基于數學認知結構的相似三角形教學思考

摘 要：學生數學認知結構的建構是數學教學的出發點與落腳點.相似三角形教學中引導學生建構科學合理的數學認知結構，是教學的難點與重點，可以從陳述性知識、程序性知識與過程性知識三個方面，對學生的數學認知結構進行建構.

關鍵詞：認知結構；陳述性知識；程序性知識；過程性知識

相似三角形是繼全等三角形后，更深一步研究三角形之間關系的重要理論，是全等三角形知識的進一步發展.相似三角形知識是初中平面幾何教學的重點知識，這是因為：（1）三角形相似可通過研究其中一個三角形的性質，而掌握一類三角形的性質；（2）相似三角形的知識在生活中應用比較廣泛；（3）相似三角形知識是后續學習銳角三角比的基礎，也是后續進一步學習數學專業知識的必備基礎知識.眾所周知，學生的數學認知結構的建構是數學教學的出發點與落腳點，良好的數學認知結構，既是學生進一步認知的“固著點”，又是學生自我重構數學認知結構和發現問題并提出問題的基礎，也是提高學生分析問題和解決問題能力的“起跳板”.比如一般跳高是以地面為支撐，而撐桿跳是以桿為支撐，因此跳的高度遠遠高于一般跳高.數學認知結構是學生信息加工的支撐，其支撐的強度直接影響學生信息加工的能力.建構一個結構合理，有利于信息提取，清晰度高的數學認知結構是提高學生數學認知能力的關鍵.因而建構一個科學合理的數學認知結構，是數學教學的核心，是提高學生的數學素養的關鍵[1].針對學生數學認知的特點進行教學，才能使學生建構優良的數學認知結構.那么在相似三角形教學中，如何才能讓學生建構科學合理的數學認知結構，從而提高數學教學的有效性，是每個數學教師要深刻思考的問題.本文就結合相似三角形知識的特點和自身的教學實踐，談談筆者的一些思考.

一、陳述性知識的建構

相似三角形中的陳述性知識分為三類，首先是相似三角形有關的概念；其次是相似三角形的判定定理與性質定理；最后是相似三角形中的基本圖形，A型圖、8型圖（或X型）、子母三角形（或母子三角形）、一線三等角等.陳述性知識的表征有三種方法，一是命題網絡表征；二是表象表征；三是線性排序表征.

第一，相似三角形的判定與全等三角形的判定聯合起來表征.相似三角形的知識是在全等三角形的基礎上學習的，全等三角形是相似三角形的特殊情況，相似三角形的判定知識可以由全等三角形的判定知識類比得到，而且全等三角形的判定知識在學生的長時記憶中有很強的記憶強度，因此通過類比可使學生運用全等三角形的判定知識來同化相似三角形的判定知識，這樣可使學生把相似三角形的判定知識納入學生原有的數學認知結構，在認知結構中的三角形結點下，建構相似三角形結點，也就是在三角形的樹形知識結構中增加相似三角形結點.同時通過全等與相似的關系，把知識之間聯系起來，形成知識之間的網絡，有利于需要時檢索，便于提取.

第二，基本圖形知識充分運用表象表征與命題網絡表征.一是基本圖形是以圖形指示性定義的方式給出，其中A型圖，8型圖是與學生原有的圖形知識相聯系給出的基本圖形，這些知識可直接運用表象表征.二是對子母三角形和一線三等角可同時運用兩種方式表征，即命題網絡表征與表象表征.如一線三等角是指一條直線上有三個等角；子母三角形是指連結三角形的一個頂點與其對邊上一點所構成的圖形（特點是有一個公共角，有一條公共邊）.同時可使學生充分觀察圖形，識別圖形的基本特點.教學中，要對基本圖形進行充分的變式，使學生能夠識別基本圖形，如對子母三角形的教學，可對圖形進行正例變式與反例變式，正反例變式要充分，正例變式不充分不利于學生理解內涵，反例變式不充分，學生對外延的把握不準確，充分變式，以使學生能夠掌圖形的本質屬性.

案例1：

[子母三角形正例變式圖][子母三角形反例變式圖]

圖1

二、程序性知識的建構

程序性知識與陳述性知識是相對的，靜態地看相似三角形的知識為陳述性知識，當把這些知識運用到解決問題過程中就屬程序性知識，程序性知識分為簡單程序性知識與復雜程序性知識.相似三角形知識中，運用時步驟簡單，經過練習能夠自動化的屬簡單程序性知識，這部分知識學生比較容易掌握.而沒有固定步驟的程序性知識屬復雜程序性知識，這部分知識學生不易掌握.因此對程序性知識的建構分兩類，一類是簡單程序性知識，另一類是復雜程序性知識.除此之外，程序性知識還包括策略性知識，這部分知識是隱含在解題過程之中的，如數學思想方法等.

（一）知慧技能的建構

第一，簡單程序性知識要學生達到自動化程度.首先基本知識的運用要達到自動化，如判定與性質定理等的運用，其次，基本圖形知識是屬簡單程序性知識，因此對基本圖形的知識要加強練習，使學生對這部分知識達到自動化程度，當學生的這部分知識達到自動化后就會在認知結構中形成穩定的知識組塊，在學生需要這部分知識時，提取到工作記憶中的知識不是零散的知識點，而是由若干知識點組成的知識塊，這樣一是有利于在工作記憶中增加被加工的知識點數量.二是減少思維操作的工作量.試想如果基本圖形知識沒有形成組塊，對基本圖形中相似以及對應線段成比例，還要重新進行加工處理，勢必要增加思維的時間與思維加工的數量.三是形成知識組塊，能夠提高雙基的高度.形成知識組塊后，學生的思維可在組塊的基礎上進行思維，這樣學生就不是從對底層最基本的知識點開始思維，解題過程就如同搭積木，一塊一塊搭，比從最基本的搭建要快得多，容易得多，因而要提高學生的基本思維的起點.

第二，復雜圖形可轉化為基本圖形.通過從復雜圖形中分離出基本圖形，然后運用基本圖形的知識解決問題，也就是把復雜程序性知識轉化為簡單程序性知識.在相似三角形的解題教學中，復雜圖形可轉化為基本圖形，基本圖形是解題的基本線索，因此解決復雜圖形的法寶是把復雜圖形轉化為基本圖形知識，這樣可把復雜的問題轉化為基本問題.

第三，引導學生進行解題后反思.一是做好解題后的小結，可以從解題方法、解題規律、解題策略等方面進行多角度、多側面的總結.對自己能解答的題也要多問一下為什么能解答出來，是怎樣思考的，總結思維的方法，從而總結解題規律；二是對不能解答的題也要總結，為什么沒有解答出來，是什么地方思維有障礙，總結失敗的原因，提高解題能力.三是提高學生元認知能力，加強解題過程中的自我認識與調控.教學中，作業中的錯誤由學生自己獨立訂正，并且要剖析錯誤的原因.學生有問題時，啟發學生自我反思，找到問題所在，而不是把解答過程直接給學生[2].從而使學生能夠建構科學合理的解題策略性知識和解題過程性知識.

（二）策略性知識的建構

策略性知識也屬于程序性知識，是一種對內調控的認知策略.

1.基本思維策略

基本思維策略是指相似三角形部分解題的基本思維方法.一是首先把已知條件圖形化，然后借助幾何直觀去分析問題解決問題.弗萊登塔爾認為：“幾何直觀能告訴我們什么是可能重要、可能有意義和可接近的，并使我們在課題、概念與方法的荒漠之中免于陷入歧途之苦.”大數學家希爾伯特在其名著《直觀幾何》一書中談到：“圖形可以幫助我們發現、描述研究的問題；可以幫助我們尋求解決問題的思路；可以幫助我們理解和記憶得到的結果，這就是幾何直觀帶給我們的好處.”[3]我國數學家徐利治教授提出：直觀就是借助于經驗、觀察、測試或類比聯想，所產生的對事物關系直接的感知與認識，而幾何直觀是借助于見到的或想到的幾何圖形的形象關系產生對數量關系的直接感知[4].幾何直觀可使抽象問題直觀化，復雜問題簡單化，直觀問題直觀化，這樣可形成充分運用幾何直觀解決問題的策略.二是當證明比例式（或等積式）時，根據要證明的結論去分析證明哪兩個三角形相似，簡言之，就是看線段所在的三角形.三是當需證明兩個三角形相似時，如果給定的一個條件是角相等，思考是否能再證得一個角相等或夾此角的兩邊是否成比例.

2.公比代換策略

公比代換策略是指當要證明的比例式（或等積式）不能直接從兩個相似三角形中獲得時，需運用公共比進行代換的證題策略.一是公比代換的本質就是等量代換，因此可把公比代換引導學生納入等量代換的數學認知結構.二是觀察圖形的能力，在相似三角形中，能夠從圖形中觀察出公共比，這部分知識可從公共邊的比中觀察得到，也就是說兩個線段的比分布在兩對相似三角形中，這樣才可能出現公共比，或者是同一線段（包括相等）出現在兩對相似三角形中再運用等積代換.三是公共比相當于全等三角形中的公共邊，因此可把此知識納入到公共邊的認知結構中去.

案例2：如圖2，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC，點E在邊AD上，BE與AC相交于點O，且∠ABE=∠BCA.求證：（1）△BAE∽△BOA；（2）BO·BE=BC·AE.

分析：第一問略.此題第二問有兩個思路，一是運用△ABO與△ABE相似（子母三角形）得出AB2= BO·BE， △ABE與△ABC相似，線段AB是兩個三角形的公共邊，得AB2= BC·AE，從而通過等積代換得到BO·BE=BC·AE.二是△ABO與△EBA得，由△ABO與△ACB得，從而通過公比代換得到，進而得到BO·BE=BC·AE.

3.相似分類策略

相似分類討論策略是指題目中給定兩個三角形中有一個對應角相等，然后問三角形中一條線段滿足什么條件時兩三角形相似，或者是兩個三角形相似時求一條線段的長度.一是此類問題的解決要納入到方程的數學認知結構中，也就是在解決問題的過程中，要通過相似三角形得到對應線段成比例，從而得到一個方程，進而求出線段的長度.二是此類問題由相似三角形的判定定理知，須夾此角的兩條邊對應成比例，因此需分兩類進行討論，把此問題分類討論納入座位分配問題的認知結構中去，甲、乙兩人，有A，B兩個座位好分配，如何分配，有兩種分配方案.甲-A，乙-B或乙-A， 甲-B.對應兩邊對應成比例的兩種情況.

案例3：如圖3所示，在△ABC中，BA=BC=20cm，AC=30cm，點P從A點出發，沿著AB以每秒4cm的速度向B點運動；同時點Q從C點出發，沿CA以每秒3cm的速度向A點運動，設運動時間為x.（1）當x為何值時，PQ∥BC？（2）當=時，求的值；（3）△APQ能否與△CQB相似？若能，求出AP的長；若不能，請說明理由.

分析：此題（1）（2）問的分析略，對第三問，△APQ能否與△CQB相似，首先因為BA=BC，所以∠A=∠C，因而問題轉化為一個角相等的條件下討論兩個三角形相似的問題，分兩種情況討論.即，從而得到方程，問題得到解決.

三、過程性知識的建構

過程性知識是一種隱性知識，是隱藏在數學活動過程中的體驗性知識，是學生對數學活動過程的體驗與感悟.因此在相似三角形的教學過程中，學生一是要體驗相似三角形知識的發生、發展、結果及問題解決過程.《義務教育數學課程標準（2011年版）》指出：“創新意識的培養是現代數學教育的基本任務，應體現在數學教與學的過程之中.學生自己發現和提出問題是創新的基礎；獨立思考、學會思考是創新的核心；歸納概括得到猜想和規律，并加以驗證，是創新的重要方法.創新意識的培養應該從義務教育階段做起，貫穿數學教育的始終.”[5]因此，學生在知識形成過程中，發現問題、提出問題能力會得到發展，獨立思考問題能力及思維的方法會得到充分發展，并且對創新的方法會得到充分體驗，因而其創新認知能力將得到充分的建構.二是學生對此部分知識解題思維過程的感受與體驗，總結思維的規律.

總之，相似三角形教學中，要以學生建構科學合理的數學認知結構為主線，以各部分知識為載體，以新課標的教學理念為準繩，以培養學生的創新能力為目標，科學合理地進行相似三角形知識教學，這樣學生的認知能力才能在相似三角形教學中得到最大限度的發展，從而實現人人都能獲得良好的數學教育，不同的人在數學上得到不同的發展.

參考文獻：

[1]劉海濤.芻議初中生數學認知結構[J].教學導刊，2015（6）：40.

[2]劉海濤.平面幾何解題思維障礙的成因及解決策略[J].中國數學教育，2012（3）：21.

[3]劉海濤.初中數學綜合題的難點分析及對策[J].中學數學（初中版），2015（9）：81.

[4]徐利治.談談我的一些數學治學經驗[J].數學通報，2000（5）：1.

[5]中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2011年版）[M].北京：北京師范大學出版社，2011（1）：7.