幾何畫板在高中數學教學中的運用

魏國達

數學是自然科學中的一門基礎學科，它是其他學科的奠基石，是一門非常重要的學科。然而由于數學課上有大量的推理與運算，因而有許多學生認為數學課堂枯燥無味、機械重復，因而對數學學習沒有興趣。而推理與運算是數學課堂的特點，這是不能改變的。那如何讓數學課堂活起來、動起來，大大提高學生對數學的學習興趣呢？我認為在課堂教學中充分運用幾何畫板軟件，就能讓課堂活起來、動起來，幾何畫板是一款適用于幾何教學的軟件，它有強大的計算和作圖功能，且能為我們提供觀察和研究幾何圖形中的點、線、面等位置關系和數量關系的環境，其最大的特點是“動態性”。本文結合教學實際，現談談幾何畫板在課堂教學中的運用。

一、研究幾何畫板在函數性質中的運用

1.幾何畫板在學習函數性質中的應用

學生在初學函數性質時，通常會對其中因變量的變化而得到的性質混淆不清，若利用幾何畫板軟件，則既形象又直觀。如研究指數函數 y=ax的性質時，對a的變化得到的性質及為什么對a要有a>0且a≠1的要求不理解。這些通過幾何畫板的演示，就能讓學生體會對底數的要求。如圖1中，當a<0時，沒有圖像；當a=0時，圖像是一個點；當01時，y=ax為增函數。

2.幾何畫板在比較函數性質中的應用

學生除了會混淆同類函數的性質，也容易混淆不同函數之間的性質。這時可通過幾何畫板在同一坐標系上作出圖像進行對比，尋找它們之間的區別與聯系。如要區分同底的對數函數y=logax與指數函數y=ax的性質，通過作圖可得出以下兩種情形（如圖2）。

從圖可得：y=logax的圖像與 y=ax的圖像關于直線y=x對稱，且a=1單調性相同。

3.幾何畫板在探究函數性質中的應用

除了教材上的冪、指數、對數、三角函數，我們還要利用研究函數的一般方法去探究其他函數的性質。如雙勾函數：y=x+a/x（a>0）與它的姐妹函數：y=x-a/x（a>0），用幾何畫板作出兩個函數的圖像（如圖3）。

由圖可以看出：y=x+a/x（a>0）與y=x-a/x（a>0）的漸近線都是y=x與x=0，圖像都關于原點對稱。但y=x+a/x（a>0）有四個單調區間，而y=x-a/x（a>0）只有兩個增區間。圖像給人以直觀感。再利用函數與導數的有關知識來研究和驗證這些函數的單調區間、極值等特征，就有了學習方向。

二、研究圖像中的運用

1.幾何畫板在驗證函數圖像的正確性

利用作出函數的圖像來解決問題是高中數學學習中必備的一項技能，要了解所作的圖像是否正確，可利用幾何畫板來驗證，并找出錯誤所在，進行修正。作函數的圖像最主要的是先要求出函數的定義域、單調區間、極值點、與坐標軸的交點等，再來作圖。但學生經常做錯，大多數學生是想當然地作圖。如學生在作f（x）=x/ex的圖像時，作成了下圖4，而實際上利用幾何畫板作出的是圖5，是什么原因呢？原來學生在作圖時沒考慮到當x>0時，f（x）>0，這說明x>0時f（x）的圖像一定在x軸的上方，只是在上方無限接近x軸。

2.探究圖像中定點或定值的存在性

在解析幾何問題中有許多有關定點或定值問題，用幾何畫板來研究，可節省許多課堂時間，且直觀有效，特別是在探究問題中，可指明解決問題的方向，同時為加大課堂容量提供了有效保障。在學習直線方程時，經常會碰到直線過定點的問題。如直線y=k（x-1）+2必過定點（1，2）有許多學生不理解為什么。除了解釋令k的系數x-1=0，則x=1，y=2，得定點（1，2）的方法之外，還可用幾何畫板畫出直線的圖像，從k的變化過程中驗證結論的正確性（如圖6）。又如我們在研究拋物線焦點弦的性質時，有如下結論：若AB是過拋物線y2=2px（p>0）的焦點F的弦，則1/|AF|+1/|BF|=2/P（定值）。類比拋物線的這條結論，我們可利用幾何畫板驗證橢圓和雙曲線也有相同的結論：1/|AF|+1/|BF|為定值。通過深入研究，可得這個定值都是4/P的通徑。

三、研究動點軌跡中的運用

軌跡問題在高中數學中是一個難點，若課堂上用幾何畫板中追蹤點的功能，則能形象直觀地看到動點的軌跡，為驗證結論的正確性帶來方便。

如圖7，已知A是圓x2+y2=1上的一個動點，B（3，0），若P是線段AB的中點，求點P的軌跡方程。用相關點法不難求出點P的軌跡方程為（x-3/2）2 +y2=1/4。用幾何畫板追蹤出點P的軌跡（如圖）是一個以（3/2，0）為圓心，半徑為1/2的圓，可見結論是正確的。

數學教學中運用幾何畫板，能讓數學圖形活起來，讓數據活起來。通過展示圖形尋找不變的幾何結論，從而去感知數學圖形中的規律性，使學生積累幾何學習經驗。運用幾何畫板可以增加課堂容量，減少作圖的時間。同時運用動態教學，能大大提高學生學習數學的興趣，也體現了現代數學教學與信息技術的完美結合。

參考文獻：

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