課本習(xí)題的示范引領(lǐng)作用

張春雷

[摘 要] 關(guān)注教材，提高教材的使用效率，更主要的是不要脫離教材的教學(xué)和復(fù)習(xí)，真正領(lǐng)悟教材是教學(xué)和考試之本. 對比教材和高考試題的相似度，讓師生更明確方向，有的放矢；活用教材，理解知識(shí)的內(nèi)涵和外延.

[關(guān)鍵詞] 習(xí)題；高考題；對比；教材；知識(shí)體系；整合與延伸

不論是新知識(shí)的學(xué)習(xí)還是高三復(fù)習(xí)，一定要注重基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能和基本方法. 縱觀高考試題，不難發(fā)現(xiàn)多題似曾相識(shí). 縱橫不出方圓，萬變不離其宗，就是說，盡管形式上變化多端，其本質(zhì)或目的不變，殊途同歸. 高考試題多源自課本上例題或習(xí)題的重新整合，課本題大多蘊(yùn)含著豐富、深刻的背景，實(shí)踐證明，以課本為素材組織的高考復(fù)習(xí)不僅不會(huì)影響高考的成績，而且是提高高考成績非常有效的途徑.

現(xiàn)僅從圓錐曲線這一知識(shí)點(diǎn)，對比習(xí)題與高考試題，說明課本習(xí)題的示范引領(lǐng)作用，每個(gè)對比僅舉幾例.

對比一：人教B版選修2-1第47頁第7題. 已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1（-2，0），F(xiàn)2（2，0），過F且與坐標(biāo)軸不平行的直線l與橢圓相交于M，N兩點(diǎn)，如果△MNF2的周長為12，求這個(gè)橢圓的方程.

簡析：考查橢圓的定義，

MF1

+

MF2

=2a，

NF1

+

NF2

=2a，

MF1

+

MF2

+

NF1

+

NF2

=4a，恰好為△MNF2的周長，故4a=12，a=3，已知c=2，由b2=a2-c2=1，這個(gè)橢圓的方程為+y2=1.

【2011新課標(biāo)理第14題】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C的中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2在x軸上，離心率為. 過F1的直線l交C于A，B兩點(diǎn)，且△ABF2的周長為16，那么C的方程為________.

本題比課本上的習(xí)題多了一個(gè)離心率e=，4a=16，a=4，c=2，b=2，橢圓C的方程為+=1 .

【2014大綱理第6題】 已知橢圓C：+=1（a>b>0）的左、右焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，離心率為，過F2的直線l交C于A，B兩點(diǎn)，若△AF1B的周長為4，則C的方程為（ ）

[A. +=1 ] B. +y2=1

C. +=1 D. +=1

這兩個(gè)題是同一知識(shí)點(diǎn)，不同版本教材在不同年份的考查，只是在原題的基礎(chǔ)上多加了離心率，高頻考點(diǎn)不回避，可見命題者的良苦用心，更能說明課本的引領(lǐng)示范作用.

對比二：人教B版選修2-1第48頁第2題：已知點(diǎn)A（1，1），而且F1是橢圓+=1的左焦點(diǎn)，P是橢圓上任意一點(diǎn)，求

PF1

+

PA

的最小值和最大值.

簡析：設(shè)F2是橢圓+=1的右焦點(diǎn)，

PF1

+

PF2

=2a=6，

PF1

=6-

PF2

，

PF1

+

PA

=6-

PF2

+

PA

=6+（

PA

-

PF2

），直線AF2與橢圓交點(diǎn)P1，P2為所求的最大值或最小值的對應(yīng)點(diǎn)（可借助三角形兩邊之差與第三邊的關(guān)系）.

PF1

+

PA

的最小值和最大值分別為6-，6+.

人教B版選修2-1第66頁第3題：（1）已知拋物線y2=4x，P是拋物線上一點(diǎn)，設(shè)F為焦點(diǎn)，一個(gè)定點(diǎn)為A（6，3），求

PA

+

PF

的最小值，并指出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).

簡析：設(shè)PQ垂直準(zhǔn)線于Q，則

PF

=

PQ

，

PA

+

PF

=

PA

+

PQ

≥

AQ

，所以AQ垂直于準(zhǔn)線，即：A，P，Q共線時(shí)，

PA

+

PF

的最小值為7，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)

，3

.

【2009遼寧理第16題】 已知F是雙曲線-=1的左焦點(diǎn)，A（1，4），P是雙曲線右支上的動(dòng)點(diǎn)，則PF+PA的最小值為__________.

簡析：c=4，F(xiàn)（-4，0），右焦點(diǎn)F′（4，0），由雙曲線的定義

PF

-

PF′

=2a=4，所以PF+PA=4+

PF′

+

PA

≥4+

AF′

=9. 最小值為9.

不難發(fā)現(xiàn)，三道題的階梯策略有共性，均是利用定義轉(zhuǎn)化為共線問題.所以，在做題的時(shí)候不要為了做題而做題，要不斷地總結(jié)共性的東西，把知識(shí)歸類，尋找合適的解題方法. 這樣就不至于做題沒有思路了.

對比三：人教B版選修2-1第70頁習(xí)題2-5A第1題：已知M（4，2）是直線l被橢圓x2+4y2=36所截得的線段AB的中點(diǎn)，求直線l的方程.

簡析：利用“點(diǎn)差法”，設(shè)直線l與橢圓交于兩點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），代入橢圓方程得

+

=1，

+

=1， 兩式相減得+=0. 由M（4，2）為線段AB的中點(diǎn)，可知

=4，

=2，代入上式可求直線l的斜率，進(jìn)而求出直線l的方程為x+2y-8=0.

本題也可以設(shè)直線l的方程，與橢圓方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系求解.

【2013新課標(biāo)1理第10題】 已知橢圓E：+=1（a>b>0）的右焦點(diǎn)為F（3，0），過點(diǎn)F的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn). 若AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-1），則E的方程為（ ）

A. +=1 B. +=1

C. +=1 [D. +=1]

【2010新課標(biāo)理第12題】 已知雙曲線E的中心為原點(diǎn)，F(xiàn)（3，0）是E的焦點(diǎn)，過F的直線l與E相交于A，B兩點(diǎn)，且AB的中點(diǎn)為N（-12，-15），則E的方程為（ ）

A. -=1 [B. -=1]

C. -=1 D. -=1

可以看出解法比較常規(guī)，并且具有針對性.

對比四：人教B版選修2-1第71頁習(xí)題2-5B第4題：過拋物線y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)F作傾斜角為的直線，交拋物線于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸的上方，求的值.

簡析：設(shè)直線AB的方程為y=x-，與拋物線方程聯(lián)立，消去x，得y2-2py-p2=0. 設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則有y1+y2=2p，y1y2=-p2，+=-6，+-6=0.

令t==->1，則t2-6t+1=0，t==3+2.

我們把傾斜角換成θ，它又有一般性結(jié)論：

AB的傾斜角為θ，

AF

=

AA1

=

A1E

+

EA

=p+

AF

·cosθ，

AF

=，同理

BF

=，

AB

=

AF

+

BF

=.

繼續(xù)探討又能得到如下結(jié)論：弦AB被焦點(diǎn)分成m，n兩部分，則+=；y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)F，點(diǎn)M在拋物線上，延長MF與直線x=-交于點(diǎn)N，則+=；S△OAB=等等.

如果上述結(jié)論非常熟練，下面高考題就迎刃而解了.

【2014全國2高考理第10題】設(shè)F為拋物線C：y2=3x的焦點(diǎn)，過F且傾斜角為30° 的直線交C于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則△OAB的面積為（ ）

A. B.

C. [D. ]

【2012重慶理第14題】 過拋物線y2=2x的焦點(diǎn)F作直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，若AB=，AF

對比五：人教B版選修2-1第70頁習(xí)題2-5A第2題：已知橢圓+=1，點(diǎn)A，B分別是它的左、右頂點(diǎn). 一條垂直于x軸的動(dòng)直線l與橢圓相交于P，Q兩點(diǎn)，又當(dāng)直線l與橢圓相切于點(diǎn)A或點(diǎn)B時(shí)，看作P，Q兩點(diǎn)重合于點(diǎn)A或點(diǎn)B，求直線AP與直線BQ的交點(diǎn)M的軌跡.

簡析：A（-2，0），B（2，0），P（x0，y0），Q（x0，-y0），

直線AP的方程為y=（x+2）①，

直線BQ的方程為y=（x-2）②.

由①×②，得y2=（x2-4）③，P（x0，y0）在橢圓上+=1④.

由③④得到直線AP與直線BQ的交點(diǎn)M的軌跡方程-=1.

所以直線AP與直線BQ的交點(diǎn)M的軌跡是以（-，0），（，0）為焦點(diǎn)，實(shí)軸長為4的雙曲線.

【2012遼寧文第20題】 如圖1，動(dòng)圓C1：x2+y2=t2，1

簡析：A1（-3，0），A2（3，0），A（x0，y0），B（x0，-y0），

直線AP的方程為y=（x+3）①，

直線BQ的方程為y=（x-3）②.

由①×②，得y2=（x2-9）③，A（x0，y0）在橢圓上+y=1④.

由③④得到直線AA1與直線A2B的交點(diǎn)M的軌跡方程-y2=1（x<-3，y<0）.

上題就是習(xí)題的翻版. 立足課本，追根溯源.

由于篇幅所限，就不再一一對比.總之，脫離課本的教學(xué)與復(fù)習(xí)，不對課本提供的知識(shí)進(jìn)行深化，大搞題海戰(zhàn)術(shù)，學(xué)生的收獲終究不大：對課本的知識(shí)一知半解，沒有達(dá)到一種整體的高度，能力培養(yǎng)不出來，信心樹立不起來，不愛探究，更談不上舉一反三了. 我們關(guān)注課本，把課本的知識(shí)掌握好，不斷擴(kuò)大自己的視野，不斷總結(jié)，教師教學(xué)、學(xué)生高考都能夠取得優(yōu)異的成績.