淺談幾何證明

才讓吉

摘 要：幾何證明，就是用理論演繹的方式，來斷定圖形的真實(shí)性質(zhì)的記敘。證明的主要任務(wù)是在于說明為什么在一定條件之下必然產(chǎn)生一定的結(jié)論，即要提出根據(jù)，證實(shí)結(jié)論的真確性，揭發(fā)它們之間的內(nèi)在聯(lián)系。幾何證明的步驟包括分析、證明、整理三大部分，必要時(shí)在證明期間可以用到舉例法證實(shí)證明的成立性。在實(shí)際生活中，我們也要利用幾何證明來解決實(shí)際問題。大到建筑工程的設(shè)計(jì)，小到一個(gè)汽車金屬配件都會(huì)用到幾何證明。用已知的一些知識(shí)體系來談幾何文化，雖然我對(duì)幾何知識(shí)的學(xué)習(xí)也有很多不足和了解不深入、不透徹之處，但是隨著我學(xué)習(xí)的深入和閱讀大量的文獻(xiàn)及對(duì)本文更加深刻的理解，已有的這些不足、不深入、不透徹之處我將認(rèn)真的彌補(bǔ)。

關(guān)鍵詞：幾何證明 綜合法 分析法 解圖

1.幾何證明概述

1.1定義

幾何證明的定義是首先從某幾何的中已知條件、概念和定義出發(fā)，用公式來證明命題。所以我們必須把握定義和公理及定理中設(shè)題、結(jié)論和圖像“三個(gè)要素”。如：

例1 設(shè)直角三角形ABC的直角頂點(diǎn)為C，斜邊AB的中點(diǎn)為D，則CD=AB.

證明：如圖1-1所示，延長CD，使CD=ED，則有DA=DB，DC=DE，∠C=∠B。

所以ACBE是矩形。∴CE=AB，∴CD=AB

在例題1中我們利用已知條件來推到證明的過程，然后尋求未知條件。在已知條件中我們還可以考慮按照題目來畫幾何圖（圖1-1），顯然容易證明題目的要求。

1.2經(jīng)典證明

數(shù)學(xué)是一門嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)，得出的結(jié)論都要經(jīng)過嚴(yán)格的證明。在中學(xué)數(shù)學(xué)中，除了代數(shù)運(yùn)算或幾何運(yùn)算之外最多的是幾何證明。幾何證明的經(jīng)典方法可分為三個(gè)方面。

第一、在已知情況的條件下，我們可以很輕松的通過推理理論，結(jié)出證明。

第二、通過求證，分析出證明依據(jù)的論點(diǎn)，找到已知條件。

第三、通過以上兩個(gè)方面，找出他們之間的聯(lián)系，將思維過程完整化。

2.幾何證明的基本方法

2.1綜合法和分析法

在幾何證明過程中我們常會(huì)利用兩種方法來證明，比如；直接方法和簡介方法，其中簡介有兩種，反證法和同一法，反證法也有兩種，歸謬法和窮舉法。總的來說就是綜合法和分析法。

一般地，利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、定理、公里等，經(jīng)過一系列的推理證明，最后推到出所需要證明結(jié)論成立。這種證明方法叫做綜合法。

一般地，從證明的結(jié)論出發(fā)，追步尋求使它成立的充分條件，直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個(gè)明顯成立的條件（已知條件、定義、定理、公里等）為止，這種證明方法叫做分析法。

3.幾何證明的基本步驟

3.1分析

分析是幾何證明的第一條件，當(dāng)然也要了解題目的內(nèi)容，要清楚題目給了什么條件，用什么方法，然后要詳細(xì)分析，一般情況下，分析題目時(shí)應(yīng)該找出相關(guān)的定理、定義、概念、公式等等。另一方面，要根據(jù)命題畫圖，在畫圖時(shí)要尋找圖的特點(diǎn)來解圖證明，但有些圖沒法直接證明，所以經(jīng)常會(huì)用到中線、切線、平分線、等輔助線來解決。一般情況下，幾何證明過程中不寫分析的過程，除非是特殊情況，但在腦海里一定要有詳細(xì)的分析，否則容易證錯(cuò)。

3.2證明

一般情況下，證明是要把某個(gè)題目的內(nèi)容了解清楚，然后詳細(xì)的分析后，利用已知條件或者未知條件來一件一件證明，證明時(shí)一定要把心路歷程寫清楚有邏輯又不繁瑣冗長，證明的推理過程是最重要，也可以說在幾何證明的命是證明的過程，所以證明的過程是必須要的，在證明時(shí)可以找出很多輔助線來簡化證明。

3.3整理

整理是根據(jù)已知對(duì)求證進(jìn)行證明的結(jié)果。如：

例5如圖3-1所示，已知在△ABC中平分外角∠EAC，∠B=∠C。

求證：AD∥BC

分析：要證AD∥BC.∠EAD=∠B.由∠B=∠C（已知條件），∠EAC=∠B+∠C（三角形外角定理）EAC=2∠B又由AD平分外角∠EAC∠EAC=2∠EAD2∠EAD=2EAD=2∠B∠EAD=∠B

注：分析中使用符號(hào)“”是表示“需證”的意思。根據(jù)上述分析以及分析法與綜合法之間的關(guān)系，不難寫出本體的證明過程。

證明：∵∠B=∠C（已知條件），∠EAC=∠B+∠C（三角形外角定理）

∴∠EAC=2∠B（等量代換）

又∵AD平分外角∠EAC（已知條件）

∴∠EAD=2∠B（角平分線定義）

∴AD∥BC

總之舉例法是在學(xué)幾何證明中最通用、最基礎(chǔ)的、不可缺少的方法。我們經(jīng)常利用舉例法進(jìn)行證明，當(dāng)然這三個(gè)證明的方法也要熟悉了解。無論幾何證明還是現(xiàn)實(shí)生活中有都會(huì)有與這個(gè)相似的例題。

結(jié)束語

從我小學(xué)升入初中再到高中的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，幾何成為了我學(xué)習(xí)中最大的障礙，幾何證明的難度也很大。因?yàn)閹缀位径际浅橄蟮母拍睿枰^強(qiáng)的邏輯思維能力和空間想象能力，所以很多學(xué)生都不愿學(xué)。

我們生活中最熟悉最常見的例子來分析，先從幾何證明的概念和定義作經(jīng)典的證明，再從幾何的基本思路及方法和幾何證明的基本的步驟。一般來說正確的數(shù)學(xué)結(jié)論的形成需要“發(fā)現(xiàn)”和“證明”兩個(gè)主要階段，在這兩個(gè)階段中都包含著“過程”。

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