回歸“本源”，不忘“初心”

徐澎

學完“小數乘除法”后，在練習中出現了兩道“用簡便方法計算”的題目：（8.8+4.8）÷8和72÷1.8。學生們做完

后，我發現，第一題，幾乎所有學生都

這樣計算：（8.8+4.8）÷8=8.8÷8+4.8÷

8=1.1+0.6=1.7；第二題，大多數學生是

這樣算的：72÷1.8=72÷（1+0.8）=72÷

1+72÷0.8。

根據這個情況，我迅速在心里進行了分析，第一題，學生們似乎都懂，第二題，絕大多數學生都是由第一題“負遷移”而來，這反過來卻說明很多學生沒有真正認識到第一題簡便計算的理論根據。

根據判斷，我決定以第一題為突破口進行評講，我在黑板上列舉第一題的做法。

師：第一題為什么可以這樣做？

生：運用了乘法分配律。

大多數學生都點頭同意。

師：乘法分配律用字母表示是（a+b）×c=a×c+b×c，這里是8.8與4.8的和與8相除，真的能用乘法分配律嗎？

生：是?。『孟駴]用乘法分配律啊。

師：那這樣做的道理是什么？

學生們陷入了沉思。

師：孩子們，等學了乘法和除法的關系后，你就會知道這里確實運用了乘法分配律。可是現在怎么理解它呢？有位哲人說：“有時候走得太久、太遠，就容易忘了當初為什么要出發。”讓我們回歸本源，不忘初心。還記得我們第一次是怎么和除法見面的？

生1：除法源于分東西。

生2：把若干個桃子平均分成幾份，求每份是多少個就用除法計算。

生3：把若干個桃子每幾個分一份，求能分幾份可以用除法計算。

師：咱們再來分一分桃子，比如一盤桃子要平均分成8份，一下子不知道每份是多少個。咱們是不是可以化難為易來分，先把這盤桃分成不同的兩部分。當然這兩部分也不能隨意，最好是每部分咱們都能很快地平均分成8份，然后，各取其中的1份相加。是不是就能把原來這盤桃平均分成8份了？

生：應該行。

師：既然這樣分是可行的，那咱們來用數學的方式進行思考。為方便表達，把這盤桃先分成不同的兩部分，用字母a和b來表示。那a+b就表示什么？

生：一盤桃的數量。

師：把這盤桃平均分成8份，求每份是多少就可以表示成（a+b）÷8。（板書：（a+b）÷8。）

師：先把其中的一部分a平均分成8份，每份是多少個？

生：每份a÷8個。（師板書：a÷8。）

師：再把另外一部分b也平均分成8份，每份是多少個？

生：每份b÷8個。（師板書：b÷8。）

師：各取一份相加，與原來相等嗎？

生：相等。（完成板書：（a+b）÷

8=a÷8+b÷8。）

師：如果我不是把這些桃子平均分成8份，平均分成3份、4份、9份……也能這樣做嗎？

生1：能。

生2：這里分桃子的例子說明（a+

b）÷c=a÷c+b÷c。

師板書：（a+b）÷c=a÷c+b÷c。

師：第二題，你怎樣簡便計算？

生：72÷1.8=72÷（1+0.8）=72÷

1+72÷0.8。

師：你的理論根據是什么？

生：我想，既然（a+b）÷c=a÷c+b÷

c，那么a÷（b+c）=a÷b+a÷c。

師：這個推理，是很自然的想法。這個推理成立嗎？咱們還用那盤桃子來分吧，比如把這盤桃子平均分成8份，咱們可不可以這樣操作：先把這盤桃平均分成2份，再把這盤桃平均分成6份，最后各取一份相加。

生：肯定不行。

師：為什么？

生：用a來表示這盤桃，平均分成8份，每份是a÷8個。如果把a平均分成2份，每份是a÷2個，a÷2已經比a÷8大了；如果再把a平均分成6份，每份就是a÷6個，再加起來，結果肯定比a÷8更大了。

師：你的意思是a÷8≠a÷2+a÷6。

生：是的。a÷8可以寫成a÷（2+

6），由此我們可以推出a÷（2+6）≠

a÷2+a÷6。

師：有了這個例子能說明a÷（b+

c）≠a÷b+a÷c嗎？

生：能。

師：通過分一盤桃子，我們知道了（a+b）÷c=a÷c+b÷c，a÷（b+c）≠

a÷b+a÷c。回到第二題，能像你們這樣做嗎？那這道題可以用簡便方法算嗎？

生：可以。應該這樣算：72÷1.8=

7.2÷（0.9×2）=7.2÷0.9÷2=8÷2=4。

師：能用分桃子的例子來解釋嗎？

生1：把一盤桃平均分成8份，可以先把它平均分成2份，再在把每份平均分成4份，那就相當于把原來的桃子平均分成了8份了。

生2：如果用字母來表示的話，就是a÷（b×c）= a÷b÷c。

數學課本上第一次呈現除法，是讓學生平均分東西。在這次作業評講中，我和學生們三次重回除法的初始狀態：分東西。這既能讓學生們在重回本源中不忘“初心”——進一步理解除法的本質，又歸納出了深刻的數學道理。

（作者單位：江蘇省南通市郭里園新村小學）