分分鐘，幫你梳理一元二次方程

萬志建

分分鐘，幫你梳理一元二次方程

萬志建

一、一圖知根源

請看上圖：梯子AB斜靠在墻上可以任意滑動.從這張圖中我們可以看出哪些量是變化的，哪些量是始終不變的？

答：△AOB是直角三角形，這是不變的；剛開始時OB=3，當A點向下滑動時，B點向右滑動，反之當A點向上滑動時，B點向左滑動.

問：如果梯子下滑的距離等于梯子底端平移的距離，你可以設計什么問題，怎樣解答？

答：可求梯子下滑的距離.設梯子下滑了x米，據題意可得（4-x）2+（3+x）2=52，整理得：x2-x=0.

下面我們換一個情境，如果梯子頂端下滑1米，用方程你可以求出什么量？

這些詩、詞名句都是詩人、詞人在特定的心境下創作出來的，都表達了特定的修辭語義。但這些修辭語義蘊含在詩句和詞句之中，蘊含在典故之中，潛藏在字里行間，不顯山不漏水，不直白不淺顯，需要讀者結合整個修辭語篇和創作背景才能作出合理的解釋。比如例④，所表達的修辭語義可以理解為：數不盡的寺廟樓宇，在濛濛細雨中交相輝映，更顯出南朝時期對佛教的熱衷。修辭語義含蓄委婉，意在言外。

答：可求梯子底端滑出的距離，設梯子底端滑出的距離為x米，據題意可得

（4-1）2+（3+x）2=52，整理得：x2+6x-7=0.

我們再換個情境，如果梯子下滑到A1時，有OA1=OB1，你又可以得到什么方程？

答：x2+x2=5，整理得2x2-5=0.

上面，我們由同一個問題的3個不同情境，通過用勾股定理發現了三個形式不同的方程，請給這三個方程起個名字！

答：一元二次方程.

問：請結合一元一次方程的定義來定義一元二次方程.

答：只含有一個未知數，并且未知數的最高次數是2的整式方程.

問：請結合一元一次方程、一次函數的一般式，寫出一元二次方程的一般式.

答：ax2+bx+c=0（其中a、b、c是常數，且a≠0）.

圍繞一元二次方程的定義，結合以前練過的有關一元一次方程的題型，請設計一道考查“一元”與“二次”這兩個知識點的題目.

答：如關于x的一元二次方程是x||m-3x+2=0，求m的值.

如果將方程換成（m-1）x||m-3x+2=0，m的值又是多少？

以上我們從生活中的事例引出了三個不同形式的一元二次方程，再圍繞定義來設計題目，讓我們對一元二次方程有了較為清晰的認識.

二、三題通解法

剛才，我們得到了三個方程：x2-x=0，x2+6x-7=0，2x2-5=0.如果我們要解這些方程，你覺得哪個容易些？

同學們可能會選擇第一個，也有同學可能會選第三個方程，那我們花開兩朵，各表一枝.

如果選擇第一個，有同學聯想到x2-x=0可以轉化為x（x-1）=0，于是轉化為兩個一元一次多項式的乘積為零，則每個式子都可能為零.從而求出x1=0，x2=1.

也有同學會考慮兩邊同時除以x，不過這樣做過于冒險，因為我們不知道x是否為零，但事實上x恰好等于零.所以我們盡量避免兩邊同時除以含有未知數的整式.

從上述的做法中，我們已經探索到了一元二次方程的一種解法：通過因式分解把一般式左邊化為兩個一次因式的乘積，從而轉化為兩個一元一次方程，簡稱“因式分解法”.相信用這種方法，你們也可以嘗試解決第二個方程了.

如果選擇第三個，有同學聯想到2x2-5=0可以轉化，直接開平方可得，.既然方程你們會解了，那么方程等也就迎刃而解了.我們細察這些式子的特點，不難發現，左邊是含有未知數的平方項，右邊是常數，通過直接開平方轉化為兩個一元二次方程，從而就可以求出方程的解，這種解法我們稱之為直接開平方法.如果步子跨得再大些，對于方程x2+6x-7=0，相信你們也能夠通過“配平方”轉化為上述形式解答.不經意間，老師要祝賀你又掌握了一元二次方程的兩種解法，即直接開平方法與配平方法.

也許有同學要問，有些題目因式分解不一定看得出來，“配平方”又花時間，還有沒有更好的方法，讓我們“秒殺”一元二次方程？如果真有這種方法，我們應該對最具代表性的“一般式”下手，因為它更具普適性.

請同學們嘗試如何通過配平方求ax2+ bx+c=0（其中a、b、c是常數，且a≠0）的解.尋解途中，你將再次體驗數學的美妙，感受發現的快樂，找到解一元二次方程的公式，你就掌握了解一元二次方程的通法，我們稱之為“公式法”.

三、編題悟應用

常言道，學以致用，學了一元二次方程究竟有什么用呢？下面，我們就從無錫特產“太湖翠竹”的包裝盒說起：已知包裝盒的底面是一個矩形，若矩形的長比寬多2個單位.

問1：你們能否增加一個條件，通過假設未知數，設計一個可以用一元二次方程解決的問題？如果它是黃金矩形，你又可以如何設計？

問2：隨著采工費用的增長，兩年來太湖翠竹的價格從原來的1000元/斤上漲到1200元/斤，如果每年上漲的百分率相同，問：____ ___？

嘗試：如果每年下降10%，則一年下來價格為多少？兩年下來呢？三年呢？你發現什么規律了？根據以上條件及嘗試，設計一個與一元二次方程相關的問題.

問3：茶場每年都要印成千上萬的包裝盒，印刷廠規定：1000套起印，一般每套包裝盒印刷費是15元.每多印1000套印刷費就優惠1元，最大優惠不得超過5元……

嘗試：如果印1000套需多少錢？2000套呢？5000套呢？6000套呢？

根據以上條件及嘗試，添加一個條件并設計一個與一元二次方程相關的問題.

以上三個問題是一元二次方程的常見應用題，即面積問題、增長率問題及費用問題.

當然，除此以外，跟一元二次方程應用有關的還有動點問題、利潤問題等，題目千變萬化，但不管多難多繁，透過現象看本質，那就是瞄準一個量，從不同的角度用代數式表示，從而得到一個等量關系，列出一元二次方程，再解方程.

同學們，剛才我們梳理了一元二次方程的那些事兒——定義、解法及應用.從一元到二元、從一次到二次，盡管知識在拔高，難度在加深，但只要我們接住這三板斧，舞動化繁為簡的利器——類比、消元與降次，剝筍般剝去片片偽裝，一元二次方程便會露出它稚嫩的根——一元一次方程，又轉化到當初熟悉的場景.

方程，存在于我們美好的生活之中，人生亦如方程，充滿著未知、發現與求解，生命不息，學習不止.我們要解好“刻苦努力+方法正確+不說空話=成功”的方程，讓愛因斯坦成功之道照耀我們前行！

（作者單位：江蘇省無錫市張涇中學）