數(shù)學(xué)文化視角下的高三試題命制探析

楊蒼洲（泉州第五中學(xué)，福建泉州362000）

數(shù)學(xué)文化視角下的高三試題命制探析

楊蒼洲（泉州第五中學(xué)，福建泉州362000）

數(shù)學(xué)文化視角下的試題命制，不應(yīng)只停留于編制有歷史背景而無(wú)文化本質(zhì)的數(shù)學(xué)試題，而應(yīng)該關(guān)注數(shù)學(xué)文化與試題的自然融合，唯此，才能深入考查數(shù)學(xué)知識(shí)的文化內(nèi)涵。有數(shù)學(xué)文化韻味的試題應(yīng)能讓解題者在解題成功后，享受到解題帶來(lái)的愉悅，同時(shí)受到數(shù)學(xué)文化的熏陶。

高考；數(shù)學(xué)文化；命題方法

一、從2017年高考全國(guó)卷兩道試題說(shuō)起

2017年修訂后的《考試大綱》增加了對(duì)數(shù)學(xué)文化的要求，與此同時(shí)，2017年的高考也迅速對(duì)此作出積極的反應(yīng)。2017年高考全國(guó)Ⅰ卷理科第2題以我國(guó)的太極圖為背景，考查幾何概型；全國(guó)Ⅱ卷第3題從我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》引入，考查等比數(shù)列。

題1：（2017年高考全國(guó)Ⅰ卷理科第2題）如圖，正方形ABCD內(nèi)的圖形來(lái)自中國(guó)古代的太極圖。正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分位于正方形的中心成中心對(duì)稱，在正方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自黑色部分的概率是

解析：設(shè)正方形邊長(zhǎng)為，則圓半徑為2則正方形的面積為2×2=4，圓的面積為π×12=π，圖中黑色部分，則此點(diǎn)取自黑色部分的概率為故選B。

題2：（2017年高考全國(guó)Ⅱ卷理科第3題）我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問(wèn)題：“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增，共燈三百八十一，請(qǐng)問(wèn)尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層共有燈

A.1盞B.3盞C.5盞D.9盞

解析：設(shè)塔的頂層共有燈x盞，則各層的燈數(shù)構(gòu)成一個(gè)公比為2的等比數(shù)列，由，可得x=3，故選B。

高考過(guò)后，《人民日?qǐng)?bào)》記者專訪了教育部考試中心主任姜鋼。他指出：2017年高考數(shù)學(xué)科試題加強(qiáng)中國(guó)古代數(shù)學(xué)文化的滲透，強(qiáng)調(diào)中國(guó)古代數(shù)學(xué)文化的傳統(tǒng)特色。實(shí)則，對(duì)于數(shù)學(xué)文化的要求，并非今年的考試大綱修訂后的應(yīng)景產(chǎn)物，在《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2003實(shí)驗(yàn)版）》中早已經(jīng)做了闡述：數(shù)學(xué)是人類文化的重要組成部分。高中數(shù)學(xué)課程提倡體現(xiàn)數(shù)學(xué)的文化價(jià)值，并在適當(dāng)?shù)膬?nèi)容中提出對(duì)數(shù)學(xué)文化的學(xué)習(xí)要求。［1］

二、對(duì)近年高考中數(shù)學(xué)文化試題的認(rèn)識(shí)

除了2017年的高考全國(guó)卷的試題中涉及數(shù)學(xué)文化外，在近年各省分省命題的高考試題中也充分關(guān)注了數(shù)學(xué)文化的考查，其中，以湖北卷最具代表性。

2011-2014年高考湖北省數(shù)學(xué)文化試題背景統(tǒng)計(jì)表

上表是2011—2014年高考湖北省數(shù)學(xué)卷中滲透數(shù)學(xué)文化的試題背景統(tǒng)計(jì)（2015年后湖北省參加全國(guó)Ⅰ卷的統(tǒng)考不再自主命題），從上表可看出，這些滲透數(shù)學(xué)文化背景的試題大部分是以數(shù)學(xué)史為背景進(jìn)行命制的。

我們不能狹隘認(rèn)為數(shù)學(xué)文化等同于數(shù)學(xué)史。實(shí)際上，數(shù)學(xué)文化涵蓋的范圍很廣，如數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)美、數(shù)學(xué)的思想、數(shù)學(xué)的精神、數(shù)學(xué)中的哲學(xué)、數(shù)學(xué)與人類其他知識(shí)領(lǐng)域之間的關(guān)聯(lián)等。它們之間內(nèi)容相互交叉融合，如“數(shù)學(xué)史”中的數(shù)學(xué)文化，就應(yīng)包含伴隨著數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展、傳播而積蓄下的數(shù)學(xué)思維方式、數(shù)學(xué)思想觀念及數(shù)學(xué)精神品質(zhì)等。［1］

縱觀近年高考中的數(shù)學(xué)文化試題，我們發(fā)現(xiàn)這些試題都僅僅是對(duì)簡(jiǎn)單的史學(xué)背景的生搬硬套，是對(duì)數(shù)學(xué)文化淺層次的考查，并未觸及數(shù)學(xué)文化的本質(zhì)。此類試題就算是摒棄了史學(xué)背景，考生依然可順利作答。如：2017年高考全國(guó)Ⅱ卷理科第3題若剔除其數(shù)學(xué)史背景，試題可改為“一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層共有多少盞燈？”剔除數(shù)學(xué)史背景后的試題，呈現(xiàn)方式更加直接明了，問(wèn)題直指高中數(shù)學(xué)核心知識(shí)，這樣的問(wèn)題將能更加有效地考查高中數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng)。原有的試題背景是命題者故意制造的煙霧彈，只是人為地為考生制造閱讀障礙，實(shí)在無(wú)法凸顯數(shù)學(xué)史所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)文化價(jià)值。

數(shù)學(xué)文化試題不應(yīng)該停留于簡(jiǎn)單的表層次的考查。數(shù)學(xué)文化視角下命制的試題，就是要在試題中融合數(shù)學(xué)文化，力求達(dá)到所命制的試題能達(dá)到“有背景有內(nèi)涵”“潤(rùn)物細(xì)無(wú)聲”的境界，使人在做題的過(guò)程默默地受到數(shù)學(xué)文化的感染。在數(shù)學(xué)文化的視角下命制的數(shù)學(xué)試題，從試題的考查功能角度，可以考查學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)與方法，還可以考查學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)；從試題的導(dǎo)向功能角度，可引導(dǎo)教師的教與學(xué)生的學(xué)，使學(xué)生通過(guò)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，不斷地提高自身的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

三、數(shù)學(xué)文化試題可以這樣考

張奠宙教授指出：在數(shù)學(xué)教學(xué)中運(yùn)用數(shù)學(xué)史知識(shí)時(shí)，不能簡(jiǎn)單地、就事論事地介紹史實(shí)，而應(yīng)該著重揭示含于歷史進(jìn)程中的數(shù)學(xué)文化價(jià)值，營(yíng)造數(shù)學(xué)的文化意境，提高數(shù)學(xué)的文化品位。［2］筆者認(rèn)為，數(shù)學(xué)文化試題的命制也不應(yīng)該僅僅局限于以數(shù)學(xué)史為背景進(jìn)行試題包裝，而應(yīng)該考查更加廣義下的數(shù)學(xué)文化，重在感受數(shù)學(xué)的實(shí)際應(yīng)用、數(shù)學(xué)的思想方法、數(shù)學(xué)的理性精神等。筆者曾命制部分試題，感覺(jué)尚有一絲數(shù)學(xué)文化的味道，現(xiàn)摘錄部分試題如下，求教于方家。

（一）數(shù)學(xué)與歷史——感受數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)過(guò)程

以數(shù)學(xué)史中的人物、事件、問(wèn)題等為背景編制試題，是編制數(shù)學(xué)文化試題的一種常見(jiàn)手法。一個(gè)優(yōu)秀的數(shù)學(xué)文化試題，應(yīng)該既能體現(xiàn)數(shù)學(xué)史的背景，又能讓解題者在解題過(guò)程中體驗(yàn)歷史上數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)過(guò)程，此類試題不僅表象優(yōu)美而且內(nèi)涵豐富、韻味悠長(zhǎng)。

例1（2015年泉州市質(zhì)檢）關(guān)于圓周率π，數(shù)學(xué)發(fā)展史上出現(xiàn)過(guò)許多很有創(chuàng)意的求法，如著名的蒲豐實(shí)驗(yàn)和查理斯實(shí)驗(yàn)。受其啟發(fā)，我們也可以通過(guò)設(shè)計(jì)下面的實(shí)驗(yàn)來(lái)估計(jì)π的值：先請(qǐng)120名同學(xué)，每人隨機(jī)寫下一個(gè)都小于1的正實(shí)數(shù)對(duì)(x,y)；再統(tǒng)計(jì)兩數(shù)能與1構(gòu)成鈍角三角形三邊的數(shù)對(duì)(x,y)的個(gè)數(shù)m最后再根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)m來(lái)估計(jì)π的值。假如統(tǒng)計(jì)結(jié)果是m=34，那么可以估計(jì)π≈_____________。（用分?jǐn)?shù)表示）

數(shù)學(xué)發(fā)展史上有許多很有創(chuàng)意的求解“圓周率π”的實(shí)驗(yàn)，本題以此為背景，設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，經(jīng)歷實(shí)驗(yàn)過(guò)程，探究實(shí)驗(yàn)原理，從而體驗(yàn)前輩數(shù)學(xué)家的創(chuàng)新工作與探索精神。

例2（2014年泉州市質(zhì)檢）某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的側(cè)視圖中的虛線部分是

（A）圓弧

（B）拋物線的一部分（C）橢圓的一部分

（D）雙曲線的一部分

圓錐曲線（conic section），又稱圓錐截痕、圓錐截面、二次曲線，是數(shù)學(xué)、幾何學(xué)中通過(guò)一個(gè)正圓錐面和一個(gè)平面完整相切得到的一些曲線，在約公元前200年時(shí)就已被命名和研究了。本題的解題經(jīng)歷，將為解題者普及“圓錐曲線”的由來(lái)，進(jìn)一步揭示圓錐曲線的本質(zhì)。

（二）數(shù)學(xué)與藝術(shù)——發(fā)掘數(shù)學(xué)的美學(xué)價(jià)值

羅丹說(shuō)，生活中并不缺少美,而是缺少發(fā)現(xiàn)美的眼睛。借助數(shù)學(xué)可以發(fā)現(xiàn)生活中許許多多的美，如，統(tǒng)一美、對(duì)稱美、簡(jiǎn)潔美等。以此為背景設(shè)置的試題，能在檢測(cè)基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能的同時(shí)，深入檢測(cè)考生數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

例3（2014年泉州市質(zhì)檢）如圖，某數(shù)學(xué)愛(ài)好者設(shè)計(jì)了一個(gè)食品商標(biāo)，該商標(biāo)的輪廓由曲線段AOC和曲線段AEC構(gòu)成。在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線段AOC是函數(shù)y=tan(-1≤x≤1)的圖象，曲線段AEC是一段圓弧，其所對(duì)的圓心角為。若在正方形ABCD內(nèi)隨機(jī)選取一點(diǎn)P，則點(diǎn)P在陰影部分內(nèi)的概率等于

商標(biāo)的設(shè)計(jì)往往遵循數(shù)學(xué)的審美觀點(diǎn)，如，對(duì)稱美、簡(jiǎn)潔美。本題題干設(shè)置的圖形優(yōu)美，緊張的考試之中能讓學(xué)生眼前一亮。除此之外，在解題過(guò)程中，需要利用奇函數(shù)的對(duì)稱特征，方能順利解題，整個(gè)過(guò)程中學(xué)生享受到解題的愉悅。

例4（2017年泉州市質(zhì)檢）榫卯（sǔn mǎo）是古代中國(guó)建筑、家具及其他器械的主要結(jié)構(gòu)方式，是在兩個(gè)構(gòu)件上采用凹凸部位相結(jié)合的一種連接方式，凸出部分叫做“榫頭”。某“榫頭”的三視圖及其部分尺寸如圖所示，則該“榫頭”體積等于

（A）12（B）13（C）14（D）15

榫卯結(jié)構(gòu)是一個(gè)凝結(jié)了中國(guó)幾千年傳統(tǒng)文化精粹的技術(shù)，是中國(guó)古代勞動(dòng)人民的智慧結(jié)晶，也是最燒腦的藝術(shù)。在享受美的同時(shí)，有效地考查了三視圖、空間幾何體的體積等知識(shí)，同時(shí)也培養(yǎng)了民族自豪感。

（三）數(shù)學(xué)與游戲——體驗(yàn)數(shù)學(xué)的趣味特性

在2002年8月的國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)上，數(shù)學(xué)大師陳省身先生寫下了耐人尋味的四個(gè)字——數(shù)學(xué)好玩。那么命題者該該怎樣體現(xiàn)數(shù)學(xué)好玩、有趣呢？以游戲?yàn)楸尘霸O(shè)置試題，不僅背景自然、真實(shí)，同時(shí)也讓枯燥的數(shù)學(xué)問(wèn)題充滿詩(shī)意。

例6（2011年泉州市質(zhì)檢）“黑白配”游戲，是小朋友最普及的一種游戲，很多時(shí)候被當(dāng)成決定優(yōu)先權(quán)的一種方式。它需要參與游戲的人（三人或三人以上）同時(shí)出示手勢(shì)，以手心（白）、手背（黑）來(lái)決定勝負(fù)，當(dāng)其中一個(gè)人出示的手勢(shì)與其它人都不一樣時(shí)，則這個(gè)人勝出，其他情況，則不分勝負(fù)。現(xiàn)在甲乙丙三人一起玩“黑白配”游戲。設(shè)甲乙丙三人每次都隨機(jī)出“手心（白）、手背（黑）”中的某一個(gè)手勢(shì)，則一次游戲中甲勝出的概率是____________。

“黑白配”游戲的背景，讓回憶仿佛又回到童年。本題熟悉的游戲場(chǎng)景，不僅體現(xiàn)了試題的公平性、趣味性，在考查古典概率的同時(shí)，有效檢測(cè)了考生的數(shù)學(xué)閱讀能力和分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。

例7（2017年泉州市質(zhì)檢）如圖，一張A4紙的長(zhǎng)、寬分別為22a，2a。A，B，C，D分別是其四條邊的中點(diǎn)。現(xiàn)將其沿圖中虛線折起，使得P1，P2，P3，P4四點(diǎn)重合為一點(diǎn)P，從而得到一個(gè)多面體。關(guān)于該多面體的下列命題，正確的是____。（寫出所有正確命題的序號(hào)）

①該多面體是三棱錐；

②平面BAD⊥平面BCD；

③平面BAC⊥平面ACD；

④該多面體外接球的表面積為5πa2。

“折紙”是生活中的常見(jiàn)游戲之一。大部分的折紙活動(dòng)是基于對(duì)稱進(jìn)行的，這就產(chǎn)生了許多幾何元素，如：全等、相似、重合、垂直、中點(diǎn)、直角三角形、矩形、正方形。顯然，折紙游戲是考查空間想象能力不可多得的載體。

（四）數(shù)學(xué)與決策——體驗(yàn)數(shù)學(xué)的實(shí)際應(yīng)用

有人的地方就有數(shù)學(xué)。小到投資理財(cái)、置業(yè)經(jīng)商的決策，大到國(guó)家方針政策的制定，這些問(wèn)題都需要我們使用數(shù)學(xué)工具對(duì)其加以解決。因此，以實(shí)際生活為背景進(jìn)行試題設(shè)置，可考查考生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，進(jìn)一步倡導(dǎo)學(xué)以致用。

例8（2017年泉州市質(zhì)檢）某密碼鎖共設(shè)四個(gè)數(shù)位，每個(gè)數(shù)位的數(shù)字都可以是1，2，3，4中的任一個(gè)。現(xiàn)密碼破譯者得知：甲所設(shè)的四個(gè)數(shù)字有且僅有三個(gè)相同；乙所設(shè)的四個(gè)數(shù)字有兩個(gè)相同，另兩個(gè)也相同；丙所設(shè)的四個(gè)數(shù)字有且僅有兩個(gè)相同；丁所設(shè)的四個(gè)數(shù)字互不相同。則上述四人所設(shè)密碼最安全的是

（A）甲（B）乙（C）丙（D）丁

生活往往需要決策。本題以密碼的安全性為背景設(shè)置試題，背景貼近生活，立足于數(shù)學(xué)本質(zhì)，合理地檢測(cè)了學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)等基本數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

例9（2012年泉州市質(zhì)檢）為調(diào)查某校學(xué)生喜歡數(shù)學(xué)課的人數(shù)比例，采用如下調(diào)查方法：

（1）在該校中隨機(jī)抽取100名學(xué)生，并編號(hào)為1,2, 3，……,100；

（2）在箱內(nèi)放置兩個(gè)白球和三個(gè)紅球，讓抽取的100名學(xué)生分別從箱中隨機(jī)摸出一球，記住其顏色并放回；

（3）請(qǐng)下列兩類學(xué)生舉手：（ⅰ）摸到白球且號(hào)數(shù)為偶數(shù)的學(xué)生；（ⅱ）摸到紅球且不喜歡數(shù)學(xué)課的學(xué)生。

如果總共有26名學(xué)生舉手，那么用概率與統(tǒng)計(jì)的知識(shí)估計(jì)，該校學(xué)生中喜歡數(shù)學(xué)課的人數(shù)比例大約是

（A）88%（B）90%（C）92%（D）94%

本題取材于高中課本《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)必修3》人教A版的一節(jié)閱讀材料“如何得到敏感性問(wèn)題的誠(chéng)實(shí)反應(yīng)”，此種調(diào)查方法也是實(shí)際生活中常用的一種調(diào)查方法，以此為背景設(shè)置試題，充分體現(xiàn)了“數(shù)學(xué)是有用的”。

數(shù)學(xué)文化在《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2003實(shí)驗(yàn)版）》作為課程理念得到了體現(xiàn)，同時(shí)在《考試大綱》中也得到了特別的重視。因此，近年的高考必然特別關(guān)注數(shù)學(xué)文化的考查。探索如何在數(shù)學(xué)試題中發(fā)揮數(shù)學(xué)文化的價(jià)值與功能將是命題者的一個(gè)重要課題，筆者認(rèn)為，命題者對(duì)數(shù)學(xué)文化的范疇需要有個(gè)全新的認(rèn)識(shí)，數(shù)學(xué)文化在試題中需要“潤(rùn)物細(xì)無(wú)聲”地滲透。

［1］教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)［S］.北京：人民教育出版社，2003:2-3.

［2］張奠宙.關(guān)于數(shù)學(xué)史和數(shù)學(xué)文化［J］.高等數(shù)學(xué)研究，2008（1）.

［3］楊蒼洲.試題中數(shù)學(xué)文化的考查舉例——以2013年福建省高三數(shù)學(xué)質(zhì)檢卷為例［J］.中學(xué)教研（數(shù)學(xué)），2013（9）.

（責(zé)任編輯：萬(wàn)丙晟）