數學語言也要“讀”字當頭

方衛(wèi)

數學難學，學生怕學，難與怕的關鍵在數學語言有別于自然語言的形式與內涵。數學語言是開展數學思維的載體與基礎，是數學交流的介質與橋梁。數學語言不“識”，自然數學思維就難“破”。要掌握好數學語言，需要我們“讀”字當頭。這里的“讀”不全是指文科類的朗讀、閱讀，而是指數學閱讀。

一、數學閱讀的內涵

數學閱讀是指圍繞數學問題或相關材料，以數學思維為基礎和紐帶，用數學的方法、觀念來認知、理解、解決問題的過程，以及感受數學文化的學習習得活動。從心理層面來看，它是用已知的經驗和思維來理解數學語言、符號、圖表和領會數學文化的心理過程。

更加通俗一點，就是學生對相關數學信息用數學的觀念、方法來感受、理解與做出恰當反應的過程及活動，這個“過程”“活動”包括過濾信息、接受信息、綜合信息、轉化信息、表達信息，等等。

二、數學閱讀的理論支撐

在研究中我們參考了建構主義理論和心理學家紐威爾與西蒙的“信息處理系統(tǒng)”理論。心理學家紐威爾與西蒙的“信息處理系統(tǒng)”理論如下：

接納者：感覺神經接受問題所產生的刺激，并將信息（包括問題的信息與解決問題的標準）傳遞給處理者。處理者：即認知過程，他根據已有的學習或經驗中所獲得的解決問題的程式或策略對信息進行處理，需要記憶的有關原則及內容則自動求助于記憶系統(tǒng)。作用者：將處理者提供的有效解答揭示出來，揭示方式有語言表達或動作表現。

另一個就是建構主義理論，即認知發(fā)展受三個過程的影響：同化、順應和平衡。

同化（assimilation）是指學習個體對刺激輸入的過濾或改變過程。也就是說個體在感受刺激時，把它們納入頭腦中原有的圖式（圖式是指個體對世界的知覺理解和思考的方式）之內，使其成為自身的一部分。順應（accommodation）是指學習者調節(jié)自己的內部結構以適應特定刺激情境的過程。當學習者不能用原有圖式來同化新的刺激時，便要對原有圖式加以修改或重建，以適應環(huán)境。平衡（equilibration）是指學習者個體通過自我調節(jié)機制使認知發(fā)展從一個平衡狀態(tài)向另一個平衡狀態(tài)過渡的過程。

三、根據數學信息的特征進行有針對性的閱讀

首先我們從宏觀上對學生接觸到的數學語言進行分類，并挖掘它們的意義，讓學生對閱讀對象有基礎性的了解，然后才是引導學生對具體的數學信息進行有效閱讀。

1.自然文字語言。數學閱讀是閱讀教學的一個分支，它應具有自然語言、文字語言的一般屬性，即注重對字、詞、句、段的理解，語義處理，句法結構剖析，明確問題背景，已知及未知等內容，如“和”“或”“增長了”“增長到”“打折”“同比”“環(huán)比”“相向”“同向”等常用語的數學意義及理解，如數學故事、數學問題、數學史、數學人物介紹等，這都屬于自然語言的范疇。

2.特定的術語、概念。如“全等與相似”“等式性質”“絕對值”“有且僅有”“勾股定理”“函數”“中位數”“方程”“完全平方式”“平方根”“算術平方根”等。因為概念是數學化了的自然語言，所以我們在教學中一定要注重概念產生的背景與意義，注意在大量素材基礎上提煉出概念的本質屬性，讓學生明白術語與概念的內涵。

3.符號語言。如象形符號：⊥∥∠≠≡等，縮寫符號：⊙△cos等，模型化符號（用字母等表示的公式、規(guī)律）：a+b=b+a，|a|，[a]等。

4.圖形語言。如各種幾何圖形、統(tǒng)計分析圖等，要將文字語言與圖形語言結合，從中閱讀出相關的幾何性質，以及從統(tǒng)計圖中讀出相關數據信息等，強化用數學語言來“翻譯”圖形語言。比如，看到直角三角形的圖形，我們自然要聯想到三邊關系、角的關系、邊與角的三角函數關系、斜邊上中線性質、高線等內容。

5.圖象語言。要從各類函數圖象中讀出該類函數的性質，以及相關的數據條件，強調圖象的要素構成與性質的提煉運用。

6.表格語言（統(tǒng)計數據表、分析表框等）。它們是數學思維的載體與中介，也是數學思維的重要材料和結果，是抽象思維的重要工具。在閱讀中，要注重表中的要素及要素相關的數據，并用數學模型表示出來（如方程，不等式）。

在實踐中，我們總結出了閱讀數學信息共性的操作要點：①初識信息，將文本、直觀的信息進行“掃描”，初步轉化為接近個人認知結構的語言形式（比如用自己的話來表達自己的理解與思維）；②明確某些概念的意義及特征，聯結已有認知結構和經驗，引起內部認知的沖突并進行有效回憶，形成自我的數學直觀，明確信息的關鍵、難點、相關概念等；③通過數學思維（觀察、對比、類比、合情推理等）加工解讀信息；④形成成果，將個人最優(yōu)化的結果進行總結、表達、反思。

針對不同類型的數學信息，我們制訂了不同的閱讀策略。

概念術語類。第一步，感知數學信息（如數、式、括號、乘方）的認識，數學閱讀的感知部分是指數學概念或數學術語的取得或解碼；第二步，理解（回憶）信息的意義，理解數學閱讀信息即賦予信息意義，知道是怎么一回事，包括解析與使用的過程；第三步，明確法則步驟，操作演算。如計算[6×（12+23）÷（-2）3]，很多教師認為這是很簡單的事情，在教學中總是“大而統(tǒng)”地要求學生做。為什么總會出現解題困難的學生，或解答不完整的學生呢？做不對或不全對的學生問題在哪里？那就是學生閱讀這個題時，對題中的信息解讀不夠，并且作不出相關反應。本題的閱讀點很多：括號賦予了運算順序的信息，分數相加的法則回憶，乘方的認識與轉化，除法的轉化等等。成績不理想學生遇到的問題也就是解不出信息量較大的綜合題。閱讀課題研究啟示我們，教學中一定要換位思考，引導學生善于抓住問題中的閱讀關鍵點進行思考并解答問題。

數字信息類。通過數字、數字單位等數學符號來表現數學信息，要求挖掘出數字本身的組成規(guī)律以及數字間的關系，比如勾股數、倍分關系等。例如：

請你仔細觀察下列式子：endprint

31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，37=2187，38=6561，……

回答問題：（1）32010的個位數字是多少？（2）請你探究22010的個位數字。

幾何圖形類。要用數學的眼光來敏銳感受所接觸的信息，并用數學的知識來解讀。如下列圖形，我們用數學閱讀的眼光來看，就應該通過對稱性來思考問題。

而對于幾何證明題，第一步，結合圖形正向發(fā)散條件，并在圖形中作批注。如圖形中有“垂直”就要想到90度的數量結論。第二步，將題干中的文字、符號條件、圖形中的條件、求證的內容進行結合，展開數學想象，需要與哪些定理、性質、判定等建立聯系，如條件不充分再作出輔助線，在分析中不斷進行合情推理與驗證。第三步，邏輯證明與反思解題。

信息遷移類。我們要把握信息的本質內容，將閱讀理解到的信息運用于解決的問題之中。其實數學的學習就是不斷地將學到的信息運用于待解決的問題之中的過程。這個過程一是要從提供的閱讀信息中提煉出本質的結論；二是在新情境中運用這個信息時，一定要注意新問題要與原信息的實質一樣，只是形式不同而已。例如運用“過平行四邊形的對稱中心的任一條直線平分這個平行四邊形”這一結論解決問題：

（1）已知：如圖1，在平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于O，過O的任一條直線l交AD于E，交BC于F。求證：S四邊形ABFE=S四邊形EFCD。

（2）如圖2，矩形木板上有一個平行四邊形的缺口，請你畫出一條直線將剩下木板的面積平分。

（3）如圖3，長方形紙片ABCD，其中有一個圓形破洞（即⊙O），現用剪刀沿直線剪一刀，將剩余紙片的面積平分，請在圖中畫出這條裁剪線。

圖象性信息。挖掘圖象中各信息所反映的數學特征，如圖象與x、y軸的交點和其它特殊點的意義，象限分布與表達式的特征，圖象形狀與表達式的類型，函數表達式與相關性質，等等，然后將圖形中“形”的信息轉化為“數”的信息。如果題中還有其他關鍵文字信息（如“平均”“總數”“規(guī)模”等），這時還要將文字信息與圖象信息結合，再化圖象信息為數字信息，最后建立數學模型求解。

例如：已知某辦公室的飲水是某品牌的桶裝水，已知桶中剩水量y（升）與時間t（天）的函數關系如圖所示。工作中，有教師因公外出，直到該桶水喝完才返回單位。（本題的設計未考慮星期六、星期天的因素，在思考解答問題中也不需考慮這個因素。）

（1）請問老師是第幾天因公外出的？

（2）如果沒有老師因公外出，按原飲水速度，這桶水可以飲用幾天？

（3）老師因公外出后，平均每天的飲水量只有原來平均每天飲水量的一半，請求出老師因公外出后，剩余水量與時間的關系式。

特征性數學信息。抓住信息中的關鍵性語言、詞語、圖形、信息的形式等的特征，將信息進行正向有效的聯想，并與相關的知識儲備建立聯系。聯系的快慢是學生不同閱讀水平的反映。數學特征性信息的整體把握，要有特殊的敏感；要培養(yǎng)敏感，就必須在平時教學中進行有意識的積累。

比如已知[a=32，b=12]，則[a2-2ab+b2]等于多少。不同的學生對信息就會有不同的反應，從而產生不同的解答方法。

另如：如圖，已知P是邊長為a的正三角形ABC內的任一點，PE⊥AB于E，PF⊥BC于F，PD⊥AC于D，則PD+PE+PF的值為多少。這里有垂直，并有PD+PE+PF這個整體“形”的啟示，自然產生面積法的解題思路。

特殊文字性信息。即文字信息轉化為數學信息和數學信息間的綜合與轉化，要用恰當的數學模型來表達這些數學信息。

例如：某校若干間寢室分配給某班女生住宿，已知女生數少于35人，若每個房間住5人，則剩5人沒住，若每間房住8人，則空一間房，并還有一間房住不滿，請問學校分配給這班女生的寢室有幾間？多少女生？此題的思路全在“還有一間房住不滿”上，由此用不等關系來建立模型，再找數量之間的關系，從而破題。此處也是該題的“題眼”，數學閱讀理念指導的教學就是要善于抓住這些關鍵性的信息。

再舉一例，已知：直角梯形OABC的四個頂點是O（0，0），A（[32]，1），B（s，t），C（[72]，0），拋物線y=x2+mx-m的頂點P是直角梯形OABC內部或邊上的一個動點，m為常數。

（1）求s與t的值，并在直角坐標系中畫出直角梯形OABC；

（2）當拋物線y=x2+mx-m與直角梯形OABC的邊AB相交時，求m的取值范圍。

此題的思路與關鍵信息在哪里？全在“頂點P是直角梯形OABC內部或邊上的一個動點”。通過這個點的坐標用不等關系把“在OABC內部或邊上”表示出來，就是解答思路。

數學語言有章可循，數學閱讀有法可依。首先，教師的觀念要更新，要接受數學閱讀的相關理論與操作。數學閱讀的層次要高于自然語言的閱讀。數學中的概念與公式的“讀”有朗讀的層面，而更深的層面是口讀的同時，頭腦里會呈現相對應的圖形（或素材），輔之相應的邏輯思維。其次，教師應指導學生形成對數學信息的閱讀意識、習慣，幫助學生形成基本的閱讀能力與方法，強化學生對數學信息的敏感度與處理轉化能力。最后，要注重閱讀與表達結合，強調邊閱讀邊思考邊口頭表達（如發(fā)聲思維、思路表達、互動交流），等等。

（作者單位：長陽教育研究與教師培訓中心）endprint