運用特殊思想，指導數學解題

姜威

特殊化思想，就是將數學難題中普遍出現的難題用特殊情況進行解決，之后再由特殊方法解決一般問題，從整體到部分，再由部分到整體，快速準確地解決數學難題。特殊化思想將在數學解題中起到事半功倍的效果，老師應在平時的教學中將這種思想加以滲透，提高解題效率。筆者主要從三個特殊思想指導數學解題：驗證特值，高效解題；關注最值，突破問題；善用極限，分析趨勢。

一、驗證特值，高效解題

特殊是在一般的基礎上，運用特殊方法，巧妙解決數學問題，從而得到正確的結果。在數學解題中，如果客觀題的題目中所要解的答案是一個定量或定值時，有時不需要將題目中所有的條件都用上，可以運用題目中的特殊值，劃定范圍，縮小題目要求，縮短計算過程，簡化解題步驟，快速解出答案，有效節約時間。

例如，我在講解高中數學“三角函數”和“等差數列”后，選取了這樣一道題：已知三角形的三個邊是等差數列，那么tanA/2×tanC/2的值恒為__。這是一道填空題，不需要在卷紙上列出過程，所以就可以用特殊值這種簡便的方法加以計算。題目中知道三角形的三個邊是等差數列，對三個角并沒有什么要求，所以，就可以假設三角形的三個邊的差為0，三角形的三個邊相等，即a=b=c，那么，三角形的三個角也相等，即A=B=C=60°，并且帶入題目中的式子，tan30°×tan30°為1/3，就可以得出答案。還有另一種方法，既然題目中說三角形的三個邊成等差數列，而實際中，三個邊分別為3、4、5的直角三角形的三個邊也為等差數列，所以可以設三個邊中a=3，b=4，c=5，也得tanA/2×tanC/2也為1/3，兩種特殊方法算出的結果相同。不僅簡化了計算過程，而且驗證了計算結果，保證結果的準確性。

由特殊到一般貫穿人類發展的始終，在數學學習中也不例外。通過這個題的講解，既涉及了等差數列，又涉及了三角函數，將題目中廣泛的已知用特殊值加以計算，不僅解決了數學問題，而且發現了數學真理。因此，在教學中，很有必要運用特殊值法來引導教學，提高學習效率。

二、關注最值，突破問題

數學中的許多問題，往往通過達到最值時才反應出性質，所以，就要求我們要著眼最值問題，發現問題的突破口，不斷分析問題。高中階段題型較多，知識較難，最值問題常常遇到，對最值問題加以解決并應用，會大大提高學習效率。

例如，我在講解高中數學的“導數及其應用”后，出了這么一道應用題：某菜農為了蓋蔬菜大棚，大棚為長方體，并且一面靠墻，占地面積為600平方米，前面造價為800元每平方米，側面造價為600元每平方米，大棚高為3米，那么，這個菜農該怎么建才能使自己的大棚造價最低，最低造價為多少錢？這個題是實際生活中出現的問題，會引起學生的興趣。出現了這個題目，同學們首先會在自己的腦海中呈現這個大棚的畫面，并且可以畫下來。可以引導他們進行假設：設地面長為x米，寬為y米，由題可得，xy=600，那么，y=600/x，進而求出三面的造價：正面=3x×800，側面=2×3y×600，總造價z=2400x+3600y+6000，將y=600/x帶入得，總造價z=2400x+2160000/x+6000，利用導數，z的導數=0時造價最低，即2400-2160000/x2=0，解得x=30，y=20時造價最低，將x、y帶入z可得z=150000，就算出了答案。學會導數，找到目標函數，用導來求目標函數的最小值，提高了解題效率。

最值法是解決問題的一種特殊的方法，有利于學生分析能力和解題能力的提高，靈活運用最值法，突破數學難題，提高學生思維能力。所以，老師要注重最值方法的教學，將此方法滲透學生學習的始終，并有效加以利用。

三、善用極限，分析趨勢

極限的方法是數學中常用的方法，可以對數學進行有效分析，深深影響著數學。在小學時我們就已經接觸了極限，中學的極限相對較難，同時，又影響著大學時候的極限學習，對極限思想加以應用會提高解決問題的效率。

例如，我在講解高中蘇教版的必修一第二章的“函數”時，就用到了極限的思想。我向同學們展示了一道實例：y=x2+1/x2-1的值域是多少。看到這個題目，要求y的值域，同學們首先想到的是用反函數來解。那么因為y=x2+1/x2-1，可以得到：x2=y+1/y-1，由于x2>=0，所以y+1/y-1>=0，所以，y<=-1或y>1，就可以得出答案。這種方法先將y與x的關系互換，利用x2為正數，可以求出y的值域。這時候，可以引導學生用極限的方法來求值域，更加簡便。即當x2趨向于-1時，y趨向于-∞；當x2趨向于1時，y趨向于+∞，所以，就可以得出答案（-∞，-1]∪ （1，+∞）。這樣運用極限進行運算，不僅簡化了運算步驟，而且可以使運算更加準確，使得運算更加簡便，縮短了運算時間，為其他題目的運算提供了時間保障。

極限的思想不僅運用在數學中，而且滲透在生活的許多方面。老師要對此方法引起足夠重視，并且在平時的教學中，積極引導學生用此方法，來解決數學中出現的各種問題，提高學生解決問題的效率。

總之，特殊化思想在數學解題中將起到不可思議的作用。學生在平時做題時往往不能加以運用，還可能小題大做，浪費時間，影響后面做題效果。老師在平時教學時，應把特殊化思想滲透到學生的思想中，并可以找出相類似的題加以專門訓練，指導學生解題，提高做題效率。endprint