具有乘法白噪音的Kuramoto—Sivashinsky方程在奇解子空間上的隨機吸引子

譚婕

【摘要】本論文主要研究了具有具有乘法白噪音的Kuramoto-Sivashinsky方程的隨機吸引子問題，由于確定性的Kuramoto-Sivashinsky方程在整個空間上的吸引子是不存在的，所以對加上隨機干擾項的方程僅考慮在其奇函數解所構成的子空間，通過三個引理，最終得到了隨機Kuramoto-Sivashinsky方程在奇解子空間上存在緊的隨機吸引子。

【關鍵詞】隨機動力系統 隨機吸引子 Wiener過程 奇解 Kuramoto-Sivashinsky方程

【Abstract】We show that the Kuramoto-Sivashinsky equation with multilicative noise can be solved pathwise. We consider the random dynamical system associated with odd solutions of the stochastic Kuramoto-Sivashinsky equation. This dynamical system possesses a compact random attractor in L2（I）.

【Keywords】Random dynamical system； random attractor； Wiener processes； odd solutions； Kuramoto-Sivashinsky equations.

【中圖分類號】G64 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2017）31-0191-02

1.介紹

Kuramoto-Sivashinsky方程首先是由Kuramoto在研究Belousov-Zhabotinsky 反映中的相湍流問題時提出的。G. Sivashinsky 將此方程擴展到2維及以上空間。而在實際的環境中，小的不規則的擾動是不可避免的。因此在Kuramoto-Sivashinsky 方程上加入隨機項是必要的，這個隨機項是一個狀態空間的白噪音。許多學者最近研究了具有白噪音的其它方程，例[2]-[7].

由于的特征值可能是正的，線性算子不是強制的。因此，即使是確定性的系統，要在整個空間獲得吸引子的一般結論是很困難的。然而，我們通過觀察發現若初始值是奇函數，則隨機Kuramoto-Sivashinsky 方程在任何時刻的解都是奇函數。因為這個性質，我們考慮在奇函數子空間H0中的隨機吸引子。

2.問題描述和預備知識

考慮如下的具有隨機項的Kuramoto-Sivashinsky 方程：

定理1. 帶乘法白噪音的隨機Kuramoto-Sivashinsky 方程在奇子空間中的解所產生的隨機動力系統擁有一個緊的隨機吸引子。

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