研究性學習中的數學建模教學

陳瑩璐

數學不單純是數學知識的演繹和推理，還是一種工具.各類學科的研究和發展離不開數據分析，與人們生活息息相關的實際問題基本上都可以抽象為數學問題加以解決.課堂教學要以學生的發展為本，為學生做好知識儲備，把理論與實踐相結合，培養學生應用數學的意識和能力，讓學生學會從數學的角度去審視問題、分析問題和解決問題.數學建模是對實際問題進行抽象、簡化，建立數學模型，求解數學模型，解釋驗證的過程.本人從多年來的教學實踐中體會到，教師從學生感興趣的生活實例入手，對問題進行數學建模，能激發學生學習的熱情，促使學生逐步養成運用數學思維的習慣.就像數學家哈爾莫斯說的，“問題是數學的心臟”.只有感受心臟的跳動，才能感受數學的活力.下面我就研究性學習中的數學建模教學談談自己的看法.

一、基本理念具有一定的時代性

近幾年，對實際問題的考查在中考數學中頻繁出現，當數學問題被融合到實際情景中，難度就提升了很多，既要考查學生對數學信息的提取能力，又要檢測學生的數學建模能力，得分率不高.如2016年臺州中考題：

保護視力要求人寫字時眼睛和筆端的距離應超過30厘米.一位同學的眼睛位置記為B，肘關節位置記為C，筆端位置記為A，這三者位置關系可以抽象成△ABC.已知BC=30厘米，AC=22厘米，∠ACB=53°，該同學的坐姿符合保護視力的要求嗎？請說明理由.

該題轉化為數學問題就是已知三角形的兩邊和一角求第三邊的問題.教師在平時的教學中只有采取有針對性的教學方法和教學策略，才能有效地培養和發展學生的抽象思維和數學建模能力.

傳統的數學教學法是由一堆數字、一個問題、一個解法構成，即給出數學題，再解數學題.這種最直接、最感性認識的課程教學，也給學生造成了數學遠離生活、遠離大眾的錯覺，致使學生缺乏利用數學工具解決實際問題的能力.

亞里士多德曾說過：認識是由感覺開始，由個別事實上升到一般概念.換言之，知識是建立在由經驗而獲得的各種基本感覺的基礎上，學生只有參與到活動中才能形成能力.研究性學習是指學生在教師指導下，從自然現象、社會現象和現實生活中選擇研究并主動獲取知識、應用知識、解決問題的學習活動.這與新課程強調重視學生的學習過程，強調學生通過自己的思考去獲取知識，做到教學聯系學生的生活實際，發揮學生的主體性是完全一致的，具有一定的現實意義.

數學建模教學法注重學生數學思維的形成過程，引導學生對問題進行推理，培養學生的抽象思維，在復雜的事物中抓住重要的數學信息，尋找問題的突破口.在數學建模過程中，學生能夠體會到數學知識不是孤立的，它來自于生活又服務于生活.學生運用數學思維去觀察、分析社會熱點，解決日常生活中的問題，激發了學好數學、服務社會的奉獻精神，培養了與人合作溝通的能力.

二、教學環節符合人的認知規律

在研究性學習中，數學建模教學法的教學設計過程是：教師先創設問題情景，再引導學生以研究性學習方式進行數學建模，最后用數學知識解釋該類數學模型.這種從建模的角度引領學生學習數學知識的方法，能有效地把數學學習和數學應用結合起來，實現學生學科專業學習和數學社會價值的雙體現，符合學生的認知規律.

1.創設問題情景，激發求知欲.

例：一個三角形的三條邊為a，b，c，其中a=6cm，b+c=10cm，求解這個三角形面積的最大值.

在教學中，教師可以讓學生拿出事先準備好的線與圖釘來做實驗：①剪下一段16cm長的線，結成一個環；②把細線的6cm長的一段拉直并固定這段線的兩端B、C；③在細線的另一部分任取一點A，拉動點A，使細線圍成△ABC；④移動點A，觀察何時△ABC面積最大.在實驗活動操作的情景中，讓學生自己去尋找正確答案.

2.運用抽象概括，導入新課題.

思考：①把一根16cm的細線結成一個環，目的是什么？②固定B、C能保證什么條件？③拉動點A，在移動A的過程中△ABC中什么在變化？什么始終不變？④你能發現點A運動過的軌跡是什么圖形嗎？

學生實驗后得出：將繩結成一個環，目的在于讓它構成周長為16cm的三角形；固定B、C能保證BC邊長為定值6cm；移動A的過程中邊長AB、AC跟著變，BC邊上的高也跟著變，但AB和AC的和不變，BC邊長不變，即△ABC的周長一定；點A的運動軌跡是一個橢圓（見下圖）.

3.建立研究模型，形成數學知識.

例：求解橢圓上點A運動到什么位置時，△ABC的面積最大？

學生在實驗中發現，點A到BC的距離最遠時，△ABC的高AD最大，此時它在橢圓的最高點或最低點，△ABC的面積最大.從而使學生得出：當三角形一邊為定值，另外兩邊相等時，它的面積最大.

4.解決實際問題，享受成功喜悅.

如：已知三角形的三條邊為a、b、c，其中a=6cm，b+c=10cm，計算△ABC面積的最大值.

學生從實驗中得出，當AB=AC=5cm，△ABC是等腰三角形時，此時高AD最大，為4cm，所以這個三角形面積的最大值是：S△ABC=■×6×4=12（cm2）.

5.加強歸納總結，深化教學目標.

例：一個三角形的三邊長為a、b、c，其中a=6cm，a+b+c為定值，求：①滿足條件的三角形有幾個？它們有什么共同點？②面積為最大值時，b、c兩邊有何數量關系？

學生在實踐中發現，滿足條件的三角形有無數個，但它們第三個頂點都落在同一個橢圓上，b=c時，三角形面積有最大值.從而可以歸納得出：對任意三角形，如果一條邊長為定值，周長一定，那么第三個頂點必落在某一橢圓上，并且當橢圓上的點到兩定點距離相等時三角形面積最大.

在問題情景的探討中促進學生聯系所學的知識和技能，發揮已有的數學思維，能夠培養他們創造與發現新事物的能力，使學生更積極地參與到課堂教學中，表達自己的想法，使程度不同的學生均得到發展.整個環節設計突出，以學生為本，留出讓學生自主支配的時間和空間，把課堂還給學生，使學生變被動學習為主動學習.這種解決實際問題的數學化研究探討過程使學生感受到數學與自然社會及其他學科的密切聯系，增強了他們的學習興趣，符合認知規律.endprint

三、 教學方式的有效選擇

研究性學習的特點是重過程、重應用、重體驗、重全員參與，這些特點正好與素質教育的精神完全一致，在研究性學習中，數學建模教學方式可以靈活多樣.

1.從課本中的數學問題出發，培養學生數學建模.

初中數學課本中就有全面調查和抽樣調查的實踐課，教師要認真指導，不要讓學生的調查流于形式.數學建模教學法會使學生調查更有方向，目的更明確.如：課本對中小學生的視力調查.課前教師先布置調查任務：（1）調查的對象是誰？（2）怎樣選擇調查對象才有代表性？（3）怎樣處理調查數據？（4）從數據中你得到了什么結論？（5）通過調查，你認為哪些是影響中小學生視力的主要因素？

2.從生活中的數學問題出發，培養學生數學建模.

生活中處處有數學，借助生活事例得出數學原理，更有利于學生理解和消化.如在“直線與圓的位置關系”一課中，教師可以先讓學生觀看海上日出的視頻，用數學的眼光分析太陽與地平線屬于哪類幾何圖形；如果把硬幣當作太陽，把直線當作地平線，模擬海上日出的過程，你覺得直線與圓的位置關系應分為幾種？依據是什么？

3.從社會熱點問題出發，培養學生數學建模.

學生是祖國的未來，讓他們參與國事、家事、天下事的討論，有利于培養他們對社會的責任感.如：“統計調查”教學中，教師讓學生對“你怎樣處理廢電池”或“中小學生非正常死亡原因”等社會熱點問題展開調查，得出統計調查方法，有利于學生頭腦中數學模型的建立，引發學生對學習之外的社會問題的更多思考.

4.通過實踐活動或游戲培養學生數學建模.

有些數學建模就建立在實踐活動或游戲中，如：勾股定理的證明，教師可以事先準備一些直角三角形和正方形，讓學生利用若干個直角三角形或正方形拼湊成一個規則的多邊形，如果學生拼湊成功，再讓他們利用手中的圖片嘗試證明a2+b2=c2，讓學生歸納出勾股定理及證明勾股定理的方法.

5.選擇其他學科問題，培養學生數學建模.

各學科之間是相互融合、相互促進的.數學作為一門基礎學科，可以從數學的角度幫助其他學科解決問題，同時其他學科也為數學提供豐富的建模題材.如：力學之父阿基米德說過“給我一個支點，我可以撬動地球”.小強欲用撬棍撬動一塊質量為150千克的大石頭，阻力臂為0.3米，動力F與動力臂L有怎樣的數量關系？①當動力臂為1.5米時，撬動石頭至少需要多大的力？②若想使動力F不超過題①中所用力的一半，則動力臂至少加長多少？③有不同長短的撬棍，你怎樣選擇才能比較省力？④請用函數知識解釋“給我一個支點，我可以撬動地球”.

學生對這樣的實際問題會感到新奇，教師可以幫助學生從多種角度、用多種方式挖掘與數學相關的聯系進行數學建模，激發學生的數學學習積極性，在活動探究中提升學生的數學思維水平.endprint