭轉(zhuǎn)載荷的增大，使相鄰側絲趨于接近而使芯絲?側絲趨于分離，接觸狀態(tài)的變化使小捻角繩股剛度增大，大捻角時剛度先增大后減小。

鋼絲繩股；多態(tài)接觸性能；半解析法；捻角；剛度

1 引言

截至目前，學者們對鋼絲繩的力學性能進行了大量的理論研究，早期模型大多基于線彈性假設進行。例如，Argatov［1］采用一種漸近方法，對鋼絲繩絲間接觸行為的研究表明：減小鋼絲繩的捻角有助于減小鋼絲繩的局部接觸變形。Ghore?ishi等［2］的研究結果表明：增大繩股捻角，其扭轉(zhuǎn)剛度也相應增大。根據(jù)Betti互易定理，表征鋼絲繩軸向拉伸、扭轉(zhuǎn)應變與其所受載荷關系的剛度矩陣應滿足對稱性［3］。Kumar和Botsis［4］基于Hertz理論，計算了具有金屬股芯的鋼絲繩在拉伸和扭轉(zhuǎn)載荷下所產(chǎn)生的最大接觸應力，并發(fā)現(xiàn)鋼絲彈性模量對接觸應力影響顯著。Gnanavel等［5］基于鋼絲繩股受力平衡方程和Hertz彈性接觸理論，對鋼絲繩股的固定接觸狀態(tài)（即側絲同時與芯絲及側絲接觸）性能的研究表明：鋼絲繩股的剛度受絲間接觸狀態(tài)的影響。此外，亦有其他學者［6?9］采用有限元方法（FEM），考慮絲間接觸及鋼絲材料彈塑性等非線性因素，對鋼絲繩進行了仿真分析，指出鋼絲繩橫向載荷下的絲間應力分布不均勻，絲間接觸對鋼絲繩的塑性變形影響顯著。但有限元仿真對計算機性能有較高的要求，且對于絲間接觸等非線性問題，其求解亦可能不收斂。

然而上述研究均在固定接觸狀態(tài)下進行的。實際工況下，隨著鋼絲繩所受載荷的逐步增大，其鋼絲的螺旋角、徑向收縮和接觸變形等參數(shù)均隨之變化，進而載荷變化將對其絲間接觸狀態(tài)有影響。

綜上可知，外載荷對鋼絲繩絲間接觸狀態(tài)研究主要有兩大難點。首先是絲間接觸行為的精確求解。對于接觸問題，多采用共軛梯度法（CGM）和快速傅里葉變換（FFT），實現(xiàn)接觸體接觸壓力和接觸變形的同步求解，CGM和FFT因其快速精確的優(yōu)點，在點接觸、直線接觸、表面接觸等情況的接觸求解問題中均有所應用［10?11］。對于鋼絲繩，其接觸線為螺旋線，然而目前尚未發(fā)現(xiàn)上述方法在螺旋接觸問題中的應用。第二個難點在于逐步加載過程中對鋼絲繩絲間多態(tài)接觸性能的準確分析。針對過去單一接觸狀態(tài)下的鋼絲繩接觸研究，有必要研究不同的絲間接觸狀態(tài)下的鋼絲繩接觸行為。

針對上述問題，本文從鋼絲繩股在動載荷作用下的接觸問題切入，提出一種基于半解析法的鋼絲繩股多態(tài)接觸求解模型，以實現(xiàn)鋼絲繩的接觸行為在載荷變化過程中的多態(tài)接觸性能分析。

2 多態(tài)接觸模型

2? 1 側絲軸向應變及螺旋角

根據(jù)Costello理論［12］，建立鋼絲繩股（圖1），簡單直股由1根直芯絲和6根螺旋纏繞其上的側絲構成，R1和R2分別為芯絲與側絲半徑，rh2為初始側絲螺旋半徑。

假設lp和?lp分別為加載前后的繩股捻距，ls和?ls分別為加載前后的側絲軸線長度，α2和α－2分別為加載前后的側絲螺旋角，l和?l分別為加載前后側絲軸線在芯絲軸線上的投影弧長。因而繩股側絲在軸向載荷作用下的總拉伸應變εt和扭轉(zhuǎn)應變τt可表示為式（1）、（2）：

式中：Δφ為繩股兩端圍繞繩股軸線的相對轉(zhuǎn)動角度。

軸向載荷下的芯絲、側絲軸向拉伸應變可分別表示為式（3）、（4）：

考慮泊松比效應和接觸變形引起的扁平效應，并假設芯絲、側絲材料的力學性能相同，即二者接觸變形相同，其中A＝?rh2／rh2，B＝cotα2＋rh2τt。則軸向載荷下的側絲軸線的螺旋半徑?rh2為式（5）：

可見泊松比效應和接觸變形對側絲軸向拉伸應變及螺旋角均有影響。變形前的側絲軸線螺旋半徑由初始接觸狀態(tài)而定。

2? 2 側絲軸線曲率、撓率變化量

考慮接觸變形對側絲螺旋角及螺旋半徑的影響，曲率和撓率的變化量可表示為式（7）～（9）：

式中：κ2和κ′2分別為變形前側絲軸線上任一點處主、副法向的曲率，τ2為該點處的撓率。上述變量變形后的值分別為κ－2，κ－′2和τ－

2。

2? 3 側絲受力平衡方程

根據(jù)Love的曲桿理論［13］，沿側絲軸線方向（如圖2所示）取微弧長段ds進行受力分析。

在外載荷作用下，繩股側絲受力平衡方程組可表示為式（10）、（11）：

式中：N′為側絲截面處所受的沿y方向的剪切力，T為側絲截面所受的沿z方向的拉力，G′為截面處所受的關于y軸的彎矩，H為截面扭矩，X為單位長度側絲軸線所受的沿側絲主法向的線載荷。

2? 4 絲間接觸模型

本研究僅針對股芯為鋼絲的繩股，由于芯絲?側絲及側絲?側絲的接觸狀態(tài)決定了絲間接觸載荷的分配情況，因而應根據(jù)接觸情況而定。

由于側絲與芯絲間實際接觸區(qū)域沿接觸線方向的尺寸遠大于接觸區(qū)寬度方向，故可沿接觸線方向取無窮小長度ds0的芯絲、側絲段進行研究，接觸線法向軸上任意點（yc，zc）的接觸間隙hc為式（12）：

式中：hi為接觸變形前的芯絲?側絲初始間隙，u為芯絲和側絲總彈性變形，ur為芯絲與側絲的相對剛體位移。此外，側絲?側絲間的接觸間隙與芯絲?側絲間隙類似，只需替換相應的曲率半徑。

如前所述，由于所取的鋼絲段長度ds0為無窮小，可認為芯絲?側絲和側絲?側絲實際接觸區(qū)域為矩形，令p（yc，zc）為點（yc，zc）處的接觸壓力，則有載荷平衡方程式（13）：

在接觸區(qū)，滿足條件式（14）：

式中：Ac為接觸區(qū)域，非接觸區(qū)則滿足式（15）：

式（13）～（15）為絲間接觸求解模型，其中變形可利用格林函數(shù)和接觸壓力求得，由于接觸壓力、彈性變形和接觸間隙間存在相互影響關系，可見該模型是耦合的。

由于鋼絲間接觸屬于非協(xié)調(diào)性接觸，接觸壓力引起的彈性變形可采用式（16）計算：

式中S＝Gp(yc－y′c，zc－z′c)p(y′c，z′c)，Gp(yc，zc)為接觸壓力對表面彈性變形的格林函數(shù)。

3 接觸模型求解

對上述所建立的考慮泊松比效應及接觸因素的鋼絲繩股數(shù)學模型，由于繩股絲間接觸狀態(tài)決定了其載荷的分配，因而該模型求解的難點在于加載后繩股絲間接觸狀態(tài)的確定。對此，本文提出一種繩股多態(tài)接觸求解算法，以實現(xiàn)動態(tài)加載過程中鋼絲繩股絲間實時接觸狀態(tài)的準確判定與求解。具體求解步驟如圖3所示：

芯絲?側絲接觸及側絲?側絲接觸行為的準確計算是上述數(shù)值求解流程的關鍵。由于接觸壓力、彈性變形和接觸間隙間存在相互影響，因而各變量間呈相互影響的關系。對此，可采用共軛梯度法（CGM）的迭代方法進行求解，計算出接觸壓力和接觸變形。本文首先利用半解析方法（SAM）實現(xiàn)快速變形的快速計算，即首先計算得到接觸壓力對彈性變形的影響系數(shù)，進而采用基于快速傅里葉變換（FFT）的混合算法實現(xiàn)變形的快速計算。彈性變形計算公式為式（17）：

式中：運算符“＾＾”表示二維離散傅里葉變換（DFT），其逆變換則用“IDFT”表示，I1為接觸壓力對鋼絲彈性變形的影響系數(shù)，滿足式（18）：

式中：格林函數(shù)Gpu積分的解析表達式已由Love推導出［14］。

4 接觸模型驗證

多態(tài)接觸狀態(tài)下，本模型求解結果與Jiang等［15］的有限元（FEM）結果比較如圖4（a）所示。為分析側絲－側絲接觸對繩股性能的影響，圖中給出了僅考慮芯絲?側絲接觸以及采用Costello理論［12］計算所得結果（如圖4（b）所示）。結果表明，若僅考慮芯絲?側絲接觸，接觸壓力和螺旋半徑變化量的絕對值均大于多態(tài)接觸模型的結果，這是因為實際存在的側絲?側絲接觸具有減小芯絲?側絲接觸的作用，進而使絲間載荷分配更加均勻。由于Costello理論未考慮絲間接觸變形，其計算所得螺旋半徑變化量的絕對值小于其他所有結果。此外，多態(tài)接觸模型計算所得的繩股芯絲?側絲、側絲?側絲最大接觸壓力以及側絲軸線螺旋半徑變化量均與FEM結果很好地吻合，可見本模型能夠?qū)K股絲間接觸行為進行精確求解。

5 結果與討論

5? 1 軸向拉伸載荷下的接觸性能

基于所建立的鋼絲繩股多態(tài)接觸模型，研究繩股在動態(tài)拉伸中接觸特性的演變過程。圖5給出了捻角β分別為13°、15°和17°的繩股接觸壓力和接觸變形隨拉伸應變εt的變化曲線，其中下標“cw”和“ww”分別表示芯絲?側絲接觸（core?wire contact）和側絲?側絲接觸（wire?wire con?tact）。由圖可知，捻角對繩股接觸性能變化規(guī)律有著重要影響。捻角為13°的繩股僅發(fā)生芯絲?側絲接觸（δww＝0），而其余繩股的接觸狀態(tài)由起始的側絲?側絲接觸變?yōu)榧虞d后的多態(tài)接觸（multi?contact）即δww＞0且δcw＞0。此外，對比捻角15°和17°時的結果還可看出，捻角為15°的繩股先發(fā)生接觸狀態(tài)的轉(zhuǎn)變，且轉(zhuǎn)變?yōu)槎鄳B(tài)接觸狀態(tài)后，繩股中芯絲?側絲接觸占主導地位（δcw＞δww）；而捻角為17°的繩股則以側絲?側絲接觸更為顯著（δww＞δcw），其容易發(fā)生失效的位置亦與捻角為15°繩股有所不同。

由圖6（a）可知，鋼絲繩股拉伸剛度?kεε隨繩股捻角β增大而減小；此外，20°繩股的?kεε隨εt增大而基本保持穩(wěn)定，捻角小于20°的繩股結果呈略微減小趨勢，而大于20°的繩股結果則略微增大。圖6（b）表明，繩股的?kθε隨捻角的增大而先增大后減小，25°繩股的結果最大；拉伸應變對不同捻角繩股?kθε的影響亦有所不同，隨著拉伸應變的增大，小捻角（β＝5°～25°）繩股的?kθε逐漸減小，而大捻角（β＝30°～40°）繩股的?kθε逐漸增大。由此可見，拉伸過程中，繩股剛度值并非恒定不變，還應充分考慮拉伸應變對繩股剛度的影響。

5? 2 軸向扭轉(zhuǎn)載荷下的接觸性能

圖7表示在扭轉(zhuǎn)載荷下繩股的接觸特性，由圖可知，接觸壓力和接觸變形隨扭轉(zhuǎn)應變的變化規(guī)律相似。隨著扭轉(zhuǎn)的進行，捻角為13°的繩股接觸狀態(tài)由芯絲?側絲接觸轉(zhuǎn)變?yōu)槎鄳B(tài)接觸，而17°繩股則一直處于側絲?側絲接觸狀態(tài)。

圖8 給出了該繩股接觸狀態(tài)對接觸壓力的影響。由圖可知，扭轉(zhuǎn)過程中，繩股經(jīng)歷了三種接觸狀態(tài)：加載初期僅發(fā)生芯絲?側絲接觸，各接觸性能參數(shù)均隨扭轉(zhuǎn)應變τt增大而增大；當τt達到1? 8 rad／m時，其相鄰側絲間亦發(fā)生接觸（σww＞0），即處于多態(tài)接觸狀態(tài)，此時繩股仍以芯絲?側絲接觸占主導；隨著τt的繼續(xù)增大，繩股側絲?側絲接觸逐漸超過芯絲?側絲接觸，當τt增大至6? 4 rad／m時，芯絲與側絲分離（σcw＝0），進而繩股轉(zhuǎn)變?yōu)閭冉z?側絲接觸狀態(tài)，隨后側絲?側絲接觸性能參數(shù)繼續(xù)隨τt增大而增大。

與拉伸工況計算類似，鋼絲繩股在扭轉(zhuǎn)加載過程中的瞬時扭轉(zhuǎn)剛度和耦合剛度為?kθθ和?kεθ，剛度隨扭轉(zhuǎn)應變τt的變化情況如圖9所示。?kθθ和?kεθ均隨捻角的增大而先增大后減小，可見存在使繩股抗扭性能最佳的臨界捻角。此外，不同捻角繩股在扭轉(zhuǎn)中的剛度值變化規(guī)律不同：隨著τt的增大，小捻角（β＝5°～25°）的?kθθ及捻角不大于20°時的?kεθ均持續(xù)增大，而大于上述捻角時的?kθθ和?kεθ則呈現(xiàn)出先增大后減小的趨勢，進而繩股的抗扭轉(zhuǎn)性能有所下降。因此，對承受扭轉(zhuǎn)載荷的大捻角（β＝30°～40°）鋼絲繩股的選用時，應當考慮其受載后的剛度衰減（約1%）情況，避免大載荷時出現(xiàn)剛度不足的危險。

6 結論

1）提出的半解析法能夠用于絲間多種狀態(tài)接觸性能的分析，同時其有效性被驗證。

2）在較大拉伸載荷下，小捻角繩股以芯絲?側絲接觸為主，大捻角繩股則以側絲?側絲接觸為主；具有某些捻角的繩股在一定載荷下處于多態(tài)接觸狀態(tài)。

3）根據(jù)鋼絲繩股變形特點，拉伸載荷使芯絲?側絲趨于接近而使側絲?側絲趨于分離；在拉伸及扭轉(zhuǎn)載荷作用下，繩股剛度與捻角大小密切相關。

4）本文鋼絲繩股多態(tài)接觸性能與繩股力學性能的多態(tài)求解過程及結果，可為動載荷下的鋼絲繩的設計與選用提供有益參考。

（References）

［1］ Argatov I．Response of a wire rope strand to axial and torsion?al loads：Asymptotic modeling of the effect of interwire contact deformations［J］．International Journal of Solids and Struc?tures，2011，48（10）：1413?1423．

［2］ Ghoreishi S R，Messager T，Cartraud P，et al．Validity and limitations of linear analytical models for steel wire strands un?der axial loading，using a 3D FE model［J］．International Journal of Mechanical Sciences，2007，49（11）：1251?1261．［3］ Samras R K，Skop R A，Milburn D A．An analysis of coupled extensional?torsional oscillations in wire rope［J］．Journal of Engineering for Industry 1974，96（4）：1130?1135．

［4］ Kumar K，Botsis J．Contact stresses in multilayered strands under tension and torsion［J］．Journal of Applied Mechanics，2001，68（3）：432?440．

［5］ Gnanavel B K，Gopinath D，Parthasarathy N S．Effect of fric?tion on coupled contact in a twisted wire cable［J］．Journal of Applied Mechanics?Transactions of the ASME，2010，77（2）：293?298．

［6］ Yu Y J，Chen Z H，Liu H B，et al．Finite element study of behavior and interface force conditions of seven?wire strand under axial and lateral loading［J］．Construction and Building Materials，2014，66：10?18．

［7］ Chen Y P，Meng F M，Gong X S．Parametric modeling and comparative finite element analysis of spiral triangular strand and simple straight strand［J］．Advances in Engineering Soft?ware，2015，90：63?75．

［8］ Fontanari V，Benedetti M，Monelli B D．Elastoplastic behav?ior of a Warrington?Seale rope：Experimental analysis and fi?nite element modeling［J］．Engineering Structures，2015，82：113?120．

［9］ Stanova E，F(xiàn)edorko G，Kmet S，et al．Finite element analysis of spiral strands with different shapes subjected to axial loads［J］．Advances in Engineering Software，2015，83：45?58．

［10］ Meng F M．Effect of the cut?off frequency on rough?point and flat?surface contacts［J］．Journal of Mechanical Science and Technology，2012，26（9）：2889?2901．

［11］ Meng F M，Chen Y P．Analysis of elasto?hydrodynamic lubri?cation of journal bearing based on different numerical methods［J］．Industrial Lubrication and Tribology，2015，67（5）：486?497．

［12］ Costello G A．Theory of Wire Rope［M］．New York：Spring?er，1997：11?24．

［13］ Love A E．The stress produced in a semi?infinite solid by pressure on part of the boundary［J］．Philosophical Transac?tions of the Royal Society A：Mathematical，Physical and En?gineering Sciences，1929，228：377?420．

［14］ Love A E．A treatise on the mathematical theory of elasticity［M］．New York：Dover Publications，1944．

［15］ Jiang W G，Warby M K，J．Henshall L．Statically indetermi?nate contacts in axially loaded wire strand［J］．European Journal of Mechanics A／Solids，2008，27（1）：69?78．

（責任編輯：龍晉偉）

Study on Multi?contact Performances of Steel Wire Rope Strand Based on Semi?analytical Method

ZHOU Meijuan1，MA Zhifei2，3，MENG Fanming1?，CHEN Yuanpei1
（1．The State Key Laboratory of Mechanical Transmission，Chongqing University，Chongqing 400044，China；2．Aerospace System Engineering Shanghai，Shanghai 201109，China；3．Shanghai Key Laboratory of Spacecraft Mechanism，Shanghai 201109，China）

For the failure problem of steel wire ropes caused by inter?wire contact in the service process，an inter?wire multi?contact model considering different contact statuses was established based on associated theories and was further solved with the semi?analytical method．Meanwhile，its validity was demonstrated．For the method，the conjugate gradient method and the Fast Fourier transform were employed to solve the contact pressure and the deformation，respectively．The results showed that the multi?contact status happened for ropes subjected to axial tensile and torsion loads．As the tensile load increased，the central and outer wires approached to each other and the outer wires separated from each other，in which case the stiffness at a small lay angle decreased，while the stiffness at the large angle increased．With the increase of the torsional load，the outer wires ap?proached to each other and the central and outer wires separated from each other，in which case the stiffness at a small lay angle increased，while the stiffness at the large angle increased first and then decayed．

steel wire rope strand；multi contact performances；semi analytical method；lay angle；stiffness

TH123；TD532

A

1674?5825（2017）04?0522?07

2016?12?04；

2017?06?29

重慶大學中央高校基本科研業(yè)務費重大項目基金（106112016CDJZR288805）；上海市空間飛行器機構重點實驗室開放課題（SM2014D102）

周美娟，女，博士研究生，研究方向為鋼絲繩及摩擦學。E?mail：hx＿zhoumeijuan＠163．com

?通訊作者：孟凡明，男，教授，研究方向為鋼絲繩、內(nèi)燃機動力學及摩擦學等。E?mail：fmmeng＠cqu．edu．cn