活躍在初中數(shù)學(xué)的五種數(shù)學(xué)思想方法

張成芬

摘要：數(shù)學(xué)的基本結(jié)構(gòu)由數(shù)學(xué)的知識結(jié)構(gòu)和思維系統(tǒng)兩部分組成。組成數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)的是概念，定理，公式，法則。組成思維系統(tǒng)的則是數(shù)學(xué)思想方法和思維策略。本文就常見的五種數(shù)學(xué)思想，在初中數(shù)學(xué)課程中的特點(diǎn)和作用等方面作一個探討，以期望對數(shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí)和教學(xué)，作一點(diǎn)積極作用。

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué) 數(shù)學(xué)思想方法

一、數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)形結(jié)合思想，包含"以形助數(shù)"和"以數(shù)輔形"兩個方面，其實(shí)質(zhì)是將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖像結(jié)合起來，關(guān)鍵是代數(shù)問題與圖形問題之間的轉(zhuǎn)化，它可以使代數(shù)問題幾何化，幾何問題代數(shù)化，其應(yīng)用大致可以分為這兩種情形。代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何問題時，常把數(shù)量關(guān)系的問題轉(zhuǎn)化為圖形的性質(zhì)問題來討論，即把抽象的數(shù)結(jié)構(gòu)與形象的形結(jié)構(gòu)聯(lián)系起來，化抽象為直觀，通過對圖形的研究，常能發(fā)現(xiàn)問題的隱含條件，誘發(fā)解題線索，使求解過程變得簡潔直觀。

例1：已知a

用代數(shù)方法解決幾何問題時，方法也是類似的。正如華羅庚教授所說：數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微，"數(shù)"與"形"存在互補(bǔ)關(guān)系。在應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想時，要把握一些原則，一是等價原則，要保證是等價轉(zhuǎn)化。二是要直觀簡潔，如果不直觀簡潔，也就沒有必要使用數(shù)形結(jié)合了。

二、轉(zhuǎn)化與化歸思想

轉(zhuǎn)化與化歸思想，就是在研究出解決有關(guān)數(shù)學(xué)問題時采用某種手段將問題通過變換使之轉(zhuǎn)化。主要包含四個方面：（1）化未知為已知。（2）化難為易。（3）化繁為簡。（4）化大為小。使用轉(zhuǎn)化與化歸思想，常見有十種方法：（1）直接轉(zhuǎn)化法：把原問題轉(zhuǎn)化為基本定理，公式或圖形問題。（2）換元法。（3）數(shù)形結(jié)合法。（4）等價轉(zhuǎn)化法。（6）構(gòu)造法：構(gòu)造一個合適的數(shù)學(xué)模型，讓問題變得容易。（7）坐標(biāo)化：以坐標(biāo)計算為工具，用計算來解決幾何問題。（8）類比法：運(yùn)用類比推理，猜測問題的結(jié)論，易于探求。（9）參數(shù)法：引進(jìn)參數(shù)，用計算解決問題。（10）正難則反證法。

例2設(shè)二次函數(shù) 的圖像與x軸交于兩點(diǎn)A，B（A在B左），與y軸交于正半軸點(diǎn)C，如果三角形ABC是銳角三角形，求k的取值范圍，判斷∠A， ∠B大小。

兩點(diǎn)A，B的橫坐標(biāo)是對應(yīng)方程的兩根 ，而OC=-（k+4）， ，只要確保OA*OB< 成立，從而∠C為銳角。這樣，求k的取值范圍的問題就轉(zhuǎn)化為解不等式組問題。

使用轉(zhuǎn)化與化歸思想解決數(shù)學(xué)問題一般應(yīng)遵循兩個原則，一是熟悉化原則。例如學(xué)習(xí)梯形的中位線的性質(zhì)，我們把梯形的中位線化歸為三角形的中位線來研究。這是我們熟悉的內(nèi)容。二是簡單化原則。當(dāng)然這也是所有問題解決的終極目標(biāo)。在平時加強(qiáng)針對性的訓(xùn)練與思維歸納總結(jié)是必不可少的。

三、分類與整合思想

分類討論，就是對問題所給的對象不能進(jìn)行統(tǒng)一研究時，要根據(jù)對象的性質(zhì)差異，按某個標(biāo)準(zhǔn)分成各種情形，即分類，然后對每一類進(jìn)行處理，最后綜合各類結(jié)果得到整個問題的解答。它的實(shí)質(zhì)上是“化整為零，各個擊破”的解題策略。事實(shí)上，分類是我們學(xué)習(xí)初中數(shù)學(xué)遇到的第一個方法。早在初一學(xué)習(xí)有理數(shù)時，我們就把有理數(shù)分成3類.：正有理數(shù)，負(fù)有理數(shù)和零。學(xué)習(xí)有理數(shù)加法時，我們又根據(jù)兩個加數(shù)的特點(diǎn)分成同號，異號但絕對值不想等，互為相反數(shù)，有一個加數(shù)為零這4類，最后得到完整法制。

例3，當(dāng) -2≤x ≤1 時，二次函數(shù) 有 最大值4，求實(shí)數(shù)m的值.

在給定自變量范圍內(nèi)，二次函數(shù)的最值與對稱軸的位置有關(guān)。對稱軸在自變量范圍內(nèi)，與對稱軸不在自變量范圍內(nèi)，最值取法不一致，所以應(yīng)分3類情況討論求解.

哪些問題適合于分類的思想方法求解呢？一般來說涉及到由分類定義的概念，如絕對值，二次方程，三角形，四邊形等等，用于分類研究的定理，性質(zhì)，公式，法則，如分式運(yùn)算，判別式等等，進(jìn)行的某些有限制的運(yùn)算，如除法，開偶次方等等，計算或推理過程中遇到的數(shù)量大小或圖形位置，形狀不確定，均應(yīng)考慮用分類的思想方法。

分類討論的原則一般應(yīng)遵循兩個基本原則，一是互斥性原則，分類后每類之間不重復(fù)不包含。二是無遺漏性原則，各種情形均應(yīng)一一考慮，沒有遺漏。

四、函數(shù)與方程思想

偉大的數(shù)學(xué)家笛卡爾，他在《指導(dǎo)思維的法則》一書中提出了一種解決一切問題的“萬能方法”其模式是先轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)問題，在轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，最后轉(zhuǎn)化為方程問題。說明方程的思想方法類似，函數(shù)的思想方法就是按RMI原理，把一個數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為一個函數(shù)的問題，并利用函數(shù)的性質(zhì)研究問題。函數(shù)思想的最大特點(diǎn)是從變化，動態(tài)的觀點(diǎn)來認(rèn)識數(shù)學(xué)對象和它們的性質(zhì)之間的關(guān)系，這樣能夠全面，深入也地認(rèn)識事物的本質(zhì)，可適用與數(shù)學(xué)的各個分支。

例4、某種品牌的內(nèi)衣進(jìn)價每件40元，若定價50元，則可銷售500件，獲利5000元，銷售量會減少10件，如果希望銷售這批內(nèi)衣的利潤達(dá)到8000元，應(yīng)如何定價？如果要獲取最大利潤，應(yīng)如何定價？

求未知量的問題，首先想到根據(jù)等量關(guān)系建立方程得（10+x）（500-10x）=8000，可得定價x的值。如果用y替換固定利潤8000，或把x看成變量，則得到一個二次函數(shù)的模型，用于解決最值問題。

在函數(shù)思想方法中，我們常用的性質(zhì)包含（1）點(diǎn)在函數(shù)圖像上，則坐標(biāo)滿足函數(shù)表達(dá)式（2）函數(shù)值的大小關(guān)系及極值（3）函數(shù)的增減性和圖像的對稱性、周期性等。

函數(shù)與方程思想是貫穿中學(xué)數(shù)學(xué)的一條線，它是中學(xué)數(shù)學(xué)中永恒的熱點(diǎn)，在運(yùn)用這種思想時，我們應(yīng)當(dāng)注意以下兩點(diǎn)：一是抓主元，即抓主要矛盾，確定變量，二是多從變化觀念看待問題，建立函數(shù)模型，從而用函數(shù)性質(zhì)解決問題。

總之，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)滲透數(shù)形結(jié)合思想方法，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力，使其養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣.數(shù)形結(jié)合思想貫穿初中數(shù)學(xué)教學(xué)的始終，“以形助數(shù)”“以數(shù)輔形”，有利于發(fā)展學(xué)生思維能力，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合意識，從而提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力

參考文獻(xiàn)：

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[3]甘壽權(quán).淺談初中數(shù)學(xué)教學(xué)中學(xué)生綜合能力的培養(yǎng)[J].讀與寫（教育教學(xué)刊），2013，（10）：82-82.