滲透合情推理，有效激活教材

張彩云+段如甜

【摘要】圓錐曲線作為高考內(nèi)容考查的重點，是高中學習的主要內(nèi)容之一。圓錐曲線的第二定義揭示了圓錐曲線的內(nèi)在聯(lián)系，應(yīng)用圓錐曲線的第二定義解題，不僅能夠提高解題效率還有利于培養(yǎng)學生解決問題的能力。

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學 圓錐曲線 第二定義 應(yīng)用

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2017）29-0131-02

現(xiàn)行人教A版高中數(shù)學選修1-1教材中圓錐曲線包括橢圓、雙曲線和拋物線，圓錐曲線作為平面解析幾何教學中的重點和難點，一直都是高考中重點考查的內(nèi)容。圓錐曲線的定義不僅是教材中的基本內(nèi)容，也是解決一些與圓錐曲線相關(guān)問題的一種不可或缺的方法。圓錐曲線的第二定義則把焦點、準線、離心率巧妙的整合在一起，在解決有關(guān)問題時，若能應(yīng)用第二定義，將起到事半功倍的效果。然而，教材中并未明確的給出圓錐曲線的第二定義，只是以例題的形式呈現(xiàn)，內(nèi)容單薄，容易被學生忽視，如果處理不當，將直接影響學生對圓錐曲線統(tǒng)一定義的理解。同時，介于圓錐曲線第二定義的重要性以及幫助學生建立全面的數(shù)學知識體系，在教材的基礎(chǔ)之上，將課本中的例題和習題進行有機的結(jié)合，引導學生認識圓錐曲線的第二定義，并進行簡單的應(yīng)用，具體的教學流程如下：

一、問題的呈現(xiàn)

人教A版高中數(shù)學選修1-1第二章圓錐曲線與方程的第一節(jié)橢圓中的例6[1]：點M（x，y）與定點F（4，0）的距離和它到直線l：x=■的距離的比是常數(shù)■，求點M的軌跡。

這道例題的設(shè)計，從本節(jié)內(nèi)容上看，實際上承擔了三個教學目標：一是考查學生對橢圓標準方程的理解程度；二是考查學生求軌跡方程的方法——直接法；三是通過具體的例子使學生感受橢圓的第二定義。

二、教學片斷呈現(xiàn)

（一）在例題6的教學中，首先進行分析解答得到點M的軌跡方程為■+■=1，點M的軌跡是長軸長、短軸長、焦距分別為10、6、8的橢圓，此時教學目標一、二實現(xiàn)。其次，引出橢圓的第二定義，設(shè)計如下：

問題1：請學生獨立完成課本43頁習題B組第2題：點P與定點F（2，0）的距離和它到直線l：x=8的距離比是1：2，求點P的軌跡方程，并說明軌跡是什么圖形？

生1：點P的軌跡方程：■+■=1，點M的軌跡是長軸長、短軸長、焦距分別為8、4■、4的橢圓。

問題2：請學生找出例題6與習題有哪些共同點？

生2：題目模式一樣，都是動點到定點的距離與到定直線的距離比為常數(shù)。

生3：結(jié)論均為橢圓。

問題3：請同學們仔細觀察兩定點有什么共同點？

生4：例題與習題中的定點即為橢圓的焦點。

問題4：請同學們再次仔細觀察兩個題目中的定直線有什么共同點？

生5：例題中l(wèi)：x=■=■，習題中l(wèi)：x=8=■=■

問題5：兩題中“常數(shù)”有什么相同點？

生6：例題中常數(shù)為■<1，且■=■；習題中常數(shù)為■<1，且■=■。

歸納概括特點：題目中的定點為F（c，0），定直線為l：x=■，常數(shù)為■。

得到拓展：點M（x，y）與定點F（c，0）的距離和它到直線l：x=■（a>c）的距離的比是常數(shù)■，求點M的軌跡。

解答由學生獨立完成，兩位學生板演。得到點M的軌跡方程為■+■=1（b2=a2-c2），點M的軌跡為橢圓。

（二）類比橢圓的定義，得到橢圓第二定義，即若點M（x，y）與定點F（c，0）的距離和它到直線l：x=■的距離的比是常數(shù)■（a>c>0），則點M的軌跡是一個橢圓（如圖1）。定點F（c，0）是橢圓的焦點，直線l：x=■稱為相應(yīng)于焦點F的準線。由橢圓的對稱性，相應(yīng)于焦點F'（-c，0）的橢圓的準線l'：x=-■。

（三）信息技術(shù)應(yīng)用加強橢圓第二定義的直觀性

教材43頁，信息技術(shù)應(yīng)用；用幾何畫板探究點M的軌跡（如圖2）。

圖1 圖2

（四）第二定義的應(yīng)用

（1）由橢圓的第二定義得到橢圓的焦半徑公式

若點M（x0，y0）為橢圓■+■=1上一點，則|MF1|=a+ex0，|MF2|=a-ex0

證明：∵■=■，∴|MF1|=■|x0-■|=|ex0-a|=a-ex0同理|MF2|=a+ex0

（2）由焦半徑公式得|MF1|max=a+c，|MF1|min=a-c。由焦半徑公式不難得|MF1|max=a+c，|MF1|min=a-c。這一性質(zhì)在應(yīng)用“到定點距離之和為常數(shù)”的“拉線法”作橢圓的演示時已經(jīng)觀察得出。這里通過焦半徑公式推導，完成實踐——理論的升華。

（3）設(shè)橢圓的左焦點為F，AB為橢圓中過點F的弦，試判斷以AB為直徑的圓與左準線的位置關(guān)系。

解：設(shè)M為弦AB的中點（即圓心），A，B，M在準線l：x=-■上的攝影分別是A'，B'，M'。由橢圓的第二定義得|AB|=|AF|+|BF|，∴|AB|=e（|AA'|+|BB'|）而0

（4）已知A（-2，■），F(xiàn)是■+■=1的右焦點，點M為橢圓的動點，求|MA|+2|MF|的最小值，并求此時M的坐標。

分析：此題主要在于2|MF|的轉(zhuǎn)化，由第二定義：■=e=■，可得出2|MF|=d，即為M到l（右準線）的距離，再求最小值可較快的求出。

解：過M作MN⊥l于N，l為右準線：x=8，由第二定義得■=e=■，∴2|MF|=d=|MN|，∵|MA|+2|MF|=|MA|+|MN|，要使|MA|+2|MF|為最小值，即|MF|+|MA|為最小，由圖知當A，M，N共線，即AM⊥l時，|MA|+2|MF|為最小，且最小值為A到l的距離為10，此時，可設(shè)M（x0，■），代入橢圓方程中，解得：x0=2■，故當M（2■，■）時，|MA|+2|MF|為最小，且最小值為10。

由此可見，橢圓第二定義的巧用，可使題目變?yōu)楹唵巍Ｒ话愕兀龅揭欢c到定直線問題若想到第二定義，在解題是可達到事半功倍的效果。

三、教學反思

橢圓、雙曲線的第二定義，教材都以例題、習題的形式呈現(xiàn)出來，教師應(yīng)該認真深入研究教材，把握教材編寫思路，領(lǐng)會編寫意圖，把握例題、習題的教學目標。處理好橢圓第二定義的探究學習，雙曲線的第二定義的類比學習，以及拋物線定義的學習，得到圓錐曲線的統(tǒng)一定義，將圓錐曲線有機聯(lián)系起來，揭示了圓錐曲線內(nèi)在聯(lián)系，與教材開頭語前后呼應(yīng)，將這一章內(nèi)容畫了完美的“句號”。

參考文獻：

[1]中學數(shù)學課程教材研究開發(fā)中心 編著.普通高中課程標準實驗教科書（A版）數(shù)學（選修1-1）[M].北京：人民教育出版社，2007：40.