簡述導數在高中數學新課程中的地位與作用

金紅蓮

摘要：導數作為高中新教材新增內容之一，它給高中數學增添了活力，特別是導數的廣泛應用性，為解決函數、切線、不等式、數列等問題帶來了新思路、新方法，為我們展現出一道靚麗的風景線，也使它成為新教材高考命題的熱點。近幾年高考命題趨勢表明：導數已經由以往的“配角”地位上升到“主角”地位，成為分析問題和解決問題的重要工具。

關鍵詞：導數；高中數學；新課程；地位與作用

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2017）07-0116

導數（“導函數”的簡稱）是一類特殊的函數，利用導數可以求曲線的切線，判斷或論證函數的單調性，求函數的極值和最值，以及利用導數解決生活中的優化問題等。導數在函數中的應用很廣，所以，導數是分析和解決問題的有效工具。本文通過探討導數在新課程中的地位以及在數學解題中的應用，以拓展學生的解題思路，提高學生分析和解決問題的能力。

高中數學是由必修課程和選修課程兩部分構成。必修課程是整個高中數學課程的基礎，選修課程是在完成必修課程學習的基礎上，希望進一步學習數學的學生根據自己的興趣選修。選修課程由系列1、2、3、4等組成，在系列1和2中都選擇了導數及其應用。顯然，導數的重要性不言而喻。

一、有利于學生理解函數的性質

在高中階段學習函數時，主要學習函數的定義域、解析式、值域、單調性、奇偶性、周期性、有界性等。我們知道，函數的這些性質都可以通過函數的圖像表示出來。因而，如果能準確作出函數的圖像，函數的性質就一目了然。

如果所涉及的函數是基本初等函數，用描點法就可以作出函數的圖像。但是，如果所涉及的函數是非基本初等函數，如函數y=x2-2x2+x-1，y=ex-x-1等，僅用描點法就很難準確地作出圖像。但是，掌握了導數的知識之后，學生就可以利用函數的一階導數判定函數的單調區間、極值點和最值點；利用極限思想找出其水平漸近線和垂直漸近線，然后再結合描點法，就能較為準確地作出函數的圖像。這樣就有利于學生理解函數的性質，同時也拓寬了學生的知識面。

1. 利用導數求函數的解析式

用解析式表示函數的關系，便于研究函數的性質，而利用導數求函數的解析式，函數的一些基本性質就會顯得更加清晰。

例1. 設函數y=ax3+bx2+cx+d的圖像與y軸交點為P點，且曲線在P點處的切線方程為12x-y-4=0，若函數在x=2處取得極值0，試確定函數的解析式。

解析：因為函數y=ax3+bx2+cx+d的圖像與y軸交點為P點，所以，P點的坐標為（0，d），又曲線在P點處的切線方程為y=12x-4，P點坐標適合方程，從而得：d=-4，又切線斜率k=12，故在x=0處的導數y′ x=0 =12，而y′=3ax2+2bx+c，y′ x=0 =c，從而得出：c=12，又函數在x=2處取得極值0，所以，

12a+4b+12=08a+4b+20=0

解得：a=2，b=-9。

所以，函數解析式為y=2x3-9x2+12x-4

2. 利用導數求函數的單調區間

函數的單調性與函數的導數密切相關，運用導數知識來討論函數單調性時，結合導數的幾何意義，只需考慮f ′（x）的正負即可，當f ′（x）>0時，f（x）單調遞增；當f ′（x）<0時，f（x）單調遞減。

利用導數判斷函數的單調性的步驟是：①確定f（x）的定義域；②求導數；③在函數f（x）的定義域內解不等式f ′（x）>0和f ′（x）<0；④確定f（x）的單調區間。

若在函數式中含字母系數，往往要分類討論。

此方法簡單快捷且適用面廣。

例2. 求函數f（x）=x3-3x2+3的單調區間。

解析：求導數y′，y′=3x2-6x

由y′>0得：3x2-6x>0，解得：x<0或x>2

由y′<0得：3x2-6x<0，解得：0

故所求單調增區間為（-∞，0）∪（2，+∞），單調減區間為（0，2）

3. 利用導數求函數的最（極）值

求函數的最（極）值是高中數學的難點，也是高考經?？疾榈膬热葜?，它涉及函數知識的很多方面，用導數解決這類問題可以使解題過程簡化，步驟清晰。

一般地，函數f（x）在閉區間[a，b]上可導，則f（x）在[a，b]上的最值求法：（1）求f（x）在開區間（a，b）內的極值；（2）將y=f（x）的各極值與端點處函數值 f（a）、f（b）比較，其中，最大的一個為最大值，最小的一個為最小值。求可導函數極值的步驟是：①確定函數定義域，求導數f ′（x）；②求f ′（x）=0的所有實數根；③判斷在每個根（如x0）的左右兩側，導函數f ′（x）的符號如何變化。如果f ′（x）的符號左正右負，則f（x0）是極大值；如果f ′（x）符號左負右正，則f（x0）是極小值。

注意：如果f ′（x）=0的根x=x0的左右側符號不變，則f（x0）不是極值。

例3. 設函數f（x）=ln（2x+3）+x2，求f（x）在區間[-■，■]的最大值和最小值。

解析：依據題意可得：f（x）的定義域為（-■，+∞）

求得導數為f ′（x）=■+2x=■=■

當f ′（x）>0時，解得：-■-■

當f ′（x）<0時，解得：-1

從而，f（x）分別在區間（-■，-1），（-■，+∞）上單調遞增，在區間（-1，-■）上單調遞減。

由此可知，f（x）在區間[-■，-■]的最小值為f（-■）=ln2+■

又f（-■）-f（■）=ln■+■-ln■-■=ln■+■=■（1-ln■）<0

（上接第116頁）

所以，f（x）在區間[-■，-■]的最大值為f（■）=■+ln■

所以，f（x）在區間[-■，-■]的最大值為f（■）=■+ln■，最小值為f（-■）=ln2+■

例4. 求函數f ′（x）=■x3-4x+4 的極值。

解析：由f ′（x）=x2-4=0，解得：x=2或x=-2

當y′>0時，解得：x∈（-∞，-2）或（2，+∞）

當y′<0時，解得：x∈（-2，2）

從而，f（x）在區間（-∞，-2），上單調遞增，在區間（-2，2）上單調遞減。所以，

當x=-2時，y有極大值，f（-2）=■

當x=2時，y有極小值，f（2）=-■

二、有利于學生理解曲線的切線問題

學生由于受“圓上某點的切線”定義的影響，誤認為曲線在某點處的切線，就是與曲線有一個公共點的直線。如果學習了導數的定義及其幾何意義后，學生就知道f（x）在點x=x0的切線斜率k，正是割線斜率在x→x0時的極限，即k=lim■

由導數的定義，k=f ′（x），所以，曲線y=f（x）在點（x0，y0）的切線方程是y-y0=f ′（x0）（x-x0）

這就是說，函數在點x0處的導數f ′（x0）是曲線y=f（x）在點（x0，y0）處的切線斜率。

從而學生就掌握了切線的一般定義：設有曲線C及曲線上的一點P，在點P外另取曲線上一點Q，作割線PQ，當點Q沿曲線趨向點P時，如果割線PQ繞點P旋轉而趨向極限位置PT，那么PT直線就稱為曲線C在點P處的切線。

1. 利用導數解決曲線上某點的切線問題

函數y=f（x）在點x0處的導數的幾何意義，就是曲線y=f（x）在點P（x0，f（x0））處的切線的斜率，即曲線y=f（x）在點P（x0，f（x0））處切線的斜率f ′（x0），相應的切線方程為y-f（x0）=f ′（x0）（x-x0）

例5. 已知曲線f（x）=x3-3x2-1，過點（1，-3）作其切線，求切線方程。

解析：判斷可知，點（1，-3）在曲線上，根據導數的幾何意義可得：y′=3x2-6x

當x=1時，y′=-3，即所求切線的斜率為-3

故所求切線的方程為y+3=-3（x-1），即y=-3x

2. 利用導數解決曲線外某點的切線問題：

要求曲線外某點的切線方程，應先設出切點坐標，表示出切線方程，把已知點代入方程，求出切點坐標后，再求切線方程。

例6. 求曲線y=ex在原點處的切線方程。

解析：顯然，點（0，0）不在曲線y=ex上，由于y′=ex，則：

設切點坐標為P（x0，y0），所以，y0=ex0

則過點P的切線方程為y-ex0=ex0（x-x0）

因為點（0，0）在切線上，所以，-ex0=ex0（-x0），即x0=1，所以，切點為P（1，e）

故切線方程為y-e=e（x-1），即y=ex

三、有利于學生掌握函數思想

數學中許多問題用初等數學方法是不能解決的，而通過數學模型建立函數關系，利用函數思想，然后用導數來研究其性質，充分發揮導數的工具性和應用性的作用，可以輕松簡捷地獲得問題的解決，這也正是體現和顯示了新課程的優越性。我們不難發現，函數是建立在中學數學知識和導數之間的一座橋梁，不管是在證明不等式，解決數列求和的有關問題，以及解決一些應用問題，我們都可以構造函數模型，并且利用導數來解決相關問題。

總之，導數作為一種工具，在解決數學問題時使用非常方便，尤其是可以利用導數來解決函數的單調性、極值、最值以及切線等問題。因此，在高中階段為學生開設導數及其應用具有深刻的意義。

（作者單位：湖北省枝江市第一高級中學 443200）endprint