淺談概率論在高等數學中的應用

黃皓

【摘要】高等數學作為邏輯性強、內容涉及廣泛且具有教學系統化特征的學科，是高校學生公認的難學學科。尤其是高等數學計算與證明問題，學生很難找到準確的方式進行解答。而概率論的應用則有效幫助學生解決了上述問題，提升了學生解題效率。本文結合筆者相關經驗與知識，對概率論在高等數學中的應用進行了分析，以供參考。

【關鍵詞】概率論 高等數學 應用

【中圖分類號】G64 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2017）29-0136-01

1.概率論在高等數學分布簡化解題中的應用

概率分布是概率論中的基礎知識，依據概率論與高等數學之間存在的關系，利用概率分布可有效簡化高等數學題目，降低高等數學計算難度，提升計算準確。

例如，計算■C■■x■y■（x>0，y>0）

解：假設在不規則均勻基礎上，向上丟拋正反兩面薄銅片Z次，則薄銅片在此過程中，其正面朝上的概率則為Y=x/（x+g），如果用T表示上拋Z次薄銅片過程中正面朝上的次數，則有：

Y={T=g}=C■■P■（1-P）■，（g=0，1，2，3，4…，a）

依據概率論中的分布知識，可得出：

1=■P{T=g}=■=C■■P■（1-P）■=■C■■（x/x+y）■（y/x+y）n-g

故得出：■=C■■x■y■=（x+y）■-y■-axy■

2.概率論在高等數學不等式中的應用

在高等數學學習中，不等式問題是解題難度較大的內容之一。如果找不到準確的證明方式，則無法再短時內得到準確的結果。實踐證明，通過利用概率論理論中的有關內容，可有效簡化高等數學不等式證明過程，從而提升證明效率與準確率。

例如，在某高等數學教材中的不等式習題中，即已知在[A，B]區間范圍內，f（x）連續且f（x）>0，求證：■f（x）ex×■1/f（x）ex≥（B-A）■

在不等式中應注重對積分區間[A，B]的考慮，可依據概率論中的隨機變量性質，通過均勻分布進行不等式證明。

解：假設X～U[A，B]，X1=■，X2=■，

則有E（X■■）=1/B-A■f（x）ex，E（X■■）=1/B-A■1/ex，E（X1X2）=1

依據柯西—施瓦茨不等式相關原理則有：E（X■■）E（X■■）≥[E（X1X2）]■，從而可得出■f（x）ex×■1/f（x）ex≥（B-A）■

3.概率論在高等數學計算級數與積分中的應用

概率論理論體系中的“方差”、“數學期望”是概率論隨機變量的基礎組成部分，在高等數學級數與積分計算與解題過程中，通過利用概率論隨機變量中的方差與數學期望，可有效降低高等數學題目難度，簡化解題過程，激發學生學習興趣與自信心[1]。

例如：■a■（2/3）■高等數學“計算級數”題目的解答。

在解答該題目時，按照概率論隨機變量的知識內容，構造服從于Y=1/3幾何分布的隨機變量“ζ”，則可得出Y（ζ=a）=1/3（（2/3）■），D（ζ）=3，M（ζ）=6，從而計算得出Dζ■=D（ζ）■+M（ζ）=15。與此同時，Dζ■=■a■1/3×（2/3）■=1/3■a■1/3×（2/3）■=15。進而得出■a■（2/3）■的最終值為45。

在高等數學積分問題時，如“可變形被積函數”，則可將“可變形被積函數”轉換為概率論中正態分布隨機變量的“數學期望”后進行計算，用以簡化運算過程，得出結論。

例如：關于■（4a■+5a+6）b■的求解

分析：該高等數學題目的原被積分函數中存在b■因式，故可先將b■因式進行科學調整，得出b■b■。而所配置得出的b■b■與ω2=1/2，υ=-1的正態分布概率組成部分相符。所以可得出下解：

■（4a■+5a+6）b■=b■■■（4a■+5a+6）■b■ma=■（4Ea■+5Ea+6）=■。最終求出高等數學原積分數值■。

結論：總而言之，本文結合實例對概率論知識在高等數學級數、不等式、積分等問題中的應用進行了分析。分析發現，將概率論有效應用于高等數學計算與解題中，可有效降低高等數學解題難度，調動學生數學學習興趣，樹立學生高等數學學科自信心，取得事半功倍的教學效果。

參考文獻：

[1]于曉杰，孫欣.淺談概率論與數理統計在生活中的應用[J].西部皮革，2016，12：164.