淺談數(shù)形結合思想在解題中的應用

吳勝珍

【摘 要】數(shù)形結合思想是數(shù)學解題過程中非常重要且好用的指導思想，在數(shù)學的廣袤領域中，數(shù)與形可謂左膀右臂，彼此相輔相成。數(shù)與形各有其優(yōu)點，也各有其不足之處。巧妙應用數(shù)形結合思想，不言而喻，在解題中將易做到巧解，快解，進而提高解題效率。

【關鍵詞】數(shù)形結合；解題；應用

數(shù)與形是數(shù)學問題中的兩大模塊，兩者看似有著天壤之別，實則息息相關。數(shù)是抽象繁瑣的代碼，通過形的轉化可將之形象化，通過對圖形的觀察發(fā)現(xiàn)潛在規(guī)律，從而找到更加快捷的解題途徑。而對于一些復雜的圖形，通過數(shù)的轉化，可將復雜難解的幾何問題簡單化成單純的代數(shù)運算，從而省去大把尋找解題思路的時間。由此觀之，數(shù)與形各有千秋，數(shù)形結合思想若能熟練掌握、巧妙應用，將是解題中的一大利器。

掌握數(shù)形結合思想，要求我們對代數(shù)式的結構有充分的分析、變形、聯(lián)想能力，對形的幾何特征、幾何意義有深入的挖掘和準確的把握，要樹立數(shù)形一體的思維框架，這及其考驗一個學生的數(shù)學修養(yǎng)。

一、數(shù)形結合和不等式

一些復雜的不等式的題目，若直接從代數(shù)角度出發(fā)尋找解題思路往往費解甚至走進死胡同。此時若能下意識的觀察代數(shù)式的結構特征，往幾何方向聯(lián)想，往往會有柳暗花明之感。

例題一：設x、y、z為正數(shù)，求證+>

對于此題，若直接從代數(shù)角度出發(fā)很難找到解題的突破口。但只要認真觀察式子結構，不難使我們聯(lián)想到余弦定理，根式也就可能代表了某些線段長，再由不等式聯(lián)想到三角形中兩邊之和大于第三邊，于是有了以下解法：如圖，設AD=x，BD=y，CD=z，，再根據(jù)余弦定理就有： AB=，BC=，AC=，再根據(jù)三角形ABC中三邊關系有AB+BC>CD，從而原不等式得證。

例題二：解

像這種結構復雜的不等式顯然難以從代數(shù)角度正面直接入手解題，而從結構上看，不妨將式子配方，再觀察是否有適當?shù)膱D形進行契合。解法如下：不等式化簡得，其幾何意義直線y=2上的點到（-2，0）和（2，0）距離之和小于等于6。于是可以構造橢圓方程，將y=2帶入解得x=，則不等式解集為。

通過以上的兩個例題我們可以發(fā)現(xiàn)，解決復雜的不等式問題，走數(shù)形結合的道路往往趨利避害、事半功倍。這就要求我們對于式子的結構有深入的剖析，對式子的變形技巧靈活掌握，對常見的兩點距離公式、點線距離公式、圓錐曲線定義及方程等知識點有全面的掌握，同時兼?zhèn)溆胸S富的聯(lián)想能力。

二、數(shù)形結合與向量

向量是數(shù)學中的一個獨特的工具，因為它具備基底形式的轉化和運算，又具備坐標方面的代數(shù)運算，因此，向量常常被作為連接代數(shù)和幾何的橋梁，數(shù)形結合的思想在解決向量的題目中往往是一把利刃。

例題三：已知a，b是平面內兩個互相垂直的單位向量，若向量c滿足（c+a）·（c-b）=0，則|c|的最大值是？

此題無論從基底還是坐標的角度都十分費解，但是如果能夠抓住題干中的眾多垂直關系加以利用，構造適合的圖形觀察幾何特征就會發(fā)現(xiàn)更加快捷的解題途徑。解法如下：如圖做向量OA⊥OB，記向量OA，OB分別為a，b，根據(jù)直徑對應的圓周角為直角，則向量c為以O為起點，終點在以AB為直徑的圓上記作C，易得該圓直徑為，則|c|取最大值時即OC為直徑時。|c|最大值為。

不僅僅是平面向量，數(shù)形結合在空間向量中的應用也同樣簡便，尤其是在解決立體幾何的題目中。在計算空間角、證明平行、垂直等位置關系中，化空間關系為簡單明了的向量坐標運算，將會大大減輕解題負擔。

三、數(shù)形結合與函數(shù)

函數(shù)作為中學階段的一個重要且熱門的考點，將數(shù)形結合的思想體現(xiàn)的淋漓盡致。函數(shù)的特殊性在于它兼具了圖像和方程兩個性質。函數(shù)的圖像將函數(shù)獨有的單調性、零點、極值、最值、漸進等各項幾何特征以最直觀的方法表現(xiàn)出來，便于我們做出草圖，進行初步的定性分析。而要做一些精確的定量，就需要借助方程，從代數(shù)角度運算。正如華羅庚所言：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微，數(shù)形結合百般好，隔離分家萬事休?！敝挥姓莆蘸脭?shù)形結合的思想，才能將復雜多變的函數(shù)問題系統(tǒng)化，才能將函數(shù)研究清楚。

通過函數(shù)的幾何特征求一些未知數(shù)的值或者取值范圍是函數(shù)一類?？嫉念}型，這就需要我們做出適當?shù)牟輬D，尋找?guī)缀侮P系，列出方程或不等式求解。

例題四：函數(shù)y=a|x|與y=x+a的圖象恰有兩個公共點，則實數(shù)a的取值范圍是（ ）

對于兩個函數(shù)均存在未知數(shù)的情況存在太多變的因素，我們不好直接畫出其圖像，因此可對兩者進行適當?shù)淖冃巍Ｒ椎胊=0時不符合題意，因此將a|x|

=x+a轉化|x|=x+1。則問題就變成新的函數(shù)y=|x|和y=x+1有兩個交點。畫出兩者圖像，即可找出臨界位置是平行位置，再計算得出C選項。

除此之外，在函數(shù)中求解恒成立問題、存在性問題等大題，甚至在一些復雜的三角函數(shù)值域及倒數(shù)問題中，數(shù)形結合思想往往作為主導思想貫穿著整個解題思路，形的不確定性、未知數(shù)取值變化的影響往往被作為分類討論的依據(jù)，因此，數(shù)形結合思想在解決函數(shù)問題中的重要作用可見一斑。要掌握數(shù)形結合的方法、解決好函數(shù)千變萬化的題目，要求我們對各項初等函數(shù)的圖像及其特征充分把握，對未知數(shù)取值的影響有全面深入的分析。

四、數(shù)形結合與數(shù)列

像數(shù)列這種看似純粹研究數(shù)的模塊中，數(shù)形結合思想仍然發(fā)揮著舉足輕重的作用。就拿特殊數(shù)列——等差數(shù)列來說，其前n項和的表示式經化簡為Sn=An2+Bn形式，就發(fā)現(xiàn)它的所有點是經過原點的拋物線上的點。于是對等差數(shù)列最大、最小項，以及對其前n項和最值、相等項的研究，就可以轉化成對二次函數(shù)圖像的研究，而借助二次函數(shù)圖像的對稱性，就可以達到巧解、速解的效果。

例題五：等差數(shù)列{an}中，a1>0，S6=S10，則（1）n= 時，Sn取得最大值（2）S16= 。

如果知道借助二次函數(shù)圖像求解，此題將十分容易：由于等差數(shù)列前n項和可寫成Sn=An2+Bn的形式.由已知S6=S10可知對應的二次函數(shù)的對稱軸應是x=8，且公差小于零，開口向下，有最大值.于是可知n=8時，Sn取得最大值.因為二次函數(shù)圖像過原點，所以過點（16，0），即S16=0。

變式：等差數(shù)列{an}中，S9>0，S10<0，則當n= 時，Sn最大。

分析如下：設二次函數(shù)與x軸的另一個交點為（m，0），則m∈（9，10），所以對稱軸為x=∈（4.5，5），靠近5，因此當n=5時，Sn取最大值。

可見，及時是在數(shù)列中，圖形的應用也是非常靈活巧妙的，這也印證了美國圖論學者哈里的一句話：“千言萬語不及一張圖?！?/p>

五、數(shù)形結合與概率

數(shù)形結合思想甚至可以滲透到概率領域。最為典型的就是幾何概型。但是在解決一些復雜實際問題時，人們就往往會遺忘形的輔助作用。其實，借助適當圖形解決概率問題，可能會使得抽象復雜的問題更加明了直觀。

例題六：甲、乙兩人約定在晚上7時到8時之間在公園門口會面，并約定先到者應等候另一個人15分鐘，還未來即可離去，那么兩人能見面的概率是多少？

此題的情景看似簡單，但是如果不借助圖形，實際上費解也易錯。此時，圖形的優(yōu)越性就得到了充分的體現(xiàn)：如圖，以x軸和y軸分別表示甲、乙兩人到達約會地點的時間，那么兩人能見面的充要條件是|x-y|≤15。（x，y）的所有可能結果組成的圖形是邊長為60的正方形，能見面的時間由圖中兩平行線之間部分所表示。由此便可輕松計算出所求概率P=。

綜上對各類題目的分析，我們不難發(fā)現(xiàn)，數(shù)形結合思想在數(shù)學中的適用性是及其廣泛的。數(shù)學并不僅僅是研究“數(shù)”的一門學科，也是研究“形”的一門學問。數(shù)與形，兩者息息相關，如同工匠的左膀右臂，相輔相成，才能構建一座富麗堂皇的數(shù)學城堡。其實，數(shù)形結合思想遠不止局限在不等式、向量、函數(shù)、數(shù)列、概率等問題，它可能滲透到數(shù)學所能涉及的各個領域，熟練掌握數(shù)形結合，將會對我們的解題產生莫大的幫助。而要想培養(yǎng)一個人的數(shù)形結合思想，就必須要有豐富的知識儲備，有廣闊縝密的思維，要善于聯(lián)想，突破常規(guī)思維的限制，這就及其考驗一個人的數(shù)學修養(yǎng)。

總而言之，數(shù)形結合思想有其顯著的優(yōu)越性和廣泛的適用性，它是解決各項數(shù)學問題的一把利刃，掌握它，在解題過程中將如虎添翼！