高級數學思維及其培養策略（上）

鄧友祥

當前數學教學中，不少學生反映：為什么老師講的我都懂，但自己做就不會或一做就錯呢？為什么有時感覺都會，但對而不全呢？為什么解答做過多次（甚至比較熟悉）的題，反而容易粗心出錯呢？對此，擔任過多年江蘇省高考數學閱卷負責人的涂榮豹教授曾披露：“江蘇省數學高考近20年沒有幾個滿分考生，而零分考生卻是一大把。因為老師沒有把‘讓學生自己會做的方法教給學生，學生只是機械記憶解題方法。”[1]喻平教授針對我國目前數學教育存在的問題，指出高級數學思維是一個值得研究的問題[2]。進一步了解發現，目前數學教學中80%的時間都花在低級思維能力訓練上，只有20%的時間學生才真正運用高級思維能力。大多數學生的數學學習對教師的依賴程度較高，學生雖進行了大量數學練習，方法技巧掌握了一大堆，但其數學思維更多地處于低級水平。此外，教師也未必清楚學生的數學思維狀況，僅憑自己的經驗、直覺，甚至主觀臆斷強化學生的解題訓練。這就使得學生的數學學習缺乏深層次的思考，數學學習效率和水平普遍不高，到了中學階段（高中尤為明顯）數學學習顯得后勁（數學思維）不足。許多學生可能直到大學都無法發展出高級思維能力。由此看來，加強高級數學思維的研究，對提高數學教學效率和學生數學學習水平具有十分重要的意義。

1高級數學思維的基本內涵

高級數學思維是學生學好數學理應具備的重要數學素養。目前，國內外數學教育界與此類似的提法還有“高層次數學思維”“高等層次數學思維”等，西方研究者還提出了“高層次數學思維能力”的概念。但其實質都是指學生數學認知活動中發生的（相對其現有數學思維水平）較高層次的思維。目前數學教育界對這個概念的內涵界定還不清晰。研究高級數學思維，必須要對高級思維有所了解。

1.1高級思維的研究現狀

高級思維是相對于低級思維而言的，其研究大多是在布盧姆、斯騰伯格、弗拉維爾等理論的基礎上展開的。

當前，關于高級思維的研究雖存在多種具有較高認可度的界定，但這些解釋是基于不同的理念，存在顯著差異。如Resnick認為高層次思維這個術語抵制精確形式的定義，因為它的一些關鍵特征無法定義得非常準確，但是當高層次思維能力在實踐中發生時卻能夠被識別出來[3]。又如，Lewis和Smith從心理學的視角對高層次思維的定義是[4]：高層次思維發生在當個體需要將新知識和已有知識建立聯系，或者改變及拓展這些知識來達到一個復雜的認知目的，或者在復雜的情境中發現可能的答案。這兩種界定，理論性均較強，不便于一線教師理解和掌握。

目前，得到一線教師廣泛認同的是依據布盧姆教育目標分類學對高層次思維的界定，其將認知領域的教育目標分為六級[5]：知道、領會、運用、分析、綜合和評價。通常，前三者稱為低級思維能力，后三者稱為高級思維能力。但此種分類并非是從思維深度上劃分的，也不夠準確和全面。

由此看來，高級思維的研究尚存在差異，要對高級數學思維的內涵進行科學合理的界定，同時又有助于一線數學教師理解、掌握和應用，顯然不是一件易事。筆者認為，此項工作的開展，前提是必須在理論研究的基礎上加強實證研究，對數學思維作出深度的層次劃分。

1.2數學思維層次的劃分

1959年，荷蘭數學教育家赫爾經過研究，提出學生的幾何思維發展可分為視覺期、描述期、關系期、推理期、公理期等逐級升高的五個層次[6]：只能按圖形形狀來區分———能對認識的圖形形狀加以分析———邏輯地認識幾何圖形———整體上理解演繹法的意義———超出對理論的任何具體解釋而發展理論。

1974年，蘇聯數學教育家A.A.斯托利亞爾在此基礎上，提出代數（包括算術）領域也可相應分為五種思維水平層次[6]：認為數與它所表征的具體對象的集合是不可分割的，運算是直接在對象集合上進行的———數由它們所表征的集合對象中抽象出來，運算的性質是歸納地建立起來的———實現了由數字表示的具體數到抽象的字母表示的過渡，局部地實現了數的性質的邏輯整理———在給定的具體解釋下，能演繹地建立整個代數———舍棄了計算對象的具體性質、運算的具體含義，并將代數建立成不作任何解釋的抽象演繹體系。

基于上述理論研究，筆者曾在十多所中小學校，采用實驗法、觀察法、個案研究法、問卷調查法、行動研究法、文獻研究等方法，就學生的創新意識、創新思維、情緒智力（情商）、數學思維活動的層次等進行了多年實證研究。研究表明，中小學生數學思維活動水平可以劃分為直觀水平、直覺水平、經驗水平、知識經驗水平、邏輯水平、方法論水平等六個層次；學生自知力、自控力的強弱程度與正確數學觀念的建立、良好思維習慣等數學素質的養成密切相關；學生自激力、移情力、駕馭力的強弱程度對其數學學習興趣、學習熱情和數學交流的積極性、主動性有直接影響[7～12]。

據此并結合我國實際，筆者認為學生的數學思維必須要經歷直觀到抽象、有形到無形、外在到內在、非邏輯到邏輯的過程。具體可將學生的數學思維分為如下五個層次（由低到高）。

第一層次：視覺期。學生只能認識眼前有形的、實在的事物，不能判斷概念的屬種等邏輯關系。此時，數與運算的認識還離不開其所表征的具體對象的集合，幾何圖形的認識僅憑視覺整體觀察，只會按其形狀（尚未加以分析）來區分。

第二層次：描述期。學生能依據已有知識和經驗，將欲認識的數學對象從其所表征的具體對象中抽象出來，但不能得到數學的邏輯結構。數學概念可從其所表征的具體對象中抽象出來，數學規則（法則、公式、性質、定律等）是歸納地建立起來的，但不能理解數學知識之間的邏輯關系。

第三層次：關系期。學生理解數學知識有時仍需一定的經驗，但能接受并使用定義，能認識數學概念和數學規則之間的邏輯關系，通過分析作一些簡單的非正式推理，局部地實現數學知識的邏輯整理，但不能從整體上理解演繹法的意義。

第四層次：推理期。學生不再僅憑經驗、觀察得出結論，習慣于強調定義（界定概念），能綜合分析和運用已有知識通過邏輯推理建立定律、定理等數學知識，能建構命題的證明過程，在整體上理解演繹法的意義。

第五層次：公理期。學生能理解數學知識體系及抽象性，合理評判并舍棄對象的具體性質和其間關系的具體含義，超出對理論的任何具體解釋而發展理論，在不同的公理系統下嚴謹地建立數學知識并能分析、比較這些系統。

上述各層次的發展是循序漸進的，任何教學法都不可能讓學生跳過某一層次而直接達到高一級層次，但過渡之后有時仍需回到較低水平以便更好地理解它們，思維層次的進步往往依賴于教學而非年齡的增長。實踐表明，就目前我國絕大多數學生而言，小學一、二年級達到第一層次水平，小學三至六年級達到第二層次水平，初中達到第三層次水平、局部達到第四層次水平，高中達到第四層次水平，第五層次水平目前在中小學任何階段較難實現。

值得說明的是，上述關于數學思維劃分的五個層次中所涉及的關鍵要素，與當前《普通高中數學課程標準》提出的“高中階段數學核心素養包括數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算和數據分析。這些數學核心素養既有獨立性，又相互交融，形成一個有機整體”有較高的吻合度。

1.3高級數學思維的內涵界定

要對高級數學思維概念的內涵作出較為科學合理的界定，除了基于上述數學思維層次劃分來進行以外，還必須基于數學思維概念來界定。所謂數學思維，就是以空間形式和數量關系為思維對象，以數學語言和符號為思維載體，以認識發現數學規律為目的的一種思維[13]。

至此，我們雖難以對高級數學思維的概念給出一個十分準確的定義，但仍可將其內涵界定如下：高級數學思維是指人腦在與數學對象（空間形式、數量關系、結構關系）交互作用的過程中，以認識發現數學規律為目的，合理運用抽象思維結構，經過分析與綜合，將信息整合為一個完整體系，并能進行合理評判的內在理性活動。

2高級數學思維的核心要素

從操作層面來看，要有助于一線數學教師深入理解、掌握和應用，并能有效培養學生的高級數學思維，必須明確其核心要素。這就有必要先弄清高級思維過程所包含的內容。對此，心理學家爭論了幾十年，基本達成了共識[14]：從信息獲得的角度看，高級思維體現為簡單識記層面上的篩選、估計、信息價值的評估等，與布盧姆提出的分析、綜合、評價密切相關；從信息加工的角度看，高級思維體現為領會、理解層面之上的分析、綜合等，并能夠跨越知識門類限制實現廣域范圍的信息統合；從思維監控的角度看，高級思維注重更強的元認知能力，要求個體習慣于對整個思維過程進行高位的監控和評價。

基于上述共識，依據高級數學思維概念的基本內涵，從其深度剖析，高級數學思維應包括如下核心要素。

（1）邏輯分析。即能將要學習或研究的數學對象分解成若干組成因素和組成部分，以便弄清各種觀念的有關層次或其間的邏輯關系。

（2）信息表征。指能將各種數學學習（或研究）要素組成一個有機整體，以構成更為清楚的模式或數學結構加以存儲，并通過適當方式表達出來。

（3）資源調配。就是能針對所要學習或研究的對象，合理調動其大腦已有認知結構中的相關信息，并將之與學習或研究對象發生有機聯結與作用，從而有助于形成新的認知結構。

（4）策略選擇。指能針對所要解決的問題，在綜合判斷和信息資源調配的基礎上，選擇合理的問題解決策略。

（5）思維監控。為確保達到預期目的，能在思維過程中將思維個體作為意識對象，不斷對其進行積極主動定向、控制和調節。

（6）合理評判。指為了一定的目的，對某些觀念和方法等的價值作出判斷與評價。評判是最高水平的認知學習結果，也是批判性思考的核心內容，包含根據內部準則判斷和依據外部準則判斷兩方面的內容，其高級形式是思辨、多元思考[5]。

3高級數學思維的主要特征

心理學研究表明，對任何個體而言，都有高級思維與低級思維之分。如何正確區分學生所表現出的數學思維是高級的還是低級的，是廣大一線數學教師面臨的不可回避的現實問題。區分數學思維是高級還是低級雖沒有絕對的標準，但不能單純以年齡大小或數學思維水平層次高低來論。筆者認為，就某個具體問題而言，學生只要能在某一點上超越其現有數學思維水平，此時其數學思維都可認為是高級的。通俗地說，能引發深入數學思考并能促進思維水平層次提升的思維就是高級數學思維，那些不需要多少努力就能完成的思維是低級數學思維。具體判斷時，可參照如下主要特征。

3.1邏輯性

既然高級數學思維強調分析、綜合與評價，以及對抽象思維結構的利用，那么其必然表現出較強的邏輯性。這一特征要求數學教學要引導學生進行合理的數學思考，促其依據數學概念、數學規則和相關程序步驟，通過邏輯推理得出科學結論。

3.2整體性

具有高級數學思維能力的學生，往往善于從層次、關系、類別及系統等角度看待事物，并將所獲得的信息整合為一個完整體系，這是一種整體結構觀。這一特征要求數學教學要確立整體聯系觀，引導學生了解數學知識之間的區別和聯系，幫助學生把頭腦里的知識形成網絡清晰、融會貫通的知識結構。

3.3批判性

批判性是一種基于充分的理性和客觀事實而進行理論評估與客觀評價的能力。學生只有具備較強的批判性思維能力，其思維才可能表現為較高層次水平。這一特征要求數學教學要重視引導學生進行批判性回顧，實施多層次變式訓練，不斷提高學生的合理評判能力。

3.4自控性

學生對學習或研究對象作出合理分析與邏輯判斷，有時需要涉及理性之外的認識、意識、心理等非理性因素[15]。這就要求學生進行高級數學思維活動時，要具有辨別是非及控制自己數學學習行為的能力，這種能力的體現就是自控性。

3.5反省性

實踐研究表明，數學教學應從數學學科特點的角度出發，對學生的數學認知活動進行深入研究，重視引導學生進行自我反省，以達到有效培養學生數學能力及提高數學教學整體水平的目的[16]。這就是說，具有高級數學思維能力的學生，往往有較強的辨析力和良好的批判性數學思維品質，在平時學習中能自覺反思自身的數學學習行為與結果。

（待續）