針對雙曲守恒律方程求解方法的研究

呂夢迪+陳芳

摘 要 計(jì)算流體力學(xué)是基于數(shù)值方法對滿足定解條件的流體力學(xué)方程進(jìn)行的離散化處理，對數(shù)值解進(jìn)行分析和處理，通過數(shù)值模擬的過程得到流體的運(yùn)動規(guī)律，進(jìn)而解決流體運(yùn)動中遇到的實(shí)際問題。流體運(yùn)動大多數(shù)都具有非線性守恒律方程形式，因此，能高效、精確地對雙曲守恒律方程進(jìn)行求解成為流體力學(xué)領(lǐng)域的重要研究課題之一。本文從物理概念出發(fā)，通過介紹幾種主要的求解方法，加深對雙曲守恒律方程求解方法的理解和運(yùn)用。

關(guān)鍵詞 計(jì)算流體力學(xué) 雙曲守恒律方程 求解方法

中圖分類號：O351. 2 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

0引言

雙曲守恒律方程是計(jì)算流體力學(xué)中一類反映物理現(xiàn)象和規(guī)律的重要方程。在一維情況下，它們都具有如下形式：ut+f（u）x=0。其中x∈R，t>0，u∈Rn是守恒變量，f（u）是通量函數(shù)。在求解⑴時(shí)，即使初始條件充分光滑，其數(shù)值解也會隨著時(shí)間的推進(jìn)在某一時(shí)刻產(chǎn)生間斷，而間斷解的出違背了古典解理論。于是Lax于1954年提出了弱解的概念，但是弱解不唯一，隨之Lax證明了如果弱解u滿足熵穩(wěn)定條件：E（u）t+f（u）x≤0，其中E（u）是u的一個(gè)凸函數(shù)，即E（u）''>0，而F（u）滿足：F'（U）T=E'（u）Tf'（u），則u是唯一且有物理意義的。E稱為熵函數(shù)，F(xiàn)稱為熵通量，（E，F(xiàn)）為熵對。方程不同，熵對的具體表達(dá)式也不盡相同。滿足熵條件的解是唯一的具有物理意義的解，這種解稱為“熵解”，滿足熵條件的守恒型差分格式被稱為熵穩(wěn)定格式。為了系統(tǒng)地研究熵穩(wěn)定格式，1987年Tadmor引入熵變量和熵勢的概念，還給出了熵穩(wěn)定格式構(gòu)造中的比較原則，即熵穩(wěn)定格式要比熵守恒格式的粘性多，這在熵穩(wěn)定格式的構(gòu)造中具有很實(shí)用的指導(dǎo)意義。2006年，Roe提出采用經(jīng)典Roe格式的數(shù)值粘性項(xiàng)進(jìn)行耗散，得到一類熵穩(wěn)定格式，稱為ERoe格式。獲得的熵穩(wěn)定格式繼承了經(jīng)典Roe格式的良好激波捕捉效果，這種Roe-型耗散在后來被廣泛使用。在2009年，Roe和Ismail通過進(jìn)一步分析得到：解在跨過激波時(shí)產(chǎn)生了激波強(qiáng)度立方量級的熵增，并在此基礎(chǔ)上發(fā)展了對數(shù)值粘性項(xiàng)更精確量化的熵相容格式。

1數(shù)值求解方法

1.1熵守恒格式

1.2熵穩(wěn)定格式

1.3熵相容格式

2提高算法精度的方法

為了提高格式的精度，減少或消除偽震蕩，在空間方向上人們常用的方法一：根據(jù)自適應(yīng)人工粘性的自適應(yīng)性，經(jīng)過簡單的調(diào)節(jié)粘性比例系數(shù)后達(dá)到的高分辨率。方法二：通過添加限制器的TVD格式來提高格式的精度，常用的限制器有van Leer 限制器、Minmod 限制器、Combined Minmod 限制器、Superbee 限制器、Combined Superbee 限制器等，計(jì)算結(jié)果表明，采用Combined Superbee 限制器具有最好的效果。方法三：ENO格式采用逐次擴(kuò)展的節(jié)點(diǎn)模板來提高插值方法精度。方法四：WENO格式是通過構(gòu)造基于不同模板上的插值多項(xiàng)式的加權(quán)凸組合來獲得單元交界面處的高階近似。方法五：CWENO格式避免了ENO和WENO基于迎風(fēng)格式所引起的Riemann求解器的考慮，不需要特征分解和矢通量分裂，因此CWENO格式比普通的中心格式更具優(yōu)勢。

在時(shí)間方向上人們通常采用強(qiáng)穩(wěn)定的龍格-庫塔 （ Runge-Kutta ） 方法和NCE的龍格-庫塔方法。

3結(jié)語

本文針對雙曲守恒律方程的求解問題，介紹了關(guān)于熵的三種格式，并分析了提高格式精度的方法以及實(shí)現(xiàn)算法，這些方法易于計(jì)算機(jī)編程實(shí)現(xiàn)以及向高維雙曲守恒律方程推廣，即對雙曲守恒律方程的求解問題有重要的研究意義。

參考文獻(xiàn)

[1] Lax P D. Weak solutions of non-linear hyperbolic equations and their numerical computations [J]. Communication on Pure and Applied Mathematics， 1954， 7（1）： 159-193.

[2] Tadmor E. The numerical viscosity of entropy stable schemes for systems of conservation laws， I[J]. Mathematics of Computation， 1987， 49：91-103.

[3] F Ismail and P L Roe. Affordable， entropy-consistent Euler flux functions II： Entropy production at shocks [J]. SIAM Review， 2001， 43（1）： 89-112.

[4] 任炯， 封建湖， 梁楠等. 求解雙曲守恒律方程的自適應(yīng)人工黏性熵穩(wěn)定格式 [J]. 航空動力學(xué)報(bào)， 2014， 29（8）： 1930-1939.

[5] Yee H C. Construction of explicit and implicit symmetric TVD schemes and theirapplications [J]. J. Comput. Phys.， 1987， 68：151-179.

[6] D. Levy， G. Puppo， G. Russo. Central WENO schemes for hyperbolic systems of conservation laws [J]. Math. Model. Numer. Anal. ， 1999， 33：547-571.endprint