淺談微分方程銜接性教學

王珺+賀莉

摘要：本文探討了微分方程在高等數學教學過程中所面臨前后銜接的問題，分析了微分方程教學過程中與基礎數學課和專業課之間銜接的諸多問題，進而給出在教學上的應對措施和建議。

關鍵詞：微分方程；數學模型；Matlab

中圖分類號：G642.41 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2017）33-0155-02

一、引言

微分方程是一門古老又重要的數學分支，它用來描述各種實際現象，對處理動態時間問題起到至關重要的作用。微分方程作為理工科必修課程，是本科階段數學模型中最常用的建模方法，在整個高等數學的教學過程中起到承上啟下的關鍵作用。在微分方程的教學中，首先需要同學們掌握微積分的相關知識，熟練運用初等函數的微分、積分技巧解決一維常微分方程。而在處理多維微分方程組及高階方程時，大量線性代數和矩陣知識是主要工具。這就要求學生在之前的數學基礎課上打好基礎，這樣微分方程課程才能順利進行。而將掌握的所有數學知識應用到各自專業學習上，正是通過微分方程課程作為銜接。如醫學影像工程學、地震偵測與預測、電磁場方程、熱傳導方程、生物種群演化、金融衍生品價格的確定等都是微分方程，涵蓋了理工學科的方方面面，甚至包括管理、經濟、金融等文理兼修的學科。可以說沒有微分方程就沒有現代的信息社會。但目前，微分方程教學上還存在諸多問題。例如，本科數學教學往往注重高等數學、線性代數和概率論三大考研內容的基礎數學課。對微分方程重要性的認識不夠，壓縮微分方程教學課時。其次，微分方程分為理論與計算兩部分。計算部分有數值計算方法等需要運用計算機輔助教學，而微分方程課程只有理論課時，國內基本沒有配套的實驗課程。本文將重點關注微分方程在教學過程最為關鍵的一環——基礎課與專業課教學前后銜接性問題。

二、微分方程在高等數學教學中出現的銜接問題

為了更好地闡述問題，我們首先來看一下微分方程主要學習什么內容及其學習的目的。

1.求解一階方程、二維一階方程組、二階線性方程、一階線性方程組等常用微分方程的常規解法。

2.上述微分方程的數值解法。

3.Laplace變換求解微分方程組。

4.非線性微分方程及其穩定性。

5.數學建模。

前三項內容可以歸為一類——學習用不同的方法求解各類微分方程。該內容是學習微分方程的基礎，也是學習重點。因為面對不同的方程采取的方法都不一樣。首先應學會判斷方程類型，采取對應的求解方法。內容多，記憶量大，求解步驟復雜，后期計算量頗大。其中Laplace變換是區別于微積分求解的另一套求解微分方程的方法。好處是求解各類方程采取的方法統一，缺點也很明顯，學生需要重新學習一套求解系統。對應于微分和積分，Laplace變換也大量變換與逆變換公式，這恰恰是學生們從未接觸過的。

第四項非線性方程穩定性問題，是微分方程的難點。學習如何通過不求解方程，判斷解得性質和趨勢。

最后一項，數學建模，是微分方程區別其他數學基礎課的關鍵點。所有的前期學習內容都是為了解決實際問題而服務的。根據問題背景，通過分析變量之間的關系，列出相應的微分方程，構建數學模型，進而求解。

根據上述的內容，我們可以得出微分方程課程是學習高等數學課理論知識過渡到專業課的橋梁，起到承上啟下的關鍵作用。下面分別考慮銜接中出現的種種問題。

（一）微分方程與基礎數學課的銜接問題

大學基礎數學課是大學生公共必修課，本身難懂難學。往往學生不知道為什么要學，學完微積分、線性代數都有什么用？而作為基礎數學課的老師卻解答不了學生的疑問。學生沒有帶著問題去學，學習的積極性不高，僅僅把數學課當作任務完成，學習效果自然不好。這就造成學生進入后期微分方程學習時，數學基礎薄弱，關鍵知識掌握不牢。等到學習微分方程的時候，知道要解決具體的問題是什么，卻不知道如何解決，需要重新學習基礎數學，悔不當初。

另一方面，一門基礎數學課一個學校統一教學大綱，各個專業學習的內容幾乎一致，完全沒有側重點。后續微分方程的教學上學生都會感慨需要用到的知識之前并沒有熟練掌握。這些知識在當初學習中可能并不突出，也不作為考試的考察重點。例如，微分方程中不僅要求學生掌握復合函數求導、兩個函數積的求導，還需要公式會逆向應用。這樣，微分方程教學過程中需要重新講授微積分、線性代數甚至是復變函數的內容，造成了教師和學生大量重復性工作，也擠壓了正常微分方程教學的課時。

（二）微分方程與專業課的銜接問題

微分方程作為數學建模的重要手段，就是用來解決生產生活中大量實際問題的。到這個階段，各個專業的差異性才凸顯。而在具體操作上，微分方程課程往往安排在大二下學期或大三進行，幾乎與專業課同時開課。專業課老師講完本專業內容時對模型的具體解法需要微分方程課程來解答。而顯然微分方程的學習需要循序漸進，不可一蹴而就。學生同時學這幾門課往往一知半解，知識體系不完整，吸收沒有連貫性，教師和學生都感到無所適從。

微分方程作為一個龐大的數學分支，內容多而課時有限。若單純地教授計算方法與穩定性理論，學生沒有解決實際問題的需求，又會出現微積分教學上的問題，不知道為什么學？生活中似乎見不到微分方程？有這樣的疑慮就不能使微分方程教學達到好的效果。而既介紹理論計算又教授如何建模，又會與部分專業課重疊，甚至由于教材不同，建模的思路也不同，造成學生的困惑。目前，大多數微分方程課由公共課教師講授，與專業課教師分屬不同部門。雙方交流的機會實在有限，所以微分方程與專業課如何銜接值得關注。

三、應對微分方程教學上銜接性的改進建議

（一）由成熟的數學教師講授微分方程課程

成熟，代表你對高等數學有充分的理解。沒有教授過幾輪微積分、幾輪線性代數的教師直接讓他們講微分方程是極其不合理的。微分方程的內容是要求教師對之前基礎數學課非常熟悉，在學生遇到對之前數學知識遺忘的時候，能簡明扼要地講解相關內容，做好承上的銜接。

另一方面，這里說的成熟不是單一的成熟。即使講過二十年微積分的教師也不能高質量地講授微分方程。我們常說對于一個教師而言，要有扎實的基本功，需要他能將整個高等數學體系融會貫通。優秀的微分方程教師需要知道在學生未來的學習上，哪些數學知識是貫徹始終的，哪些部分是有專業側重點的。例如，面對電氣專業的學生，微分方程教材中很少有詳細介紹Laplace變換的，往往一兩頁簡述一下。但該專業需要掌握電路設計等問題，這些問題可以由Laplace變換求解。作為教授該專業的微分方程教師就應該將這部分內容補充進來，詳細講解Laplace變換，掃清學生在今后學習專業課的障礙。

（二）教材的選取至關重要

微分方程近年來發展迅速，分支眾多，出現大量的本科教材。按內容可以將微分方程分為四個部分：解微分方程、穩定性理論、數值方法求解方程和數學建模。目前的教材大多側重一兩個方面，這與國內本科教學的課時有關。因此，這樣的教材往往對應不上專業的需求。有的專業教材主要是數學建模，可是學生有自己的專業要求，卻不會解微分方程。還有的教材穩定性理論講解得過于深入，而學生根本理解不了，也應用不上。這就需要開課的時候，詳細了解本專業的教學需要，選擇一本適合該專業學生的教材，保證與未來專業課的連續性教學。

（三）Matlab實驗教學與理論教學結合

近十多年來，微分方程的應用領域不斷擴大，由于所研究的實際問題的規模越來越大，越來越復雜，涉及的變量越來越多，因此，大規模的微分方程計算方法就成為重要的數學工具。傳統的微分方程教學偏重自身的理論體系，重視理論和計算，因此授課方式多采用傳統的黑板板書和“概念—定理—解法—習題”的模式。傳統的黑板板書的教學方式，有利于理論內容的講解，能夠讓學生了解每一步的理論依據、邏輯過程。但缺乏交互性和實用性，不利于調動學生的主觀能動性和學習興趣，解決不了具體的復雜問題。我們在教學上，期望在以后實際應用面對多變量復雜計算時，學生可以將所學的微分方程課程學以致用，而不僅僅是了解簡單的理論知識卻不能解決實際問題。

四、結語

本文主要關注了微分方程課程在整個高等數學教學中前后銜接的問題。隨著基礎數學學科和應用數學學科不斷融合發展，如何更有效地實現高等數學連續性教學成為熱點問題。長春工業大學目前有一試點教學。由一成熟的數學教師負責某一專業全部數學課程：微積分、線性代數、概率論、微分方程等。該教師從大一教授至大三，與學生關系緊密，可自主安排課程，務必對應專業學習有的放矢，最大程度地保證教學的連續性。該舉措我們將在教學實踐中不斷改進，加以驗證。

Analysis and Improvement of Coherence Teaching of Differential Equations

WANG Jun，HE Li

（School of Basic Science， Changchun University of Technology， Changchun，Jilin 130012， China）

Abstract： This paper discusses the problems in coherence teaching of Differential Equations in advanced mathematics teaching. We analyzes a lot of coherence problems of basic mathematics course and professional course with Differential Equations. Moreover， corresponding counter measures and suggestions are given.

Key words： differential equations；mathematical model；Matlab