單層構架式可展結構平面度分析與測試

吳明兒，張振昌，關富玲

·柔性結構機構材料、工藝與試驗·

單層構架式可展結構平面度分析與測試

吳明兒1，張振昌1，關富玲2

（1．同濟大學建筑工程系，上海200092；2．浙江大學空間結構研究中心，杭州310058）

對某彈性元件驅動的單層構架式可展結構的平面度評價指標進行了定義。根據可展結構基本組成單元中構件的相互幾何關系，結合Monte Carlo法及多元線性回歸方法，分析了構件的尺寸和加工誤差對可展結構平面度的影響，利用非接觸測量方法測試了可展結構模型的平面度。參考平面度分析結果，在可展結構模型I的基礎上減小接頭開孔圓心至側板邊緣尺寸并制作模型II。經測試，模型II的平面度得到改善且滿足設計要求，驗證了平面度改善方法的可行性。

可展結構；平面度；非接觸測量；誤差分析

1 引言

小衛星具有體積小、功能強、研發周期短和使用靈活等諸多優點［1］。自二十世紀八十年代英國提出小衛星研制技術以來，已經有包括美國及歐洲國家在內的數十個國家參與小衛星的技術及應用開發［2］。我國將小衛星及其應用的發展作為高新技術領域未來發展的重點［3］。可展結構以其自身結構特點可大大提升小衛星的功能，擴展其應用范圍，因而成為小衛星研究熱點之一。

可展結構展開狀態下表面的形面精度是其所承載的電學或光學元件正常工作的重要保證。目前對于可展結構形面精度的研究主要集中于充氣薄膜天線和網狀可展天線等曲面型可展結構以及太陽帆板等平面型可展結構。對充氣薄膜天線的形面精度而言，充氣氣壓控制和膜面成形工藝是主要的研究方向［4?6］；對網狀可展天線的形面精度而言，索網找形是主要研究方向［7?9］；對太陽帆板平面度的研究集中在測量方法［10］。本文研究的可展結構為平面型結構，根據其使用特點對展開狀態下的平整程度有要求，其平面平整度以平面度表示。

本文對平面度進行定義，分析構件尺寸和誤差對平面度的影響，并對展開結構模型進行平面度測試。根據分析結果對展開結構尺寸進行調整，以改善可展結構平面度。

2 可展結構方案

本文研究的可展結構應用于小衛星，需要滿足展開狀態下平面平整度不超過1°的設計要求。可展結構的設計方案如圖1所示。

圖1 中的可展結構共含84根桿件，通過雙向、三向、四向和六向節點連接，并且由安裝于各節點的彈簧實現展開驅動。可展結構在展開狀態下的桿件與節點形成一個平面。考慮到可展結構通過中心節點與衛星相連，本文以中心節點表面形成的平面作為參考基準面，將可展結構平面度定義為每根桿件上表面與中心節點平面的夾角值。通過控制夾角的大小，保證可展結構的平面度。

可展結構由圖2所示的等邊三角形基本展開單元組成。桿件、接頭和節點的連接如圖3所示。理想狀態下，桿件在扭簧的預扭矩作用下轉動90°，由于限位底板的限位作用展開到與中心節點表面的夾角為0°的狀態。考慮到安裝的可行性及展開的靈活性，可展結構中節點、銷軸和接頭的尺寸需要進行適當的放大和減小，尺寸公差間需要進行配合設計。同時，構件尺寸本身就存在一定的加工誤差。因而，桿件表面與中心節點平面將存在一定的夾角。

3 可展結構平面度分析

首先將對平面度的分析簡化為單根桿件繞其相鄰節點的轉動分析。如圖3，桿件首先通過銷軸與接頭連接，然后接頭再通過銷軸與節點連接，其中扭簧位于接頭與節點之間，為可展結構的展開提供扭矩。圖3中的直角坐標系各坐標軸方向定義如下：y軸沿桿件軸向；z軸垂直于節點平面向上；x軸平行于節點表面。對于桿件相對接頭的轉動，可在二者對齊的情況下將二者牢固粘合，因此忽略這一部分轉動對平面度的影響。對于接頭相對節點的轉動，由于繞y軸、z軸的方向受力不大，并且繞z軸的轉動為平面內轉動，故忽略這兩部分對平面度的影響；由于繞x軸方向存在扭簧提供的扭矩，在尺寸誤差存在的情況下，接頭相對節點繞x軸必將轉動一定的角度，本文僅把這一角度值作為平面度的影響因素進行分析。

圖4為節點與接頭的連接示意圖。在各尺寸誤差不同的取值情況下，接頭相對于節點會出現轉動不足和轉動過度兩種狀態。圖中節點下側的虛線部分為限位底板所在位置，黑色陰影部分為銷軸的截面。A、B、C三點分別為節點、銷軸、接頭三者連接處各自圓心的位置。圖中θ即為接頭相對于節點繞x軸轉動的角度值。按照加工圖紙的尺寸標注信息并參考圖4，與θ相關的模型I設計尺寸及公差信息如表1所示。

式（3）和式（4）中AD、DF、CG、DH的數值取尺寸標準值。接頭相對節點繞x軸的轉動分析就是a1、a2…a7在一定取值情況下求解包含θ方程的問題。按照式（3）和式（4）計算所得的θ值為負時，分別對應圖5中（a）、（b）兩種情況。觀察圖5中的A、B兩點，此時接頭側板均已經轉入到節點的限位底板以內，不符合實際意義，故舍去。定性分析可知：在轉動不足狀態下，a1、a3、a6的值越小，a2、a4、a7的值越大，則θ越大；在轉動過度狀態下，a1、a3、a6的值越大，a2、a4、a5的值越小，則θ越大。

對圖4中轉動不足的狀態，根據直角三角形AEG中的三角函數關系得式（1）：

展開得式（2）：

考慮各尺寸的誤差，式（2）展開為式（3）：

類似地，對圖4中轉動過度的狀態可得式（4）：

4 可展結構平面度分布分析

可展結構中各構件的尺寸誤差ai（i＝1，2，…，7）為隨機變量。由生產實踐可知，大批量生產穩定的工藝過程，工件尺寸趨近正態分布［11］。如表1所示，尺寸誤差ai（i＝1，2，…，7）對應尺寸的公差為：［aib，aiu］，aib、aiu分別為尺寸的上、下偏差，中偏差為aim＝（aib＋aiu）／2。設誤差ai滿足正態分布，均值為μi，標準差為σi。考慮到實際構件加工質量，暫定公差帶寬度取為2σ，即相應尺寸的公差為［μi－σi，μi＋σi］，則ai的分布參數μi、σi為式（5）：

采用Monte Carlo法對可展結構平面度的分布進行分析。按照a1、a2…a7各自的概率分布生成20 000組隨機誤差值（a1i，a2i，…，a7i）（i＝1，2，…，20 000）。將每一組誤差值代入到式（3）和式（4）中計算θ，根據滿足實際意義的要求，取其中θ≥0的部分。規定轉動不足狀態平面度符號為負，轉動過度狀態平面度符號為正，即將式（4）計算所得的θ取負，得到與20 000組誤差值一一對應的20 000組平面度值，其分布直方圖如圖6所示。

對圖6中分布進行正態分布擬合，得其均值為0? 74，標準差為0? 269。由圖6可以看出，在模型I的設計尺寸下，絕大多數θ值處于轉動過度的狀態。經統計，平面度值θ＞1°的頻率約為16? 5%。根據以上分析結果，為了使平面度滿足設計要求，需要在模型I的設計尺寸的基礎上進行調整。

在平面度調整之前，首先利用多元線性回歸方法分析尺寸誤差a1、a2…a7對平面度的影響程度。選用轉動過度狀態下20 000組誤差抽樣a1，a2，…，a6及對應θ值進行線性回歸得式（6）：

式（6）中a1、a2…a6前的系數即為多元線性回歸方程的偏回歸系數β＾j（j＝1，2，…，6），表示在其他誤差變量ak（k≠j，k＝1，2，…，6）保持不變時，aj（j＝1，2，…，6）增加或者減少1 mm時，θ

的平均變化量。同樣，對轉動不足狀態下的aj（j＝1，2，3，4，6，7）和θ進行線性回歸得式（7）：

對轉動過度和轉動不足狀態的回歸方程均進行擬合優度及方程顯著性檢驗，檢驗結果表明：因變量θ有極好的擬合效果，回歸方程回歸效果顯著。同時，對兩種狀態下回歸方程中各個自變量進行顯著性檢驗，檢驗結果表明，自變量對因變量線性效果顯著。

為了比較各自變量aj（j＝1，2，…，7）對因變量θ的影響程度大小，對轉動過度和轉動不足狀態的回歸方程中回歸系數（j＝1，2，…，7）進行標準化，得到兩種狀態下自變量的標準化系數分別如表2、表3所示。

表2 轉動過度狀態標準化回歸系數Table 2 Standardized regression coefficient under insufficient rotation

表3 轉動不足狀態標準化回歸系數Table 3 Standardized regression coefficient under over rotation

按照模型I的設計尺寸和尺寸誤差分析，平面度θ值主要處于轉動過度的范圍內，此時a6與θ呈正相關關系，即接頭開孔圓心至側板邊緣實際尺寸與θ呈正相關關系。為減小θ值，可適當減小接頭開孔圓心至側板邊緣基本尺寸CG。圖7為ΔCG＝0、－0? 02…－0? 12時，平面度均值μ以及滿足95? 4%保證率的平面度分布范圍［μ－2σ，μ＋2σ］隨ΔCG變化情況。表4為平面度的統計參數情況（樣本數M＝40 000，分組數N＝200）。

表4 不同ΔCG下平面度分布參數值Table 4 Parameters of flatness under various ΔCG

由表4及圖7中可以看出，隨著尺寸的不斷減小，平面度均值及分布范圍沿縱坐標軸不斷下移。通過調整CG的尺寸，可以實現將滿足95? 44%保證率的平面度分布范圍移動至±1°的設計要求范圍之內

5 可展結構平面度測試及調整

采用攝影測量方法對可展結構平面度進行測量。測量設備包括高分辨率數碼相機、定向反光標志（靶點）和數據處理軟件3部分［12］。按照可展結構平面度評價指標，首先在中心節點的平面上均勻布置6個靶點，通過擬合得到中心節點平面的法向矢量；在每根桿件的上表面兩端各布置1個靶點，得到各桿件上表面的平行矢量；最后通過矢量計算得到各桿件上表面與中心節點擬合平面的夾角。可展結構整體及中心節點處靶點布置如圖8所示。

利用Photomodeler軟件對照片進行處理，得到靶點的分布云圖如圖9所示。根據各個靶點之間的相對坐標，計算得到平面度的測量值。

利用上述方法對模型I的平面度進行測量，試驗測得模型I平面度分布如圖10所示。

測量結果表明：模型I的84根桿件中，平面度超出±1°范圍的桿件數為24根，約占桿件總數的28? 6%，且最大值達到2．05°。經過擬合，模型I平面度滿足均值μ＝0．647°，標準差σ＝0．708°的正態分布。因此，模型I的平面度較差，需進行進一步優化。同時，模型I測試結果和分析結果的均值、標準差雖然略有差異，但二者總體趨勢基本相同，所以可以按照對平面度的分析在模型I的基礎上進行調整和優化。

根據對平面度的分析可知，ΔCG在－0? 04到－0? 12之間時，滿足95? 44%保證率的平面度分布范圍都可以有效地控制在±1°范圍以內。模型II的構件尺寸在模型I的基礎上將接頭開孔圓心至側板邊緣尺寸減小0．04 mm，即ΔCG＝－0? 04。對模型II進行平面度測試和數據處理，其平面度分布如圖11所示。

測試結果表明，模型II的平面度數值已經全部符合±1°以內的設計要求，說明該調整方法對于平面度的改善有較好的適用性。經計算，模型II平面度滿足均值μ＝0．272°，標準差σ＝0．296°的正態分布。

模型I、模型II平面度試驗測量值和模擬分析值進行正態分布擬合，各正態分布曲線如圖12所示，各曲線參數信息如表5所示。

表5 正態分布曲線信息表Table 5 Parameters of distribution of flatness

比較圖12中由平面度理論分析擬合的兩條曲線可以看出，通過對接頭開孔圓心至側板邊緣尺寸的調整，模型I和模型II平面度理論分析結果的分布離散程度基本不變；分布的均值由0．740°減小至0．410°，曲線的分布范圍沿橫軸向左平移。比較平面度試驗測量值擬合的兩條曲線可以看出，模型II的平面度分布比模型I在離散程度和均值方面均有了很大的改善，其中均值由0．647°減小為0．272°，曲線的分布范圍沿橫軸向左平移，與理論分析的結果一致；標準差由0．708°減小為0．296°，說明尺寸調整對平面度的改善可行。分別將模型I和模型II的理論分析值擬合曲線與試驗測量值擬合曲線進行對比，從均值來看，理論分析值擬合曲線與試驗測量值擬合曲線都十分接近，僅有約0．1°的偏離；從標準差來看，模型II的兩條曲線離散程度更為接近，模型I試驗測量值擬合曲線比理論分析值擬合曲線離散程度大。可以看出，模型II的構件加工質量要好于模型I，其試驗測量結果與理論分析結果也更為接近。

6 結論

本文結合Monte Carlo法及多元線性回歸方法分析了尺寸誤差對彈性元件驅動單層構架式可展結構平面度的影響，分析結果表明可通過調整相關尺使平面度滿足設計要求。

利用非接觸測量法對可展結構模型I和模型II的平面度進行了測試。模型II是參考分析結果在模型I基礎上減小接頭開孔圓心至側板邊緣這一尺寸制作而成。測試結果表明模型II的平面度全部滿足設計要求。

對模型I、II平面度的理論分析結果與試驗測量結果進行了對比，結果表明，理論分析結果與試驗測量結果較為一致。模型II的構件加工質量好于模型I，其試驗測量結果與理論分析結果也更為接近。

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（責任編輯：龍晉偉）

Analysis and Measurement of Flatness of a Single?Layer Deployable Truss Structure Driven by Elastic Components

WU Minger1，ZHANG Zhenchang1，GUAN Fuling2
（1．Department of Structural Engineering，Tongji University，Shanghai 200092，China；2．Space Structures Research Center，Zhejiang University，Hangzhou 310038，China）

According to the structural characteristics of a single－layer deployable truss structure driven by elastic components，the flatness of the structure was defined．The influence of dimension error on the flatness was analyzed by using Monte Carlo method and multiple linear regression meth?od．The flatness of deployable structure Model I and Model II was measured with a non－contact measurement method．According to the analytical results，the dimension of the joint hole to the side panel was adjusted in Model II．It was showed that the flatness of Model II was improved and could meet the design requirements．The method for adjustment of dimension to improve the flatness of the deployable structure was effective．

deployable structure；flatness；non contact measurement；error analysis

V423

A

1674?5825（2017）04?0529?07

2017?01?18；

2017?06?27

吳明兒，男，博士，教授，研究方向為空間結構設計。E?mail：wuminger＠tongji．edu．cn