雙曲率后視鏡的優化設計

鄭芙

摘要：汽車后視鏡是保證行車安全的重要部件。目前，國內外汽車的后視鏡多為平面鏡、凸面鏡或雙曲率后視鏡。平面鏡圖像沒有畸變，但視野不足，存在盲區。為擴大視野，采用凸面鏡，但圖像嚴重扭曲失真，致使駕駛員無法準確判斷后側方道路情況。因此，采用大視野、低失真的雙曲率后視鏡能大大提高安全性，對降低交通事故的發生率、減少人民的生命以及財產損失具有重要意義。

本文針對現有的雙曲率后視鏡進行優化設計，根據平面鏡及凸面鏡成像原理、幾何光學原理等建立了視野能見寬度模型、垂直放大率模型用以確定雙曲率后視鏡的視野范圍和畸變程度，并運用模擬退火算法求解，可以得到雙曲率后視鏡的優化設計。

關鍵詞：雙曲率后視鏡；優化設計；物像位置關系

1雙曲率后視鏡的視野范圍

為簡化問題，將雙目等效成單目，且假設平面鏡與凸面鏡光滑連接。R為凸面鏡的曲率半徑，β為垂直放大率，l_M為雙曲率后視鏡的水平總長度，l_R為雙曲率后視鏡中凸面鏡的水平長度，θ為雙曲率后視鏡中凸面鏡的圓心角。

雙曲率后視鏡鏡面的曲面外形如圖1：

圖1雙曲率后視鏡鏡面的曲面外形

根據幾何光學，雙曲率后視鏡的成像示意圖如圖2 [1]：

圖2雙曲率后視鏡成像原理圖

點A、B為雙曲率后視鏡中平面鏡的右、左邊界點，點C為人眼位置，點D為過點B作凸面鏡曲率半徑的垂線的垂足點，點E為平面鏡與凸面鏡相交處的切點，點O'為凸面鏡圓心，直線l_0為馬路邊緣。設點A、B、C、E、O'的坐標分別為（a，0），（0，b），（c，d），（xE，yE），（xO' ，yO' ）。

點A、B與點O'之間的距離分別為：

（1）

（2）

點A與E，點E與O^'的距離分別為：

（3）

（4）

點C' （xC'），yC'）為關于過點B的切線l_0的對稱點，由|BC'|=|BC|及lCC^'，可得：

（5）

（6）

運用MATLAB求解，可得點O'的坐標（xO'，yO' ））、點E的坐標（xE，yE）及點C'的坐標（xC' ），yC' ）。

由此可得，直線BC'的方程為：

（7）

點C'' （xC''），yC'' ））為關于直線AE的對稱點，由|AC'' |=|AC|及AE⊥CC''，可得：

（8）

（9）

聯立式（8）、（9），運用MATLAB求解，可得點C''的坐標（xC'' ），yC^'' ）。

由此可得，直線AC^''的方程為：

（10）

直線AC''、BC'與直線y=10m的交點分別記為N、M，則點N、M的橫坐標N（x_N，y_N）、M（x_M，y_M ），則點N與M之間的距離|MN|，即雙曲率后視鏡的視野能見寬度，也即視野范圍為：

（11）

2 雙曲率后視鏡的畸變程度

為了對畸變程度進行分析，選取垂直放大率β量化畸變。垂直放大率是用來描述物體成像前后高度間的關系，即為像的大小與物的大小之比。出現畸變主要是由于物體成像前后高度存在偏差。而這一偏差是由視野增大所導致的，故選取垂直放大率量化畸變是合理可行的。

根據幾何光學，凸面鏡的成像示意圖如圖3 [1]：

圖3 凸面鏡成像示意圖

1.凸面鏡物像位置公式

規定[2]：以折射面頂點"O" 為原點；沿著光線的傳播方向自左向右為正方向，故與光線傳播方向相同時取正值，相反時則取負值；以光軸為基準，在光軸以上為正，則在光軸以下為負。

單個折射球面的物像位置關系為[2]： （12）

式中：n，n'——物方和像方的折射率；l，l'——物方和像方的截距。

反射定律可看成折射定律的特殊情況，令n'=-n可得凸面鏡的物像位置公式為：

（13）

2.凸面鏡成像規律的推導

垂直放大率為像的大小與物的大小之比，即：

（14）

對于凸面鏡，圖3中△A' B' C～△ABC，故可得：

（15）

又因為：

（16）

式中：Q——阿貝不變量[2]。

則由式（12）可得：

（17）

又因為： （18）

則垂直放大率為：

（19）

其中，β∈（0，1]，β越大，畸變程度越小。當β=1時，即為平面鏡，此時無畸變。

3.雙曲率后視鏡的畸變程度：

（20）

3 最優曲率半徑的求解

雙曲率后視鏡的效果主要受視野范圍和畸變程度兩方面的影響。基于以上分析，可分別得到視野范圍以及畸變程度對雙曲率后視鏡的效果的影響。為了將此兩個方面的影響進行統一量化，得出最優設計，需對這兩方面的影響進行權重分析。

記|MN|=F（R），視野能見寬度|MN|隨著曲率半徑R的增大而減小，即視野范圍隨著曲率半徑的增大而減小。

記β=G（R），垂直放大率β隨著曲率半徑R的增大而增大，即畸變程度隨著曲率半徑R的增大而減小。

為保證視野能見寬度|MN|與垂直放大率β權重的均勻性，對F（R）和G（R）進行標準化處理得：

（21）

最優曲率半徑R即是使視野范圍盡可能大，而畸變程度盡可能小。因此，優化目標即是求下列函數的極大值：

（22）

參考文獻

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