不定積分中分部積分法的教學(xué)方法初探

李慶賓++薛均曉

摘要：分部積分法是計算不定積分的一個重要方法，也是高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的難點。根據(jù)多年教學(xué)實踐，嘗試在分部積分法公式引入、方法應(yīng)用等教學(xué)過程中，突破“主動講與被動聽”的模式，鼓勵學(xué)生通過獨立思考、主動探索的方式，理解并掌握該方法，逐步引導(dǎo)學(xué)生對分部積分法做分析、歸納和總結(jié)，切實提高大學(xué)數(shù)學(xué)課堂的教學(xué)質(zhì)量。

關(guān)鍵詞：不定積分；分部積分法；基本初等函數(shù)

一、引言

不定積分是高等數(shù)學(xué)中的一個重要部分，其學(xué)習(xí)效果的好壞直接影響學(xué)生對后續(xù)知識的學(xué)習(xí)。而分部積分法是計算積分的一類重要的、基礎(chǔ)的方法。學(xué)生在學(xué)習(xí)這種方法時，有幾個方面的困惑：一是對分部積分公式似懂非懂，二是對被積表達(dá)式的分解拿捏不準(zhǔn)，三是對更進(jìn)一步利用分部積分法解決復(fù)雜問題缺乏思路。究其原因，是長期以來教師在講授本節(jié)內(nèi)容時，往往采用“告知公式—證明公式—舉例—練習(xí)”的教學(xué)模式，對學(xué)生缺乏必要的啟發(fā)和引導(dǎo)。

二、分部積分法的初步學(xué)習(xí)

（一）精心設(shè)計導(dǎo)入例題，引出分部積分公式

如何計算積分 ∫xex2dx ？由于剛剛學(xué)習(xí)過第一類換元積分法，對于這道題目，學(xué)生很容易想到用x去湊x2的微分，得到 ∫ex2dx2 ，從而很快算出結(jié)果。然后教師提問，如果將上述積分稍加改變?yōu)椤襵exdx，又該如何計算呢？這時受剛剛解題思路的影響，學(xué)生會主動嘗試變形∫xexdx= ∫exdx2 （1），或者∫xexdx=∫xde2 （2），但都無法積分出結(jié)果。教師要讓學(xué)生思考為什么這里換元積分法失效。學(xué)生經(jīng)過探索比較后發(fā)現(xiàn)，“湊”完之后的被積表達(dá)式中，并未出現(xiàn)相同的函數(shù)，無法化繁為簡，且微分符號d前后兩部分的函數(shù)類型并未改變。此時，教師繼續(xù)引導(dǎo)：等式（1）、（2）右端被積表達(dá)式的結(jié)構(gòu)均為udv，眾所周知，積分是微分的逆運算，學(xué)生不難想到，在兩個函數(shù)相乘的微分公式中，有duv = vdu + udv，等式兩邊積分并移項得到∫udv=uv-∫vdu。教師要讓學(xué)生進(jìn)一步分析該等式的結(jié)構(gòu)，使其發(fā)現(xiàn)在計算不定積分時可以用∫ f（x）dx = ∫udv = uv-∫vdu，由于先積分出來了一部分原函數(shù)uv，所以稱這個等式為分部積分公式。

（二）驗證分部積分公式的正確性

有了分部積分公式之后，教師可以讓學(xué)生自己應(yīng)用該公式計算上面的積分，并驗證結(jié)果是否正確。可能學(xué)生一開始會選擇接著式（1）計算， ∫xexdx= ∫exdx2= （x2ex-∫x2dex）= x2ex- ∫x2exdx，結(jié)果發(fā)現(xiàn)雖然確實積分出來一部分原函數(shù)，但新積分變得更復(fù)雜，再往下計算就毫無意義了。然后學(xué)生自然會想到換式（2）來計算，∫xexdx=∫xdex=xex- ∫exdx = xex- ex+ C，問題立刻迎刃而解，并且對xe x- ex+ C求導(dǎo)可以驗證該結(jié)果是正確的。

學(xué)生通過親自動手演算，一方面能夠體會到分部積分公式在求原函數(shù)時的奇妙之處，加深對公式的理解和應(yīng)用；另一方面，學(xué)生會發(fā)現(xiàn)在使用該公式時，恰當(dāng)?shù)剡x擇u、 v至關(guān)重要，一是因為微分dv容易湊出，二是因為新積分∫vdu更容易計算出原函數(shù)。

（三）通過講解例題，總結(jié)技巧和規(guī)律

為了使學(xué)生順利使用分部積分法，結(jié)合基本初等函數(shù)的類型，我們首先設(shè)計四個習(xí)題，并適當(dāng)加以引導(dǎo)和點撥，著重介紹分解被積表達(dá)式的思想和方法，然后讓學(xué)生自己完成求解過程和規(guī)律的總結(jié)。

例1：計算 ∫x2 lnxdx

分析：這里被積函數(shù)是冪函數(shù)與對數(shù)函數(shù)相乘，但由于對數(shù)函數(shù)的原函數(shù)并不容易知道，所以學(xué)生只能選擇冪函數(shù)去湊微分，于是就有原式 = ∫ lnxdx3= （x3 lnx-∫x2dx），新積分可以直接算出。

練習(xí)：計算∫x2 arctan xdx

分析：本題被積函數(shù)為冪函數(shù)與反三角函數(shù)的乘積，與例2特點一樣，可以讓幾名學(xué)生到講臺前演板，這樣既能充分調(diào)動學(xué)生參與課堂的積極性，又能讓教師實時掌握學(xué)生對該知識點的掌握情況，

例2：計算 ∫x2 cos xdx

分析：這里被積函數(shù)是冪函數(shù)與三角函數(shù)相乘，并且兩者湊微分都很容易，學(xué)生通過簡單嘗試不難發(fā)現(xiàn)，只能選擇“動”三角函數(shù)，從而有原式=∫x2d sinx=x2sinx-2∫x sin xdx，新積分與原積分相比較，被積函數(shù)結(jié)構(gòu)一樣，但更簡單（冪函數(shù)的冪次降低了），再使用一次分部積分法就可以得到積分結(jié)果。

例3：計算 ∫excos xdx

分析：本題與例2類似，但由于指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和積分不變，而正弦、余弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和微分互換（忽略正負(fù)號），因此，學(xué)生選擇“動”ex或者cos x都可以。兩次分解被積表達(dá)式，使用公式后，會再次出現(xiàn)原積分∫excos xdx，解方程即可以求得原函數(shù)族。

待講解完例題之后，教師提問兩個問題：一是分部積分法適合哪類題型，二是如何快速決定 ，學(xué)生通過例題的講解和練習(xí)很快能夠得到答案：第一，當(dāng)被積函數(shù)是不同類的函數(shù)相乘時，可以考慮使用分部積分法；第二，選擇不動量時，冪函數(shù)優(yōu)于指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)，劣于指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)，因此，有一個便于學(xué)生記憶的口訣為“反對冪指三”或者“反對冪三指”。同時，教師應(yīng)該讓學(xué)生明白，當(dāng)需要多次使用分部積分法解決問題時，第一次選擇不“動”類函數(shù)，以后每一次分解被積表達(dá)式時，這類函數(shù)仍然作為 ，否則就會出現(xiàn)循環(huán)，致使得不到最終結(jié)果。

二、對分部積分法的再認(rèn)識

（一）被積函數(shù)只有一類的情形

例4：計算∫ arctan xdx

分析：這類題比較特別，被積函數(shù)只有一個，可以看成是arctan x與1相乘，使用分部積分公式時arctan x就是 u，x就是 v。

例5：計算 ∫（x2+a2）n dx，（x>0，n>1，n∈N）

分析：被積函數(shù)為同一個函數(shù)的n次冪，無法拆開，只能將其看成是一個整體，因此有 In =∫ （x2+a2） n dx= （x2+a2） n + 2n∫（x2+a2） n + 1 dx =（x2+a2）n + 2n In - 2n a2In+ 1 ，解得遞推公式，In+ 1 = 2na2 （2n-1）In + （x2+a2）n ，根據(jù)I1 = a arctan a + C，由遞推公式可以得到所需要的結(jié)果。

（二）被積函數(shù)需要先作變形的情形

例6：計算∫ x tan2 xdx

分析：這里根據(jù)文中提到的 的優(yōu)選順序“反對冪指三”，應(yīng)該選擇x為 u，但三角函數(shù)tan2 x不好湊微分，怎么辦？這里只有兩個選擇，要么重新選擇tan2 x為u，要么通過恒等變形把tan2 x換掉。顯然選擇后者更加簡單直接，即有原式=∫ x sec2 xdx - ∫ xdx=∫ xd tanx-∫ xdx式

例7：計算 ∫ sin 2x + 1 dx

分析：被積函數(shù)含有根號，學(xué)生很容易想到先作換元 去根號，原式=∫t sin tdt ，再使用分部積分法即可。

三、結(jié)束語

分部積分公式的引入比較自然，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，在教師的逐步引導(dǎo)和啟發(fā)下，學(xué)生通過練習(xí)能夠很快掌握這種方法，教學(xué)效果非常明顯。依照“反對冪指三”的順序選擇也不是絕對的，只是分解被積表達(dá)式時的一個大的原則，也會有例外的情況。要想熟練使用分部積分法，學(xué)生還需要做大量的習(xí)題，不斷積累經(jīng)驗，這樣才能快速、準(zhǔn)確地計算出積分結(jié)果，真正使數(shù)學(xué)能力得到提升。

參考文獻(xiàn)：

[1]王林雪，路靜文.國內(nèi)外探究式教學(xué)的研究述評[J].

教育教學(xué)論壇，2015，（44）.

責(zé)編：清 歡endprint