樣本方差定義的深層次分析

趙虎+楊小飛+李萍+楊海龍

摘要：本文為了便于讀者對樣本方差定義的理解，以正態(tài)分布為例，通過深層次分析，總結(jié)得出：在實際應(yīng)用中，為什么樣本方差的定義選取式子■■（X■-■）■，而不選取■■（X■-■）■的結(jié)論。

關(guān)鍵詞：總體方差；樣本方差；正態(tài)分布；無偏估計；一致估計

中圖分類號：O21 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2017）33-0194-02

概率論與數(shù)理統(tǒng)計是高等學校理工科大學生的一門必修課。然而對于初學者來說，總覺得樣本方差的定義不易掌握，且容易產(chǎn)生畏懼心理。到底是除以n還是n-1，大部分學生會感到很茫然。因此有必要弄清楚二者的區(qū)別。本文以正態(tài)分布為例，對樣本方差的定義進行深層次的分析，以便初學者了解樣本方差的定義。

一、預備知識

定義1 設(shè)X是一個隨機變量，若E（|X|■）<∞，則稱A■=E（X■）為X的K階原點矩。當k=1，A■=E（X），恰好為X的期望。

定義2 設(shè)（X■，X■，…，X■）為總體X的一個樣本，稱統(tǒng)計量B■=■■X■■為樣本的K階原點矩。當k=1，

B■=■■X■=■，恰好為樣本的均值。

定理1：設(shè)總體X～N（μ，σ2），若（X1，X2，…，Xn）為X的一個簡單隨機樣本，X為樣本均值，

S■■=■■（Xi-■）■，則■～x2（n-1）.

二、對樣本方差定義的分析

設(shè)（X■，X■，…，X■）為總體X的一個樣本，根據(jù)切比雪夫大數(shù)定理知，當總體X的K階矩存在時，樣本的K階矩依概率收斂于總體的K階矩時，因此可以用樣本的K階矩近似總體的K階矩。

當總體X的K階矩存在時，若定義總體的方差

D（X）=A■-A■■=E（X■）-E（X）■，因此根據(jù)切比雪夫大數(shù)定理，樣本的方差自然地可以定義為：

S■=B■-B■■

=■■X■■-■■X■■

=■■X■■-■■

=■■（X■-■）■.

所以，從理論上講，樣本的方差應(yīng)該用

S■=■■（X■-■）■來表示。若設(shè)（x■，x■，…，x■）是樣本

（X■，X■，…，X■）的一組觀測值，c是任意常數(shù)，可以推出：

s■=■■（x■-■）■=■■（（x■-c）+（c-■））■

=■■（x■-c）■-（■-c）■≤■■（x■-c）■

（注意：這里的n去掉或者換成n-1不等式仍然成立）。這說明了只有當c=■時，才能取到最小值，即波動性最小，越有效。但是在實際應(yīng)用中，為什么樣本的方差選取■■（X■-■）■，而不選取S■=■■（X■-■）■？ 這是因為估計量的選取不僅要符合有效性，還要符合無偏和一致性，這樣選取的估計量是最好的。學生自然而然地要問，■■（X■-■）■這個表達式到底怎么來的？它是否恰好符合無偏和一致性呢？

下面以正態(tài)分布為例進行闡述，設(shè)（X■，X■，…，X■）為總體X～N（μ，σ■）的一個簡單隨機樣本。

先回憶無偏估計的定義——設(shè)θ■（X■，X■…X■）是參數(shù)θ的一個估計量，若E（θ■（X■，X■…X■））=θ，則稱θ■（X■，X■…X■）是參數(shù)θ的一個無偏估計量。由于

E（S■）=E（■■（X■-■）■）

=E（■■X■■-■■）=E（X■■）-E（■■）

=D（X■）+E（X■）？搖■-D（■）+E（■）？搖■

=σ■+μ■-■nD（X■）+■nE（X■）？搖■

=σ■+μ■-■σ■-μ■

=■σ■

因此選取S■=■■（X■-■）■作為總體方差σ■的估計量不是無偏的估計量，但是

E（■S■）=■E（S■）=■·■σ■=σ■.

故將S■修正，令

S■■=■S■=■·■■（X■-■）■

=■■（X■-■）■.

顯然有E（S■■）=σ■.

現(xiàn)在的問題是：S■■=■■（X■-■）■是否滿足一致性？

再回憶一致性的定義：設(shè)θ■（X■，X■…X■）是參數(shù)θ的一個估計量，若？坌ε>0，

■p|θ■（X■，X■…X■）-θ|<ε=1，則稱θ■（X■，X■…X■）是參數(shù)θ的一致估計量。

根據(jù)定理1，■～χ■（n-1）.

因此：

D（S■■）=■D（■S■■）

=■2（n-1）=■.

即D（S■■）存在。根據(jù)切比雪夫不等式，

？坌ε>0，0≤p|S■■-E（S■■）|≥ε

=p|S■■-σ■|≥ε≤■=■.

所以■p|S■■-E（S■■）|≥ε=0.

故■p|S■■-E（S■■）|<ε=

1-■p|S■■-E（S■■）|≥ε=1.

這就證明了S■■=■■（X■-■）■是參數(shù)σ■的一致估計量。

三、結(jié)論

本文以正態(tài)分布為例，從理論上證明了在實際應(yīng)用中，為什么樣本方差的定義選取式子■■（X■-■）■，而不選取■■（X■-■）■的結(jié)論，同時還應(yīng)注意到，當n足夠大時，二者（至少在計算上）的區(qū)別可以忽略不計。

參考文獻：

[1]魏忠舒.概率論與數(shù)理統(tǒng)計教程[M].第二版.北京：高等教育出版社，1993.

[2]盛驟，謝式千，潘承毅.概率論與數(shù)理統(tǒng)計[M].第四版.北京：高等教育出版，2010.

[3]趙健，郭良棟.樣本方差定義分析[J].高師理科學刊，2016，36（7）：61-62.

[4]楊海龍.隨機事件概率的解題思路與方法[J].教育教學論壇，2016，（19）：163-164.

A Deeply Analysis on the Definition of Sample Variance

ZHAO Hu1，YANG Xiao-fei1，LI Ping1，YANG Hai-long2

（1.School of Science，Xi'an Polytechnic University，Xi'an，Shaanxi 710048，China；

2. College of Mathematics and Information Science，Shaanxi Normal University，Xi'an，Shaanxi 710062，China）

Abstract：In this paper，in order to facilitate reader's understanding the definition of sample variance，taking normal distribution as an example，through a deeply analysis，we concluded the following conclusion：in real application，why people choose formula ■■（X■-■）■ as the definition of sample variance rather than choose formula■■（X■-■）■.

Key words：population variance；sample variance；normal distribution；unbiased estimator；consistent estimator