整除性判斷

張新春

判斷一個數(shù)能否被另一個數(shù)整除，最自然的辦法就是作除法。但對于一些特殊的數(shù)，我們可以研究一些特別的判斷方法。

小學數(shù)學教材中研究了2、5、3的倍數(shù)的特征。結(jié)論為：

（1）個位上是0、2、4、6、8的數(shù)，能被2整除；

（2）個位上是0、5的數(shù)，能被5整除；

（3）各個數(shù)位上的數(shù)字之和能被3整除，這個數(shù)就能被3整除。

我們先來討論結(jié)論（1）和結(jié)論（2），這兩個結(jié)論可以概括地表達為：個位上的數(shù)字能被2或5整除，這個數(shù)就能被2或5整除。

事實上，對任意自然數(shù)N，都可以寫成N=10k+ b的形式，其中k逸0，0≤b≤9。這里的b就是N的個位數(shù)字。

顯然，由10=5×2知10能被2和5整除，從而10k能被2和5整除。于是，只要b能被2或5整除，N=10k+b就能被2或5整除。也就是說，看一個數(shù)能否被2或5整除，只需要看個位即可。

小學數(shù)學教材中，能被2整除的數(shù)的特征和能被5整除的數(shù)的特征通常是獨立安排的。在教學中，我們可以通過實例，讓學生體會這兩個結(jié)論的統(tǒng)一性。如果在課堂中通過觀察、猜測、驗證、歸納等活動可以讓學生知道能被2或5整除的數(shù)的特征“是什么”的話，對這種統(tǒng)一性的體會就是關注“為什么”。

對數(shù)學問題有某種程度的敏感的讀者，應該注意到10=5×2對于上述結(jié)論的重要性。同時，會馬上想到另外一個等式：100=25×4。這個等式是否告訴我們，要看一個數(shù)能否被4或25整除，只要看后兩位即可呢？事實正好如此。寫出一般的證明并不難，我們在此只舉一個例子。比如，1784=17×100+84，由于100能被4整除，所以17×100當然能被4整除，又因為84也能被4整除，于是可以作出結(jié)論：1784能被4整除。但由于17×100能被25整除，而84不能被25整除，所以1784就不能被25整除。

此時，我們一定會想到另一個等式：1000=125×8，同時知道，看一個數(shù)能否被8或125整除，只需看后三位即可。

從上面幾個例子可以看出，我們要判斷一個數(shù)a（比如1784）能否被另一個數(shù)b（比如4）整除，做法是從中分離出能被整除的一部分（比如1700），這時只要看剩下的部分（如84）能否被4整除就可以了。

上述第（3）個結(jié)論中，關于能被3整除的數(shù)的特征，即可以根據(jù)這個思路得到。

顯然，對于10、100、1000、……這些計數(shù)單位來說，只要從中拿出1，剩下的部分9、99、999、……就都能被3整除了。于是，對于521來說，有

521=5×100+2×10+1

=（5×99+5）+（2×9+2）+1

=（5×99+2×9）+（5+2+1）

上述算式中，5×99+2×9顯然能被3整除，這樣一來，521能否被3整除，就取決于5+2+1能否被3整除。一般地，一個數(shù)能否被3整除，只要看各個數(shù)位上的數(shù)字之和能否被3整除。

將這個過程稍作加工，就可以構(gòu)成一個在小學數(shù)學課堂中研究能被3整除的數(shù)的特征的方式。與能被2、5整除的數(shù)的特征不同，能被3整除的數(shù)的特征僅靠觀察較難發(fā)現(xiàn)，因此，研究如何在課堂中引導學生理解能被3整除的數(shù)的特征就顯得尤其重要。

由于9、99、999、……同樣都能被9整除，因此，一個數(shù)能否被9整除，也只需看各個數(shù)位上的數(shù)字之和能否被9整除。

我們再來看一個稍復雜的例子。

1001=7×11×13，說明1001能同時被7、11、13整除。

下面來考察80234這個數(shù)能否被7、11、13整除。

80234=80×1000+234

=80×1001+（234-80）

由于1001能同時被7、11、13整除，所以80×1001肯定能同時被7、11、13整除。于是，要看80234能否被7、11、13整除，就只要看234-80能否被7、11、13整除了。而234-80=154=7×11×2，因此，80234能被7、11整除，但不能被13整除。據(jù)此，我們可以概括出能被7、11、13整除的數(shù)的特征（留給讀者作個練習。計算過程中，可能會碰到要處理負數(shù)的情況）。

其他很多關于判斷一個數(shù)能否被另一個數(shù)整除的方法，大體上都可以用這種“分離一部分顯然能整除的，再看另一部分”的思路來理解。例如，對于整數(shù)M，記b為M的個位數(shù)字，而a是M分離個位數(shù)字后剩下的部分，于是有M=10a+b。此時，我們可以得到如下一些判斷整除的方法。

（1）由于M=10a+b=11a-（a-b），而11a顯然能被11整除，于是M=10a+b能否被11整除，只要看（a-b）能否被11整除即可。比如253，因為25-3=22，22能被11整除，所以253能被11整除。對于一些大數(shù)來說，可以反復利用這個方法。

（2）由于M=10a+b=13a+13b-3（a+4b），要判斷M能否被13整除，只要看（a+4b）能否被13整除即可。比如273，27+4×3=39，能被13整除，所以原數(shù)273也能被13整除。同樣，如果必要，這個方法也可以反復運用。

（3）由于M=10a+b=17a-34b-7（a-5b），17a-34b能被17整除，要判斷M能否被17整除，只要看（a-5b）能否被17整除即可。比如357，35-7×5=0，能被17整除，所以原數(shù)357也能被17整除。同樣，如果必要，這個方法也可以反復運用。

理解了這一點，我們甚至可以自己創(chuàng)造出一些判斷一個數(shù)能否被另一個數(shù)整除的方法。值得說明的是，以上這些方法有一個共同點：為了判斷 M能否被N整除，都是通過判斷一個比M小的數(shù)能否被N整除來實現(xiàn)。具體做法是從M中分離出一部分，使這一部分能被N整除，然后考察另一部分能否被N整除。即把一個整除判斷的問題轉(zhuǎn)化成一個更小的數(shù)的整除判斷問題，后者通常比前者容易，這就使得這些判斷方法有實用價值。這種思路也常常用來討論與整除有關的問題。

例：證明不存在這樣的整數(shù)n，使得n2+n+2011能被2010整除。

證明：假設存在這樣的整數(shù)n，使得n2+n+2011能被2010整除，則有整數(shù)m，使得n2+n+2011=2010m，即n2+n+1=2010（m-1）。于是n2+n+1能被2010整除，而2010能被5整除，于是n2+n+1應能被5整除。

但對于任意的整數(shù)n，只能有以下5種情況：5t，5t+1，5t+2，5t+3，5t+4。

當n=5t時，n2+n+1=（5t）2+5t+1=5（5t2+t）+1，顯然不能被5整除。（注：這里即把n2+n+1分成兩部分，其中一部分能被5整除，而另一部分不能，從而說明n2+n+1不能被5整除）

n2+n+1都不能被5整除。因此，對于任意的整數(shù)n，n2+n+1都不能被5整除，從而不能被2010整除，這就證明了使得n2+n+2011能被2010整除的整數(shù)n是不存在的。