活躍在初中數(shù)學(xué)的五種數(shù)學(xué)思想方法

張成芬

摘要：數(shù)學(xué)的基本結(jié)構(gòu)由數(shù)學(xué)的知識(shí)結(jié)構(gòu)和思維系統(tǒng)兩部分組成。組成數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)的是概念，定理，公式，法則。組成思維系統(tǒng)的則是數(shù)學(xué)思想方法和思維策略。本文就常見(jiàn)的五種數(shù)學(xué)思想，在初中數(shù)學(xué)課程中的特點(diǎn)和作用等方面作一個(gè)探討，以期望對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí)和教學(xué)，作一點(diǎn)積極作用。

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué) 數(shù)學(xué)思想方法

一、數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)形結(jié)合思想，包含"以形助數(shù)"和"以數(shù)輔形"兩個(gè)方面，其實(shí)質(zhì)是將抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀的圖像結(jié)合起來(lái)，關(guān)鍵是代數(shù)問(wèn)題與圖形問(wèn)題之間的轉(zhuǎn)化，它可以使代數(shù)問(wèn)題幾何化，幾何問(wèn)題代數(shù)化，其應(yīng)用大致可以分為這兩種情形。代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題時(shí)，常把數(shù)量關(guān)系的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圖形的性質(zhì)問(wèn)題來(lái)討論，即把抽象的數(shù)結(jié)構(gòu)與形象的形結(jié)構(gòu)聯(lián)系起來(lái)，化抽象為直觀，通過(guò)對(duì)圖形的研究，常能發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的隱含條件，誘發(fā)解題線索，使求解過(guò)程變得簡(jiǎn)潔直觀。

例1：已知a

用代數(shù)方法解決幾何問(wèn)題時(shí)，方法也是類似的。正如華羅庚教授所說(shuō)：數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微，"數(shù)"與"形"存在互補(bǔ)關(guān)系。在應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想時(shí)，要把握一些原則，一是等價(jià)原則，要保證是等價(jià)轉(zhuǎn)化。二是要直觀簡(jiǎn)潔，如果不直觀簡(jiǎn)潔，也就沒(méi)有必要使用數(shù)形結(jié)合了。

二、轉(zhuǎn)化與化歸思想

轉(zhuǎn)化與化歸思想，就是在研究出解決有關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)采用某種手段將問(wèn)題通過(guò)變換使之轉(zhuǎn)化。主要包含四個(gè)方面：（1）化未知為已知。（2）化難為易。（3）化繁為簡(jiǎn)。（4）化大為小。使用轉(zhuǎn)化與化歸思想，常見(jiàn)有十種方法：（1）直接轉(zhuǎn)化法：把原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為基本定理，公式或圖形問(wèn)題。（2）換元法。（3）數(shù)形結(jié)合法。（4）等價(jià)轉(zhuǎn)化法。（6）構(gòu)造法：構(gòu)造一個(gè)合適的數(shù)學(xué)模型，讓問(wèn)題變得容易。（7）坐標(biāo)化：以坐標(biāo)計(jì)算為工具，用計(jì)算來(lái)解決幾何問(wèn)題。（8）類比法：運(yùn)用類比推理，猜測(cè)問(wèn)題的結(jié)論，易于探求。（9）參數(shù)法：引進(jìn)參數(shù)，用計(jì)算解決問(wèn)題。（10）正難則反證法。

例2設(shè)二次函數(shù) 的圖像與x軸交于兩點(diǎn)A，B（A在B左），與y軸交于正半軸點(diǎn)C，如果三角形ABC是銳角三角形，求k的取值范圍，判斷∠A， ∠B大小。

兩點(diǎn)A，B的橫坐標(biāo)是對(duì)應(yīng)方程的兩根 ，而OC=-（k+4）， ，只要確保OA*OB< 成立，從而∠C為銳角。這樣，求k的取值范圍的問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為解不等式組問(wèn)題。

使用轉(zhuǎn)化與化歸思想解決數(shù)學(xué)問(wèn)題一般應(yīng)遵循兩個(gè)原則，一是熟悉化原則。例如學(xué)習(xí)梯形的中位線的性質(zhì)，我們把梯形的中位線化歸為三角形的中位線來(lái)研究。這是我們熟悉的內(nèi)容。二是簡(jiǎn)單化原則。當(dāng)然這也是所有問(wèn)題解決的終極目標(biāo)。在平時(shí)加強(qiáng)針對(duì)性的訓(xùn)練與思維歸納總結(jié)是必不可少的。

三、分類與整合思想

分類討論，就是對(duì)問(wèn)題所給的對(duì)象不能進(jìn)行統(tǒng)一研究時(shí)，要根據(jù)對(duì)象的性質(zhì)差異，按某個(gè)標(biāo)準(zhǔn)分成各種情形，即分類，然后對(duì)每一類進(jìn)行處理，最后綜合各類結(jié)果得到整個(gè)問(wèn)題的解答。它的實(shí)質(zhì)上是“化整為零，各個(gè)擊破”的解題策略。事實(shí)上，分類是我們學(xué)習(xí)初中數(shù)學(xué)遇到的第一個(gè)方法。早在初一學(xué)習(xí)有理數(shù)時(shí)，我們就把有理數(shù)分成3類.：正有理數(shù)，負(fù)有理數(shù)和零。學(xué)習(xí)有理數(shù)加法時(shí)，我們又根據(jù)兩個(gè)加數(shù)的特點(diǎn)分成同號(hào)，異號(hào)但絕對(duì)值不想等，互為相反數(shù)，有一個(gè)加數(shù)為零這4類，最后得到完整法制。

例3，當(dāng) -2≤x ≤1 時(shí)，二次函數(shù) 有 最大值4，求實(shí)數(shù)m的值.

在給定自變量范圍內(nèi)，二次函數(shù)的最值與對(duì)稱軸的位置有關(guān)。對(duì)稱軸在自變量范圍內(nèi)，與對(duì)稱軸不在自變量范圍內(nèi)，最值取法不一致，所以應(yīng)分3類情況討論求解.

哪些問(wèn)題適合于分類的思想方法求解呢？一般來(lái)說(shuō)涉及到由分類定義的概念，如絕對(duì)值，二次方程，三角形，四邊形等等，用于分類研究的定理，性質(zhì)，公式，法則，如分式運(yùn)算，判別式等等，進(jìn)行的某些有限制的運(yùn)算，如除法，開(kāi)偶次方等等，計(jì)算或推理過(guò)程中遇到的數(shù)量大小或圖形位置，形狀不確定，均應(yīng)考慮用分類的思想方法。

分類討論的原則一般應(yīng)遵循兩個(gè)基本原則，一是互斥性原則，分類后每類之間不重復(fù)不包含。二是無(wú)遺漏性原則，各種情形均應(yīng)一一考慮，沒(méi)有遺漏。

四、函數(shù)與方程思想

偉大的數(shù)學(xué)家笛卡爾，他在《指導(dǎo)思維的法則》一書中提出了一種解決一切問(wèn)題的“萬(wàn)能方法”其模式是先轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)問(wèn)題，在轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題，最后轉(zhuǎn)化為方程問(wèn)題。說(shuō)明方程的思想方法類似，函數(shù)的思想方法就是按RMI原理，把一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)函數(shù)的問(wèn)題，并利用函數(shù)的性質(zhì)研究問(wèn)題。函數(shù)思想的最大特點(diǎn)是從變化，動(dòng)態(tài)的觀點(diǎn)來(lái)認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)對(duì)象和它們的性質(zhì)之間的關(guān)系，這樣能夠全面，深入也地認(rèn)識(shí)事物的本質(zhì)，可適用與數(shù)學(xué)的各個(gè)分支。

例4、某種品牌的內(nèi)衣進(jìn)價(jià)每件40元，若定價(jià)50元，則可銷售500件，獲利5000元，銷售量會(huì)減少10件，如果希望銷售這批內(nèi)衣的利潤(rùn)達(dá)到8000元，應(yīng)如何定價(jià)？如果要獲取最大利潤(rùn)，應(yīng)如何定價(jià)？

求未知量的問(wèn)題，首先想到根據(jù)等量關(guān)系建立方程得（10+x）（500-10x）=8000，可得定價(jià)x的值。如果用y替換固定利潤(rùn)8000，或把x看成變量，則得到一個(gè)二次函數(shù)的模型，用于解決最值問(wèn)題。

在函數(shù)思想方法中，我們常用的性質(zhì)包含（1）點(diǎn)在函數(shù)圖像上，則坐標(biāo)滿足函數(shù)表達(dá)式（2）函數(shù)值的大小關(guān)系及極值（3）函數(shù)的增減性和圖像的對(duì)稱性、周期性等。

函數(shù)與方程思想是貫穿中學(xué)數(shù)學(xué)的一條線，它是中學(xué)數(shù)學(xué)中永恒的熱點(diǎn)，在運(yùn)用這種思想時(shí)，我們應(yīng)當(dāng)注意以下兩點(diǎn)：一是抓主元，即抓主要矛盾，確定變量，二是多從變化觀念看待問(wèn)題，建立函數(shù)模型，從而用函數(shù)性質(zhì)解決問(wèn)題。

總之，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)滲透數(shù)形結(jié)合思想方法，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力，使其養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣.數(shù)形結(jié)合思想貫穿初中數(shù)學(xué)教學(xué)的始終，“以形助數(shù)”“以數(shù)輔形”，有利于發(fā)展學(xué)生思維能力，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合意識(shí)，從而提高學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力

參考文獻(xiàn)：

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