貫通“構造”之路 激活“生成”之徑
——以“反比例函數復習”的學材再建構為例

■徐 強

貫通“構造”之路 激活“生成”之徑
——以“反比例函數復習”的學材再建構為例

■徐 強

筆者曾參加南通市組織的“自學·議論·引導”教學研討活動，觀摩了一節反比例函數復習課，在且聽且思中，得到啟發，形成了不同的想法。聽完課筆者與同伴探討后，又有了新的思維碰撞，產生了重新設計的欲望，現整理呈現原教學設計流程與二次教學感悟，與同行交流。

一、原設計再現與反思

1.讀圖。

圖1

圖2

如圖1，你能從給出的圖像中獲得哪些信息？

2.添點。

如圖2，（1）圖像上有一個點A（2，3），你能得到哪些結論？

（2）你能快速說出一個也在這個函數圖像上的點嗎？

（3）若m＞0，點D（m，y1），E（m+2，y2），F（-m，y3）三點在這個反比例函數圖像上，則y1、y2、y3的大小關系是 。

3.添直線。

圖3

圖4

（2）若把第（1）問中k＞0去掉，k的值是多少？

【感受反思】

本節復習課從整體設計而言，四部分問題設置巧妙，以開放題型呈現，力求讓每一個學生都有思考的空間“讀圖”，以開放性問題為載體，引導學生回顧已學的內容，建構知識體系。從實施效果來看，學生基本能梳理出反比例函數的圖形、定義、性質，形成了本章內容的知識框架。“添點”，強化已知一點，滲透了基本技能與基本方法，可以利用待定系數法求反比例函數解析式，同時解決了“比較反比例函數值的大小”問題，從實施效果來看，學生的方法讓人大開眼界，滲透了數形結合等思想方法。“添線”，進一步挖掘反比例內涵本質，如對稱性、“k”的幾何意義、求方程組的解、求不等式的解集、圖形的面積轉化等，逐層深入，不斷生成。從實施來看，尤其通過添曲線，學生明白在同一象限的兩支與不同象限的兩支中形成的三角形面積之間的一種聯系，積為3的三角形嗎？

（3）畫直線OA，與雙曲線的另一支相交于點B，點B的坐標是多少？

（4）圖像上有另一點C（6，1），畫直線BC，觀察圖形你能得到哪些結論？

（5）過點A、C分別向x軸作垂線，垂足分別為E、F，連接OC、OA、AE與OC相交于點D，圖中有面積相等的圖形嗎？

4.添曲線。從而體現知識的一種融合，但效果一般。

從生本角度來看，筆者感到文本設計重點不突出，學生對“添直線”中的（4）（5）問反應較差，實屬問題的起點較高。另外，四個環節沒有做好無縫對接與整合，問題演變過程中沒有讓學生在頭腦中有一個整體架構，構造跳躍且生硬，沒有很好地生成學一題通一類。基于此筆者將該節課進行以下優化重構并教學。

二、二次設計與意圖

圖5

圖6

【設計意圖】強調反比例函數增減性，也可挖掘比較字母a、b的大小關系的三種不同路徑，同時為用待定系數法求函數解析式打下伏筆。

追問1：如果想求字母k的值，原已知條件中，還需增加哪些條件？

【設計意圖】強化待定系數法求函數關系式的條件，學生易得出：（1）已知一點，即給出字母a或b的值；（2）已知字母a與b之間存在某一數量關系；（3）已知某一特定圖形的面積（如圖6，作AC⊥x軸于點C，若S△OAC=3）。教師可進行補充與引導。

圖7

追問3：如圖7，如果過點A作一直線l1過原點，交另一支于點D，你能說出點D的坐標嗎？

追問4：如圖7，如果過點B作直線l2（不過原點），交另一支于點E，你能說出點E的坐標嗎？不能的話，還需增加哪些條件？

追問5：如圖7，你能比較一次函數l1與反比例函數的值的大小關系嗎？

變式：如圖7，（1）若過A、B兩點作直線l3，一次函數l3與反比例函數的值的大小如何確定呢？

（2）若過A作直線l4‖x軸，當x≤2時，求y的取值范圍。

【設計意圖】探究如何求“原點三角形面積”（這里的原點三角形指一次函數與反比例函數圖像交點及原點形成的三角形），旨在讓學生形成基本策略，可以利用反比例函數的對稱性或者方程組求交點坐標。

圖8

圖9

變式1：如圖9，平行于y軸的直線分別交兩條曲線于A、C兩點，求S△AOC= 。

變式3：如圖11，在變式2的基礎上，若點D是x軸上一動點，求S△ADC= 。

圖10

圖11

圖12

【設計意圖】體現三大變化：（1）從雙曲線的一支過渡到不同的兩支；（2）從同一象限變化到不同象限；（3）平行于坐標軸的直線由一條變化為兩條。意在從單純的一條直線（曲線），進行思維的發散，形成知識的生長點，在辨析中讓學生學會方法歸納、學會一題多變等。

圖13

追 問 7：如 圖13，已知A（2，6）、B（3，b）是反比例函數的圖像上兩點。點P是x軸上一動點，是否存在點P，使△ABP為直角三角形？

【設計意圖】在復習完反比例函數基礎知識的框架下，進一步挖掘數學知識的貫通性，研究基本圖形的存在性，旨在教會學生如何借助幾何圖形的相關性質，在反比例函數背景下有效解決問題，以此培養學生舉一反三的能力，真正有的放矢，直擊思維要點。

三、教學感悟

1.開放設問，構建知識框架。

本課例，從問題的不斷追問中，可以讓學生自覺地完成知識的鞏固、方法的歸納，一節課后，學生不僅可以形成一張完整的知識框架圖，而且可以積累解決問題的方法與策略，收獲探究的樂趣、交流的快樂、成功的喜悅。

2.學材整合，尋求貫通融合。

我們知道復習課的關鍵還在于把學生零散的知識串起來，形成一根主線，加上知識的相互滲透與融合，才能讓學生在“攀梯”的過程中，感覺水到渠成，不斷收獲。如本課中，求反比例函數解析式，不是單純地給予一個點，而是讓學生挖掘求解析式的思路有哪些，同時方程、不等式、幾何圖形的面積求解等自然蘊含問題之中，讓本單元的知識內部有了一種貫通與遷移，構建出屬于學生的有效教材。

3.變式訓練，聚焦思維提升。

變式的目的是為了讓學生在不同背景與不同條件下有自我的認識、解決問題的思路、轉化的意識，在知識生長的過程中，思維品質得到進一步提升。如本課設計主線為添點、添線與添圖，點由一個過渡到兩個，線由直線變化為曲線，同時改變點與線的位置關系，變換圖形的形狀，不斷激發學生探究的欲望，在此過程中讓學生找到圖形構造之路，解決問題之徑。

四、結束語

二次設計實施取得了較好的教學效果，參與聽課的老師一致認為，不僅借鑒了原設計的優點，讓復習課“老歌”新唱，煥發生命的活力，而且從一個簡單問題出發，逐步順勢延伸探究，貫通了“構造”之路，激活了“生成”之徑，使問題驅動更具系列性、適切性，問題解決更具規律性、反思性。預設后，注重追問，無論形式還是內容上都能聚焦思想方法，有效突破了重、難點，實施中發揮了學生的最大原動力，主體的作用得以充分體現，把課堂還給了學生。

注：本文是江蘇省教育科學“十三五”規劃初中重點資助課題《初中數學“學材再建構”研究》（課題編號：E-a/2016/06；主持人：施俊進、徐強）主要研究成果之一。

（作者為江蘇省海門市中小學教師研修中心初中數學教研員）