基于翻轉課堂的高中數學導學案設計與思考

陳言（福州格致中學，福建福州350001）

基于翻轉課堂的高中數學導學案設計與思考

陳言
（福州格致中學，福建福州350001）

翻轉課堂教學模式顛轉了知識傳授和知識內化的過程，基于翻轉課堂的高中數學導學案可以為學生的學習搭建平臺、提供“腳手架”，利用導學案中“導”的功能和“學”的任務可以為學生的自主學習、主動學習提供幫助，實現課前、課中、課后的有效學習。

翻轉課堂；導學案；設計與思考

一、引言

翻轉課堂教學模式是信息時代在學習方式和教育模式上的一次創新，其特點是翻轉傳統的教學流程，將“課堂講解—課后作業”變為“課前學習—課堂研究—課后拓展”的教學過程，其核心思想是“先學后教、以學定教”。在翻轉課堂里，學生掌握著學習的主動權，是知識的主動建構者，但由于學生直接面對新內容、新問題、新情境，這可能會給他們的學習帶來一定的困難，解決這一問題的有效抓手就是根據學生的實際情況合理設計導學案，為學生提供學習的支架、路線圖，提供自主學習與思考探究的問題情景，讓每位學生都能在最近發展區內自主探究、主動思考、獲取知識、發展能力。所謂導學案“是指教師通過對課標、教材、學情的深入研究，依據學生的認知水平、知識經驗而編制的用于指導學生主動參與、合作探究的學習方案”。［1］目前，導學案在打造高效課堂方面以其特有的實效性受到廣大教師的關注，本文以“等比數列的前n項和”為例，介紹基于翻轉課堂的導學案設計，探究如何設計使用導學案。

二、課前學習導學案

課前學習（前置學習）環節是學生獲取知識的環節，學生利用學習資料和微視頻學習，對新知識產生一個基本的認識，作為學習活動的組織者，教師應認真研究教材和課程標準，明確學生應達到的目標，合理安排前置學習的內容，合理設計導學案，筆者對等比數列前n項和的前置學習導學案設計如下：

1.學習目標

（1）通過類比、歸納，猜想，寫出等比數列的前n項和公式。

（2）運用特殊與一般、分類與討論、化歸與轉化等數學思想，推導等比數列的前n項和公式。

設計說明：為了給學生指明學習方向和達成目標，教師盡可能使用“寫出”“運用”等有明確指向的詞語，使學習目標的表述具體、清晰。

2.學習重點和難點

重點：等比數列的前n項和公式的推導。

難點：分析等比數列的結構特點推導等比數列的前n項和公式。

3.學習過程

【知識回顧，提出問題】

在學習等差數列時，我們研究過等差數列的前n項和，其探究的方法是從高斯算法中獲得啟示，利用倒序求和的方法得到，對于等比數列怎樣求其前n項和？

設計意圖：以類比的方式直截了當地提出問題，讓學生明確要學什么并思考怎么學。

【探索分析，猜想論證】

（2）能類比等差數列求和公式的推導方式求Sn嗎？上式中每一個括號里的和是否都相等？

設計意圖：選擇與等差數列求和公式的推導進行類比作為“引思”“設疑”的點，讓學生思而生疑，以疑促思。

（3）用倒序求和的方法行不通，需要另辟蹊徑，我們從特殊化入手去發現規律，猜想結論。

若q=1則Sn=na1，若q≠1，當n=2時,S2=a1+a2= a1+a1q=a1(1+q)，當n=3時,

S3=a1+a2+a3=a1(1+q+q2)，……，依次類推請寫出Sn的表達Sn=a1+a2+…+an=a1（）。

上面的式子較長，能化簡嗎？

設計意圖：對等比數列前n項和公式的探索，導學案設計的重點放在如何調動學生的積極性，如何指導學生開展學習上，為了發揮導學案“導”的功能，筆者設計使用“歸納-猜想-演繹”的學習方式取代課本純演繹的學習方式，以知識的再發現過程和學生思維的發展過程為主線，學生通過體驗、感受，自主完成等比數列前n項和公式的推導。

【思考題】等比數列前n項和公式還有其它的推導方法嗎？

三、課堂探究導學案

針對課堂探究活動，導學案的編制應突出學生的主體意識和問題意識，可以將要求學生掌握的知識和方法設計成一個個問題，用問題來引導和促進學生學習，用問題來拓展和深化學生思維，導學案的設計就是要使學生學習有“路”，學習有“法”，成為學生課堂學習實踐過程中的學習方案和操作方案。

1.課堂交流、合作探究

課本上等比數列前n項和公式的推導方法我們稱之為“錯位相減法”，其它推導方法的研究如下：

你還有其它的推導方法嗎？請寫出來與大家交流。

設計意圖：方法一源自2000多年前古埃及人的遞推方法，方法二源自歐幾里得比例法，課堂探究活動不應拘泥于教材上的一種方法，應鼓勵學生通過積極思考，從不同的角度對公式進行推導與證明，拓展學生的數學思維。

2.構造模型，數學實驗

對于正數等比數列{an}，首項為a1，公比為q求其前n項和的實驗：

有了以上發現，我們是不是又得到了等比數列前n項求和的一種推導方法？請寫出來。

設計意圖：發揮導學案“學做”的功能，引導學生開展數學實驗。

3.學以致用，解決問題

例1求下列等比數列的前8項和

設計意圖：有了等比數列的通項公式和前n項和公式，如果已知Sn.an,q,a1,n五個量中的任意三個，就可以求出其余的兩個，本例是對等比數列的前n項和公式的直接應用，同時滲透了方程思想。

方法1：觀察、發現：a5+a6+…+a10=S10-S4。

方法2：此等比數列的連續項從第5項到第10項構成一個新的等比數列：首項為，公比為q=，項數為n=6的等比數列，所求和為_____。

分析：數列中的第n項c=n是由a=n和b=1n2nnn2n相乘而來，由于每一項中的n不一樣，所以不能直接運用等比數列求和公式。如何將不可求和的式子轉化為可求和的式子?如果能夠把數列的前n項和化為，就可以用等比數列求和公式計算，如何把“系數”化為相同呢？可以用“錯位相減法”嗎？請寫出過程。

變式4求和：Sn＝1＋3x＋5x2＋7x3＋…＋(2n－1)xn-1(x≠0)。

分析：當x=1時，Sn=？

當x≠1時，可以用“錯位相減法”求Sn嗎？

設計意圖：應用環節的重點是方法的使用以及問題的解決，是基于學生的角度設計問題，通過一題多解及一題多變，提煉數學方法，感悟數學思想，形成解題技能，優化思維品質，提高思維水平。

四、課后學習導學案

課后學習導學案內容包含對本節課所學知識和方法的小結、課后作業、延伸探究等，采用任務驅動的方式，引導學生及時復習，整理歸納。推薦的作業應當數量合適，難度適中，可以適當設置選做題，滿足不同層次學生的需要，并要求學生按時完成推薦的作業。

1.學習體會：本節課一方面是“等差數列的前n項和”與“等比數列”內容的延續，另一方面它又為進一步學習等比數列前n項和性質等內容做準備，就知識的應用價值上來看，它是從數學問題和現實問題中抽象出來的一個模型，公式推出中所蘊含的數學思想方法有著廣泛的應用，請總結本節課所用到的數學思想方法。

2.推薦作業：課本P61A組2、3、4、5，選做：課本P62B組1。

3.查閱與研究：（1）“芝諾悖論”，并從數列求和的角度加以解釋；（2）中國古代數學文獻《九章算術》衰分章第二題及第四題。

五、思考與感悟

1.導學案設計的理論基礎

根據布盧姆的掌握學習理論，教師要為學生的掌握而教學，學生要為自己的掌握而學習。教師能夠幫助每一位學生很好地學習，但每一位學生掌握同樣的教學內容所需要花費的時間是不一樣的，因此教師需要思考如何提高教學質量，為學生個性化的學習提供幫助。按照維果斯基“搭建腳手架”的理念，教師應根據學生的“最近發展區”把復雜的學習任務加以分解，一方面要為學生提供促進其發展的學習任務，另一方面還要為學生搭建完成這些學習任務的“腳手架”。基于翻轉課堂的高中數學導學案可以為學生的學習搭建平臺、提供“腳手架”，實現課前、課中、課后的學習，學生可以利用導學案中“導”的功能，依據導學案中“學”的任務，明確自主學習的內容、目標和方法，開展“自主探索、動手實踐、合作交流、閱讀自學”活動，因此，導學案是學生學習的“路線圖”“指南針”“方向盤”，“是學生學習的起點，也是將要到達的目的地”，［2］導學案的設計和應用既符合維果斯基的“搭建腳手架”理念以及布盧姆的掌握學習理論，也符合《普通高中數學課程標準（2003實驗版）》所倡導的“積極主動，勇于探索”的學習方式和要求。

2.導學案設計的問題情境

問題在導學案中“既是教師‘導’的基本思想策略和方法的體現，又是學生‘學’的過程體現”［2］，問題的設計不僅要具有科學性、針對性、實效性和啟發性，而且要能夠有效化解學習難點。比如人教A高中數學必修5的教材是運用“錯位相減法”對等比數列前n項和公式進行推導，學生理解起來可能一時會有困難，針對這一情況，在導學案問題的設計上可以運用類比聯想、由特殊到一般等方法引導學生開展“歸納-猜想-演繹”的學習活動，學生通過觀察、分析、歸納、猜想、論證等思維活動，在對問題的思考過程中主動建構知識，在解決問題的同時既掌握了方法，又提高了能力。對問題的設計不僅要考慮如何化解學習難點，還要考慮如何“學”，考慮學生如何在問題的驅動下產生認知沖突并在已有認知結構的基礎上探究新知。

3.導學案設計的層次性

翻轉課堂以課前學生自主學習，課堂學生自主、合作探究，是翻轉課堂教學的主要模式，這一模式的核心理念有兩個：一是發揮學生在學習過程中的自主性和積極性，“讓每個學生按照自己的步驟學習”；二是互動的個性化指導。因此，基于翻轉課堂的導學案設計不僅應有利于學生實現對知識和方法的掌握，而且還應該讓每位學生都能得到發展。從學生的差異性方面考慮，導學案的設計應有利于因材施教，做到對學困生有幫助、對中等生有啟發、對尖子生有挑戰。導學案的設計還包括對一節課的總體設計，需要設計者認真研究教學內容，把握好每節課的目標、要求，設計的學習活動應由易到難、由淺入深、由表及里、螺旋上升、逐步提高。

［1］王俊亮.導學案在高中數學命題教學中的應用研究［D］.濟南：山東師范大學，2011.

［2］黃發國，張福濤.翻轉課堂導學案編寫指導與案例分析［M］.濟南：山東友誼出版社，2014.

（責任編輯：王欽敏）