小學數學拓展資源學具的價值與應用

馬偉偉

學具是把“實際問題”抽象成“數學模型”有效的方式。籠統地講，凡是教學過程中使用的直觀用具，均可納入學具范疇。作為小學低段的數學老師，應該對學具在教學中的價值以及使用方法有正確的認識。

一、學具在小學數學教學中的意義

1.使用學具可以化抽象為具體

兒童認識事物遵循“感知—表象—概念”的規律，數學知識（數學概念、數學計算、解決問題）相對抽象，小學生處于由具體形象思維向抽象邏輯思維過渡的時期，所以學生需要通過動手操作來充分感知具體形象的事物，獲得感性認識，形成知識的表象。在此基礎上，教師再引導學生深入探索，從事物的表象中概括出事物的本質特征，從而形成抽象的數學知識。

以認識數學概念“平均分”為例，我們可以為每組同桌提供6張印著蘋果的圖片，讓同桌分一分，想怎么分就怎么分，并記錄分的結果。學生可能會出現（1，5）（2，4）（3，3）（4，2）（5，1）的結果，然后追問：“哪種分法最公平？”學生通過觀察討論，知道（3，3）這種分法每人分得的個數“同樣多”，最公平，教師順勢告知這種分法有個特殊的名字，由此引出“平均分”的概念。借助實物圖片，學生經歷了自由分的操作活動，再通過教師的引導，學生把直觀的分物過程與抽象的數學概念結合起來，使概念具體化，學生明白了平均分的本質特征就是每份分得“同樣多”。

2.使用學具可以化解難題

教材中的一些拓展題只靠口頭分析及講解，學生很難理解，借助學具，有些難題就很容易被理解。以三年級下冊“面積”單元里的一道拓展題為例。“王老師為小朋友準備了一張長32厘米、寬15厘米的長方形彩紙，最多可以剪成邊長是2厘米的正方形彩紙多少張？”很多學生都用大面積除以小面積的方法求出120個，但也有一部分學生注意到了大長方形紙不夠剪整個小正方形那部分，其中有學生親手做了學具，我把這位學生的作品展示給大家，很多學生都恍然大悟。我請學生交流為什么不能用大面積除以小面積的方法，并請學生思考究竟要怎樣列式解題。學生在觀察、思考、交流中明白了，先求出一行能剪幾個（和大長方形的長有關系），再求能剪這樣的幾行（和大長方形的寬有關系），問題就解決了。我繼續追問：“我覺得大面積除以小面積的方法也很好，想想什么情況下我們也能選用這種方法？”學生在交流經驗的基礎上很快明白，當長和寬除以小正方形的邊長都能除盡的情況下使用這種方法正好。有了這一份學具，做錯的學生不僅認識到自己錯在哪里，而且明白了這類問題的解決方法。

3.使用學具可以化被動為主動

使用學具，會改善學生聽教師講、學生看教師做的被動性。學生能親自參與知識產生的過程，向教師主動發問，向同伴大膽質疑。

再以“面積”單元的拓展題為例，在討論過程中，有位學生舉手提問：“我有個想法，如果剪的不是正方形，而是長方形，應該怎么計算呢？”我心中竊喜，學生真的在主動思考了！于是我首先肯定了她的問題，在課后留了一份手工作業：每位學生制作兩張長方形卡片（長30厘米，寬24厘米）。學生完成后，我篩選出可以忽略誤差的作品，引導學生繼續思考：這樣的一張長方形卡片最多能剪多少個長10厘米、寬8厘米的長方形？學生通過量一量、畫一畫、剪一剪，得到9個這樣的小長方形。課上我先請學生把剪好的小長方形密鋪在另外一張大長方形紙上，檢驗結果是否正確。在直觀的展示下，學生觀察到這一張大長方形的紙確實能剪出9個小長方形。我繼續提問：“剛才同學們通過剪紙找到了結果，誰會通過列式解決問題呢？”有了操作的經驗和密鋪的直觀感受，學生很快提到先求出一行能剪幾個，也就是30÷10=3。我追問：“誰能把這個算式表示的意思擺出來？”看到一個個舉起的小手，我知道他們真明白了。然后學生用24÷8=3，求出能剪這樣的幾行，我又讓學生擺出了這一步表示的意思，最后3×3=9順其自然。接著我故意制造沖突，我把小長方形的長邊對著大長方形的寬鋪，問：“怎么鋪了6個就不能再鋪了？這樣剪也行啊！”生：“題中說的是最多！”我：“那到底怎樣剪才能剪出最多的三角形呢？”“剛好能除盡、余數小的……”我聽懂了他們的想法，只是學生用語言表述有些困難，于是我用一個具體例子引導他們思考。我把黑板上的長方形紙的長由30厘米假設成48厘米，寬由24厘米假設成30厘米，問這張紙最多能剪多少個長10厘米、寬8厘米的長方形，應該怎么剪。“豎著剪，因為30除以10能整除，48除以8也能整除。”但是接著就聽到“如果都有余數怎么辦？”“可不可以有的橫著剪，有的豎著剪”……學生們真的在思考，他們的想法如何落實，還需要后續的操作來驗證。課下我和一位學生交流：“咱班同學的想法真好，還想到了橫著和豎著結合著剪。”這位學生笑著說：“這樣比較復雜，得把大長方形分成兩部分計算。”可以看見，學生在動手操作中，不斷地思考，有質疑、有驗證，這樣的學習過程不正是我們想要的嗎！

二、對學具的開發與應用的思考

1.學具的來源

在小學低段和教材內容配套的學具太少，除了教材最后附頁中的一些圖片或圖形外，沒有現成的學具，所以學具主要靠教師組織準備。有些常規學具需要學生人手一份，比如計數器、小棒、七巧板，教師就要組織學生統一購買，在這里要提醒大家在購買時最好選用材料穩固可以長期保存使用的產品（我們當時統一購買的計數器很多都已損壞）。教師自制的學具從數量上有3種情況：每人一份；每組一份；單獨一份既做教具又做學具。有時教師也會請學生自己制作或從家里帶一些物品作為學具，往往不能保質保量。所以我還是期待每位學生都有自己的學具袋，保證與教材內容相關的學具都有，教師就可以在現有學具的基礎上進行進一步的開發應用。

2.學具的開發

首先可以使用實物，比如《數花生》中用的各種豆子；再比如華應龍在《游戲規則的公平性》中用啤酒瓶蓋、骰子、硬幣作為學具。只要用心，生活中的許多實物都可以被開發成學具。也可以用模型替代，比如《認識鐘表》所用的鐘表模型，還有四年級《烙餅問題》用厚紙板剪一個橢圓代表鍋，剪三個圓形代替餅，圓形的正反兩面涂上不同顏色代表餅的正反面，制作“烙餅模型”。還可以圖像模擬，比如實物圖形——動物、食物、汽車圖像卡片等，在低段教學中特別受學生喜歡，再比如制作數字卡片和符號卡片搭配使用進行四則計算。另外，我相信如果教師有更強的創新精神與扎實的專業知識，應該還能制作出難度較大的學具，比如儀器。不管我們如何開發學具，有兩點要研究：學具與教學內容的關聯性；學生操作這些學具的便捷性。這樣學具才能發揮出實效性。

3.學具應用中的調控

學具開發得好是前提，要想發揮學具的實效性，需要教師的調控。首先，學生操作前，教師要引導學生明確動手操作的目的、要解決的問題，還要讓學生清晰操作的流程，這樣學生的操作才是有序的，學生的思維才是有目的的。其次，學生在操作過程中，教師要及時巡視，參與到多組活動中進行調控，促進學生清晰地認識自己正在經歷的數學活動。對于學習能力強的學生，要鼓勵他們創新，對于學習能力弱的學生，給予示范點撥。同時關注個性化的思維，這樣可以平衡活動的進度。最后，學生活動結束后，教師要組織研討，學生有自己的發現后最渴望表達分享，教師可以先讓學生在組內交流，再在全班分享。教師還要根據巡視中了解的情況，請不同層次的學生進行分享，并組織大家積極評價、建議，讓學生在研討中充分感受操作的過程與結果，逐步建立清晰的知識表象，從而促進抽象知識的建構。

（作者單位：北京師范大學亞太實驗學校）

責任編輯：肖佳曉

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