特殊多邊形在尺規作圖中的運用

許武榮

在許多尺規作圖中運用了三角形全等的性質、特殊多邊形的性質等進行作圖，其中利用某些特殊多邊形的性質作圖將對在作特殊度數的角方面有所幫助，又能使一些經典作圖得以簡化，進而提高作圖的效率和精度。以下從幾方面列舉一些特殊多邊形在尺規作圖中的運用。

一、特殊三角形在尺規作圖中的運用

1、利用正三角形的特殊性質作圖

正三角形有一個重要性質，即它的三個內角都是60°，且利用尺規作圖可以很容易得到正三角形。于是我們利用尺規作圖作一個正三角形就可得到60°的角。

2、利用兩直角邊比為1∶2的直角三角形的特殊性質作圖

如圖2，在Rt△ABC中∠ABC=90°，AB=2BC，DC=BC，AE=AD，于是E為線段AB的黃金分割點，其中AE∶EB=1∶。

利用這個直角三角形也可作正五邊形，如圖3，在圓B中，∠ABC=90°，，， ， ，則△BCE是一個邊長比為1∶1∶的三角形，其頂角∠CBE=72°，這樣繼續以CE為半徑截圓就可以得到此圓的五等分點，進而作出正五邊形。

利用這個直角三角形還可以作出底角為72°的三角形，如圖4，在黃金分割作圖的基礎上，作△AEF，使，，

則AE∶AF∶EF=1∶1∶，

∠AEF=72°，∠EAF=36°.

至此，我們已用尺規作圖的方法先后得到60°和72°，于是對于整數度數的角，我們可利用尺規作圖的方法得到°（∈N）的角。

二、特殊四邊形在尺規作圖中的運用

1、利用平行四邊形的對邊互相平行的性質作平行線

已知：直線l和l外一點A.

求作：過A與直線l平行的直線.

作法：

1、在直線l上任意取兩點B，C.（實踐中可使BC>AB，以減小作圖誤差。）

2、以A點為圓心，BC長為半徑作弧.

3、以C點為圓心，AB長為半徑作弧，兩弧相交于點D.

4、作直線AD.

則直線AD即為所求，其中由作法知四邊形ABCD是平行四邊形，如圖5.

此法與平行線經典作圖（利用同位角相等或內錯角相等，兩直線平行）相比，作圖步驟較少，精簡易行，我們知道當作圖步驟過多時，誤差被多次逐級放大，作圖結果將存在較大誤差。所以，此法減少了作圖步驟，可以明顯地提高作圖效率和作圖精度，建議以此法替代平行線經典作圖。

2、利用等腰梯形的上下底邊互相平行的性質作平行線

已知：直線l和l外一點A.

求作：過A與直線l平行的直線.

作法：

1、在直線l上任意取兩點B，C.（實踐中可使AC>AB，以減小作圖誤差。）

2、以B點為圓心，AC長為半徑作弧.

3、以C點為圓心，AB長為半徑作弧，兩弧相交于點D.

4、作直線AD.

則直線AD即為所求，其中由作法知△ABC≌△DBC（SSS），于是四邊形ABCD是等腰梯形，如圖6.

3、利用菱形的對角線互相垂直平分的性質，求作點關于直線的對稱點

已知：直線l和l外一點A.

求作：點A關于直線l的對稱點.

作法：

1、在直線l的另一側任意取一點K，以A點為圓心，AK長為半徑作弧. 交直線l于兩點B，C.（實踐中可使BC≈AB，以減小作圖誤差。）

2、以B點為圓心，AK長為半徑作弧.

3、以C點為圓心，AK長為半徑作弧，兩弧相交于點D.

則點D即為所求，其中由作法知四邊形ABDC是菱形，直線l垂直平分線段AD，如圖7.

從上面的例子我們可以看到特殊多邊形的性質在作特殊度數的角、簡化作圖和提高作圖的效率和精度方面有所幫助，特殊多邊形的性質在尺規作圖中的運用還有很多，本文僅舉寥寥數例，希望它能起到拋磚引玉的作用，以探索更多的運用實例。endprint