關(guān)于換元法的分析和探究

張力丹+++楊盼盼

摘要：在求解某些數(shù)學(xué)問題的時(shí)，有時(shí)需要引入換元法。本文首先對換元法進(jìn)行了簡要的介紹，引入了常值換元法，局部換元法，和積換元法，三角換元法，均值換元法，比值換元法，放縮換元法，積分換元法。根據(jù)各換元法的思想，對各換元法進(jìn)行了分析。分析結(jié)果表明，通過換元法可以將某些復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題化繁為簡，化難為易，從而達(dá)到方便解題的目的。

關(guān)鍵詞：局部換元法；三角換元法；放縮換元法；換元積分法；均值換元法

1 引言

由于條件與結(jié)論中的變量關(guān)系在形式上的隱蔽，它們之間實(shí)質(zhì)性的邏輯關(guān)系不易從表面形式上被發(fā)現(xiàn)，故需要從一種形態(tài)轉(zhuǎn)換到另一種形態(tài)。因此就出現(xiàn)了換元，并產(chǎn)生了換元法。換元法的基本思想是通過變量代換，可以化高次為低次，化分式為整式，化無理式為有理式，達(dá)到化繁為簡，化難為易的目的，從而達(dá)到解題方便的目的。目前所知道的常用的換元法有常值換元法，局部換元法，和積換元法，三角換元法，均值換元法，比值換元法，放縮換元法，以及數(shù)學(xué)積分應(yīng)用中的第一換元積分法和第二換元積分法[1]。換元法在定積分，不定積分，方程，不等式，函數(shù)，數(shù)列，三角函數(shù)等數(shù)學(xué)問題中有著廣泛的應(yīng)用。當(dāng)遇到代數(shù)中式子較繁瑣，解法比較復(fù)雜時(shí)，換元法就發(fā)揮了其功能，達(dá)到化難為易，化深為淺，化繁為簡的目的。這是簡化解題方案，尋求最佳解題法的有效方法。

2 常值換元法

常值換元法就是將數(shù)學(xué)題中的比較大或比較復(fù)雜的數(shù)字用簡潔的字母代替來解題，是最簡單的一種換元方法。當(dāng)原數(shù)學(xué)問題中存在比較繁瑣的常值時(shí)，可以考慮使用常值換元法。利用常值換元法，可以將原數(shù)學(xué)問題中的常值數(shù)字更加突出，原表達(dá)式中常值與常值之間的規(guī)律更加明顯。

3 局部換元法

局部換元是一種換元方法，因此它的實(shí)質(zhì)還是換元的思想。它和常值換元法類似，但是還存在一定的區(qū)別。它是一種最常用的換元方法，也稱整體換元法。在某些數(shù)學(xué)題中對于某個(gè)復(fù)雜的或多次出現(xiàn)的代數(shù)式當(dāng)成一個(gè)整體，用一個(gè)變量來代替，這就體現(xiàn)了局部換元的思想，從而簡化問題，達(dá)到解題的要求。對于某些數(shù)學(xué)問題，當(dāng)問題中存在某個(gè)復(fù)雜的代數(shù)式或多次出現(xiàn)某個(gè)代數(shù)式時(shí)，可以考慮局部換元法。利用局部換元法將不易直接求解的表達(dá)式轉(zhuǎn)換成易于求解的表達(dá)式。

4 和積換元法

當(dāng)出現(xiàn)x+y，xy這種表達(dá)式的時(shí)候，可以將此種表達(dá)式作為解題的輔助元，這種解題方法是換元法中的和積換元法。當(dāng)某些原數(shù)學(xué)問題中的表達(dá)式通過化簡變形之后，如果能夠轉(zhuǎn)換成x+y和xy的這種輔助元，就需要考慮用和積換元法。

5 三角換元法

三角換元法主要是利用一些常用的三角函數(shù)來實(shí)現(xiàn)換元，也是應(yīng)用比較廣泛的一種換元方法[2]。當(dāng)解答某些數(shù)學(xué)問題時(shí)，當(dāng)需要三角函數(shù)代替某些復(fù)雜的表達(dá)式時(shí)，就需要考慮用三角換元法，利用三角換元法需要注意是原表達(dá)式的定義域必須滿足三角函數(shù)的定義域。

6 均值換元法

當(dāng)表達(dá)式中出現(xiàn)類似X+Y=2K條件時(shí)，我們就可以把X，Y分別設(shè)為X=K+T，Y=K-T（K，T均為實(shí)數(shù)）來解題，這種換元法稱為均值換元法，當(dāng)遇到兩個(gè)元素的和為定值時(shí)，就需要用均值換元法。當(dāng)遇到兩個(gè)元素的和為定值的問題時(shí)，就需要考慮用均值換元法。

7比值換元法

當(dāng)題中含有比例或經(jīng)過變換可以得出有連比的式子時(shí)，就可以設(shè)該式為輔助元，此換元法稱為比值換元法，當(dāng)出現(xiàn)比例相等的式子時(shí)，就需要考慮用比值換元法。

8放縮換元法

放縮法是對題目中的表達(dá)式進(jìn)行適度的放大和縮小[3]。放縮換元法，主要應(yīng)用于不等式和數(shù)列求和，需要注意的一點(diǎn)是在放縮的過程中把握度。

9積分換元法

積分換元法分為兩類，第一類換元積分法和第二類換元積分法[4] 。第一類換元積分法是不定積分的基礎(chǔ)且具有很大的靈活性，為了能應(yīng)用第一類換元積分法來解題，就需要靈活的運(yùn)用所學(xué)的微分公式。第二類換元積分法主要用于求被積函數(shù)含有根號的不定積分，去掉根號是換元的主要思路[5]。在第二類換元積分法中有三角代換，根式代換和倒數(shù)代換來達(dá)到去根號的目的[6]。

10結(jié)束語

通過對上面各種換元積分法的分析和探究可以看出，換元法起著極其重要的作用，通過換元法可以清楚的認(rèn)識到某些數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，使得在求解這些數(shù)學(xué)問題時(shí)，可以化繁為簡，化難為易，減少計(jì)算量，提高解題速度。學(xué)會運(yùn)用各種換元法，不僅可以了解決到數(shù)學(xué)的諸多分支的難題，還可以拓展學(xué)生的思維，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。對于某些直接不易求解的數(shù)學(xué)問題時(shí)，需要仔細(xì)觀察問題結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，抓住問題存在的規(guī)律，深入剖析問題的隱含條件，適當(dāng)?shù)膿Q元，找到最佳的解題路徑，并結(jié)合所學(xué)的知識綜合運(yùn)用給予解答。當(dāng)然，在寫此論文的過程中發(fā)現(xiàn)本文研究的只是常用的換元法解題的技巧，缺少對換元法解題理論的深入研究，因此在換元理論方面還需要完善。

參考文獻(xiàn)

[1]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析[M]（第三版 上冊）.北京：高等教育出版社，2013：182-186

[2]胡秀萍.淺談三角代換在解題中的應(yīng)用[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，2014（02）：36-37

[3]陳慰敏.巧用換元法證明等式或不等式[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，2012（03）：26-27

[4]周華春.換元法在解方程（組）中的應(yīng)用[J].成都教育學(xué)院學(xué)報(bào)，2014（07）：65-66

[5]冉莉莉.換元法在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用[J].機(jī)械職業(yè)教育，2012（08）：25-30

[6]劉大鳴，李鵬云.例說換元法的簡化功能[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2015（12）：89-90