滲透合情推理，有效激活教材

張彩云+段如甜

【摘要】圓錐曲線作為高考內(nèi)容考查的重點(diǎn)，是高中學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容之一。圓錐曲線的第二定義揭示了圓錐曲線的內(nèi)在聯(lián)系，應(yīng)用圓錐曲線的第二定義解題，不僅能夠提高解題效率還有利于培養(yǎng)學(xué)生解決問(wèn)題的能力。

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué) 圓錐曲線 第二定義 應(yīng)用

【中圖分類號(hào)】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2017）29-0131-02

現(xiàn)行人教A版高中數(shù)學(xué)選修1-1教材中圓錐曲線包括橢圓、雙曲線和拋物線，圓錐曲線作為平面解析幾何教學(xué)中的重點(diǎn)和難點(diǎn)，一直都是高考中重點(diǎn)考查的內(nèi)容。圓錐曲線的定義不僅是教材中的基本內(nèi)容，也是解決一些與圓錐曲線相關(guān)問(wèn)題的一種不可或缺的方法。圓錐曲線的第二定義則把焦點(diǎn)、準(zhǔn)線、離心率巧妙的整合在一起，在解決有關(guān)問(wèn)題時(shí)，若能應(yīng)用第二定義，將起到事半功倍的效果。然而，教材中并未明確的給出圓錐曲線的第二定義，只是以例題的形式呈現(xiàn)，內(nèi)容單薄，容易被學(xué)生忽視，如果處理不當(dāng)，將直接影響學(xué)生對(duì)圓錐曲線統(tǒng)一定義的理解。同時(shí)，介于圓錐曲線第二定義的重要性以及幫助學(xué)生建立全面的數(shù)學(xué)知識(shí)體系，在教材的基礎(chǔ)之上，將課本中的例題和習(xí)題進(jìn)行有機(jī)的結(jié)合，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)圓錐曲線的第二定義，并進(jìn)行簡(jiǎn)單的應(yīng)用，具體的教學(xué)流程如下：

一、問(wèn)題的呈現(xiàn)

人教A版高中數(shù)學(xué)選修1-1第二章圓錐曲線與方程的第一節(jié)橢圓中的例6[1]：點(diǎn)M（x，y）與定點(diǎn)F（4，0）的距離和它到直線l：x=■的距離的比是常數(shù)■，求點(diǎn)M的軌跡。

這道例題的設(shè)計(jì)，從本節(jié)內(nèi)容上看，實(shí)際上承擔(dān)了三個(gè)教學(xué)目標(biāo)：一是考查學(xué)生對(duì)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的理解程度；二是考查學(xué)生求軌跡方程的方法——直接法；三是通過(guò)具體的例子使學(xué)生感受橢圓的第二定義。

二、教學(xué)片斷呈現(xiàn)

（一）在例題6的教學(xué)中，首先進(jìn)行分析解答得到點(diǎn)M的軌跡方程為■+■=1，點(diǎn)M的軌跡是長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)、焦距分別為10、6、8的橢圓，此時(shí)教學(xué)目標(biāo)一、二實(shí)現(xiàn)。其次，引出橢圓的第二定義，設(shè)計(jì)如下：

問(wèn)題1：請(qǐng)學(xué)生獨(dú)立完成課本43頁(yè)習(xí)題B組第2題：點(diǎn)P與定點(diǎn)F（2，0）的距離和它到直線l：x=8的距離比是1：2，求點(diǎn)P的軌跡方程，并說(shuō)明軌跡是什么圖形？

生1：點(diǎn)P的軌跡方程：■+■=1，點(diǎn)M的軌跡是長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)、焦距分別為8、4■、4的橢圓。

問(wèn)題2：請(qǐng)學(xué)生找出例題6與習(xí)題有哪些共同點(diǎn)？

生2：題目模式一樣，都是動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離比為常數(shù)。

生3：結(jié)論均為橢圓。

問(wèn)題3：請(qǐng)同學(xué)們仔細(xì)觀察兩定點(diǎn)有什么共同點(diǎn)？

生4：例題與習(xí)題中的定點(diǎn)即為橢圓的焦點(diǎn)。

問(wèn)題4：請(qǐng)同學(xué)們?cè)俅巫屑?xì)觀察兩個(gè)題目中的定直線有什么共同點(diǎn)？

生5：例題中l(wèi)：x=■=■，習(xí)題中l(wèi)：x=8=■=■

問(wèn)題5：兩題中“常數(shù)”有什么相同點(diǎn)？

生6：例題中常數(shù)為■<1，且■=■；習(xí)題中常數(shù)為■<1，且■=■。

歸納概括特點(diǎn)：題目中的定點(diǎn)為F（c，0），定直線為l：x=■，常數(shù)為■。

得到拓展：點(diǎn)M（x，y）與定點(diǎn)F（c，0）的距離和它到直線l：x=■（a>c）的距離的比是常數(shù)■，求點(diǎn)M的軌跡。

解答由學(xué)生獨(dú)立完成，兩位學(xué)生板演。得到點(diǎn)M的軌跡方程為■+■=1（b2=a2-c2），點(diǎn)M的軌跡為橢圓。

（二）類比橢圓的定義，得到橢圓第二定義，即若點(diǎn)M（x，y）與定點(diǎn)F（c，0）的距離和它到直線l：x=■的距離的比是常數(shù)■（a>c>0），則點(diǎn)M的軌跡是一個(gè)橢圓（如圖1）。定點(diǎn)F（c，0）是橢圓的焦點(diǎn)，直線l：x=■稱為相應(yīng)于焦點(diǎn)F的準(zhǔn)線。由橢圓的對(duì)稱性，相應(yīng)于焦點(diǎn)F'（-c，0）的橢圓的準(zhǔn)線l'：x=-■。

（三）信息技術(shù)應(yīng)用加強(qiáng)橢圓第二定義的直觀性

教材43頁(yè)，信息技術(shù)應(yīng)用；用幾何畫(huà)板探究點(diǎn)M的軌跡（如圖2）。

圖1 圖2

（四）第二定義的應(yīng)用

（1）由橢圓的第二定義得到橢圓的焦半徑公式

若點(diǎn)M（x0，y0）為橢圓■+■=1上一點(diǎn)，則|MF1|=a+ex0，|MF2|=a-ex0

證明：∵■=■，∴|MF1|=■|x0-■|=|ex0-a|=a-ex0同理|MF2|=a+ex0

（2）由焦半徑公式得|MF1|max=a+c，|MF1|min=a-c。由焦半徑公式不難得|MF1|max=a+c，|MF1|min=a-c。這一性質(zhì)在應(yīng)用“到定點(diǎn)距離之和為常數(shù)”的“拉線法”作橢圓的演示時(shí)已經(jīng)觀察得出。這里通過(guò)焦半徑公式推導(dǎo)，完成實(shí)踐——理論的升華。

（3）設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為F，AB為橢圓中過(guò)點(diǎn)F的弦，試判斷以AB為直徑的圓與左準(zhǔn)線的位置關(guān)系。

解：設(shè)M為弦AB的中點(diǎn)（即圓心），A，B，M在準(zhǔn)線l：x=-■上的攝影分別是A'，B'，M'。由橢圓的第二定義得|AB|=|AF|+|BF|，∴|AB|=e（|AA'|+|BB'|）而0

（4）已知A（-2，■），F(xiàn)是■+■=1的右焦點(diǎn)，點(diǎn)M為橢圓的動(dòng)點(diǎn)，求|MA|+2|MF|的最小值，并求此時(shí)M的坐標(biāo)。

分析：此題主要在于2|MF|的轉(zhuǎn)化，由第二定義：■=e=■，可得出2|MF|=d，即為M到l（右準(zhǔn)線）的距離，再求最小值可較快的求出。

解：過(guò)M作MN⊥l于N，l為右準(zhǔn)線：x=8，由第二定義得■=e=■，∴2|MF|=d=|MN|，∵|MA|+2|MF|=|MA|+|MN|，要使|MA|+2|MF|為最小值，即|MF|+|MA|為最小，由圖知當(dāng)A，M，N共線，即AM⊥l時(shí)，|MA|+2|MF|為最小，且最小值為A到l的距離為10，此時(shí)，可設(shè)M（x0，■），代入橢圓方程中，解得：x0=2■，故當(dāng)M（2■，■）時(shí)，|MA|+2|MF|為最小，且最小值為10。

由此可見(jiàn)，橢圓第二定義的巧用，可使題目變?yōu)楹?jiǎn)單。一般地，遇到一定點(diǎn)到定直線問(wèn)題若想到第二定義，在解題是可達(dá)到事半功倍的效果。

三、教學(xué)反思

橢圓、雙曲線的第二定義，教材都以例題、習(xí)題的形式呈現(xiàn)出來(lái)，教師應(yīng)該認(rèn)真深入研究教材，把握教材編寫(xiě)思路，領(lǐng)會(huì)編寫(xiě)意圖，把握例題、習(xí)題的教學(xué)目標(biāo)。處理好橢圓第二定義的探究學(xué)習(xí)，雙曲線的第二定義的類比學(xué)習(xí)，以及拋物線定義的學(xué)習(xí)，得到圓錐曲線的統(tǒng)一定義，將圓錐曲線有機(jī)聯(lián)系起來(lái)，揭示了圓錐曲線內(nèi)在聯(lián)系，與教材開(kāi)頭語(yǔ)前后呼應(yīng)，將這一章內(nèi)容畫(huà)了完美的“句號(hào)”。

參考文獻(xiàn)：

[1]中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開(kāi)發(fā)中心 編著.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)（A版）數(shù)學(xué)（選修1-1）[M].北京：人民教育出版社，2007：40.