淺談數形結合思想在大學生數學競賽中的應用

肖梅

摘 要：數與形是數學研究的兩個重要方面，本文利用數與形的結合解決大學生數學競賽中的一些問題，使較為復雜的問題直觀而形象的得以解答。

關鍵詞：數形結合；競賽；應用

一、引言

大學生數學競賽的舉辦可以促進高層次人才的培養，選拔許多有創新精神的優秀者，培養學生的數學應用能力，促進學生學習高等數學的熱情，因此，每年許多高校都會舉辦、選拔優秀學生參與大學生數學競賽，而在數學學習研究中，會靈活運用數學思想方法來解決問題又十分關鍵。在大學生數學競賽中常會用到反證法，數形結合思想，數學歸納法等等來幫助解決問題，那么本文將淺談數形結合思想在大學數學競賽中的應用。

二、數形結合思想概述

數形結合主要是指數與形的結合，是一種思維轉換思想，是將抽象問題直接地，簡單地呈現出來，幫助學生分析問題，解決問題。

數和形是數學中被研究得最多的對象，數形結合是一種極富數學特點的信息轉換，數學上總是用數的抽象性來說明形象的事實，同時又用圖形的性質來說明數的事實。它的優越性在于將抽象的數學語言與直觀的圖形結合起來，通過對圖形的處理，發揮直觀對抽象的支柱作用，實現抽象概念與具體形象、表象的聯系與轉化，化難為易，化抽象為直觀，根據解決問題的需要，溝通數與形的內在聯系，由數構形，以形促數，或由形的思想，以數論形。運用這種思想，可以把抽象的“數”轉化為直觀的“形”，加大解題的透明度，避免繁瑣的運算過程.這樣簡捷解題，能提高解題速度和提高解題的完整性。

三、數學結合思想實例

（1）數與形在一定條件下可以相互轉化，例如某些代數問題往往有幾何背景，利用其幾何背景的性質，可以使得復雜的數量關系，抽象的概念變得直觀，從而容易找到解決問題的思路。

例1計算[Dx2y2dxdy]，其中D由直線y=0，y=2，x=-2和曲線[x=-2y-y2]所圍成。

解析：在直角坐標系中作出積分區域的草圖可知，積分區域是弧形，可以考慮極坐標變換，從而能計算出結果。

[Dx2y2dxdy=-20dx02x2y2dy-π2πdθ02sinθ（rcosθ）2（rsinθ）2rdr]

=[649-7π48]

（2）數形結合思想可以使得抽象的復雜問題簡單化，巧用數形結合的方法可以避免復雜的計算和推理，大大簡化解題的過程，在競賽中既能準確得出結果，也能幫助節約時間。

例2一半徑為[a]的圓面繞其所在平面內與圓心相距為[b（b>a）]的一條直線旋轉180度，問當[ba]為何值時，旋轉所生成的立體的重心位于立體的表面上？

解析：建立適當的坐標系，使旋轉所生成的立體的重心易于計算，在根據圖形特點找到重心位于立體表面上的條件從而算出[ba]的值。

首先建立坐標系：把母圓開始所在的平面作為xOz平面，則母圓方程為[（x-b）2+z2=a2]，把旋轉軸作為z軸，則生成的立體為一半環體，環面的方程為[（x2+y2-b）2+z2=a2]，由圖形的對稱性可知，重心在[y]軸上，設為[（o，y，0）]，若重心位于立體的表面上，則有[y=b-a]。又重心公式可知：

[y=ΩydVΩdV=20πdφb-ab+aρdρ0a2-（ρ-b）2ρsinφdz20πdφb-ab+aρdρ0a2-（ρ-b）2dz]

[=4πb-ab+aa2-（ρ-b）2ρ2dρ2πb-ab+aa2-（ρ-b）2ρdρ]

[=a2+4b22πb]。

四、結束語

恩格斯曾說過：“數學是研究現實世界的量的關系與空間形式的科學”。對所要解決的問題如果能夠意識到數形聯系，尋覓到對應的幾何圖形特征，思維就會茅塞頓開，問題就會迎刃而解。數形結合思想在大學生數學競賽中作用十分強大，應用也十分廣泛，在此不一一舉例，靈活運用這一思想是關鍵。

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