關于換元法的分析和探究

張力丹+++楊盼盼

摘要：在求解某些數學問題的時，有時需要引入換元法。本文首先對換元法進行了簡要的介紹，引入了常值換元法，局部換元法，和積換元法，三角換元法，均值換元法，比值換元法，放縮換元法，積分換元法。根據各換元法的思想，對各換元法進行了分析。分析結果表明，通過換元法可以將某些復雜的數學問題化繁為簡，化難為易，從而達到方便解題的目的。

關鍵詞：局部換元法；三角換元法；放縮換元法；換元積分法；均值換元法

1 引言

由于條件與結論中的變量關系在形式上的隱蔽，它們之間實質性的邏輯關系不易從表面形式上被發現，故需要從一種形態轉換到另一種形態。因此就出現了換元，并產生了換元法。換元法的基本思想是通過變量代換，可以化高次為低次，化分式為整式，化無理式為有理式，達到化繁為簡，化難為易的目的，從而達到解題方便的目的。目前所知道的常用的換元法有常值換元法，局部換元法，和積換元法，三角換元法，均值換元法，比值換元法，放縮換元法，以及數學積分應用中的第一換元積分法和第二換元積分法[1]。換元法在定積分，不定積分，方程，不等式，函數，數列，三角函數等數學問題中有著廣泛的應用。當遇到代數中式子較繁瑣，解法比較復雜時，換元法就發揮了其功能，達到化難為易，化深為淺，化繁為簡的目的。這是簡化解題方案，尋求最佳解題法的有效方法。

2 常值換元法

常值換元法就是將數學題中的比較大或比較復雜的數字用簡潔的字母代替來解題，是最簡單的一種換元方法。當原數學問題中存在比較繁瑣的常值時，可以考慮使用常值換元法。利用常值換元法，可以將原數學問題中的常值數字更加突出，原表達式中常值與常值之間的規律更加明顯。

3 局部換元法

局部換元是一種換元方法，因此它的實質還是換元的思想。它和常值換元法類似，但是還存在一定的區別。它是一種最常用的換元方法，也稱整體換元法。在某些數學題中對于某個復雜的或多次出現的代數式當成一個整體，用一個變量來代替，這就體現了局部換元的思想，從而簡化問題，達到解題的要求。對于某些數學問題，當問題中存在某個復雜的代數式或多次出現某個代數式時，可以考慮局部換元法。利用局部換元法將不易直接求解的表達式轉換成易于求解的表達式。

4 和積換元法

當出現x+y，xy這種表達式的時候，可以將此種表達式作為解題的輔助元，這種解題方法是換元法中的和積換元法。當某些原數學問題中的表達式通過化簡變形之后，如果能夠轉換成x+y和xy的這種輔助元，就需要考慮用和積換元法。

5 三角換元法

三角換元法主要是利用一些常用的三角函數來實現換元，也是應用比較廣泛的一種換元方法[2]。當解答某些數學問題時，當需要三角函數代替某些復雜的表達式時，就需要考慮用三角換元法，利用三角換元法需要注意是原表達式的定義域必須滿足三角函數的定義域。

6 均值換元法

當表達式中出現類似X+Y=2K條件時，我們就可以把X，Y分別設為X=K+T，Y=K-T（K，T均為實數）來解題，這種換元法稱為均值換元法，當遇到兩個元素的和為定值時，就需要用均值換元法。當遇到兩個元素的和為定值的問題時，就需要考慮用均值換元法。

7比值換元法

當題中含有比例或經過變換可以得出有連比的式子時，就可以設該式為輔助元，此換元法稱為比值換元法，當出現比例相等的式子時，就需要考慮用比值換元法。

8放縮換元法

放縮法是對題目中的表達式進行適度的放大和縮小[3]。放縮換元法，主要應用于不等式和數列求和，需要注意的一點是在放縮的過程中把握度。

9積分換元法

積分換元法分為兩類，第一類換元積分法和第二類換元積分法[4] 。第一類換元積分法是不定積分的基礎且具有很大的靈活性，為了能應用第一類換元積分法來解題，就需要靈活的運用所學的微分公式。第二類換元積分法主要用于求被積函數含有根號的不定積分，去掉根號是換元的主要思路[5]。在第二類換元積分法中有三角代換，根式代換和倒數代換來達到去根號的目的[6]。

10結束語

通過對上面各種換元積分法的分析和探究可以看出，換元法起著極其重要的作用，通過換元法可以清楚的認識到某些數學問題的本質，使得在求解這些數學問題時，可以化繁為簡，化難為易，減少計算量，提高解題速度。學會運用各種換元法，不僅可以了解決到數學的諸多分支的難題，還可以拓展學生的思維，激發學生的學習興趣。對于某些直接不易求解的數學問題時，需要仔細觀察問題結構特點，抓住問題存在的規律，深入剖析問題的隱含條件，適當的換元，找到最佳的解題路徑，并結合所學的知識綜合運用給予解答。當然，在寫此論文的過程中發現本文研究的只是常用的換元法解題的技巧，缺少對換元法解題理論的深入研究，因此在換元理論方面還需要完善。

參考文獻

[1]華東師范大學數學系.數學分析[M]（第三版 上冊）.北京：高等教育出版社，2013：182-186

[2]胡秀萍.淺談三角代換在解題中的應用[J].中學數學教學，2014（02）：36-37

[3]陳慰敏.巧用換元法證明等式或不等式[J].中學數學教學，2012（03）：26-27

[4]周華春.換元法在解方程（組）中的應用[J].成都教育學院學報，2014（07）：65-66

[5]冉莉莉.換元法在數學教學中的應用[J].機械職業教育，2012（08）：25-30

[6]劉大鳴，李鵬云.例說換元法的簡化功能[J].數學教學通訊，2015（12）：89-90