Wilson定理的證法及其應用

吳瓊茹　李偉

【摘要】Wilson定理的重要性，不僅表現在對二次同余的研究有幫助，而且它給出一個正整數是素數的充要條件，因而決定一個正整數是否為素數的問題已經完全解決。該文將給出Wilson定理的兩種證法，并應用 Wilson定理介紹一個素數公式，并證明其成立。

【關鍵詞】素數 ； Wilson定理 ； 多項式 ； 素數公式

【中圖分類號】G64 【文獻標識碼】B 【文章編號】2095-3089（2015）7-0245-02

早在古代，尋找素數公式就吸引了許多數學家的注意，他們產生了一些有趣的猜想，認為他們所猜想的這個公式就可以表示所有的素數，但最后都一一被否定。本文從威爾遜（Wilson）定理出發，介紹一個公式來表示所有的素數，即素數公式。先給出Wilson定理以及Wilson定理之逆定理的證明，然后再應用Wilson定理證明素數公式，最后介紹幾個例題。

1.介紹幾個由不同數學家猜測的素數公式[4]

數學家歐幾里德猜想：當p1，p2，…pk是素數時，則p1，p2，…pk+1也是素數。例如：

2+1=3，2×3+1=7，2×3×5+1=31，

2×3×5×7+1=211，2×3×5×7×11+1=2311。

3，7，31，211，2311都是素數。但是如果再繼續計算下去，就會發現：

2×3×5×7×11×13+1=30011=59×509，

2×3×5×7×11×13×17+1=510511=19×97×277.

30011，510511都是合數，否定了歐幾里德的猜想。

以上兩種猜想，都只在前五個數成立，而在以后的各數中就被否定，經過進一步科學家的研究知道：在5≤n≤1945中，至少有48個n所對應的費爾馬數都是合數。

直到今天，除了F0，F1，F2，F3，F4，F5這五個費爾馬數是素數外，還沒有找到一個其它的費爾馬數是素數。由于許多數學家的各種猜想和結果，致使許多長期從事數學工作的同志，還認定不存在一個公式來表示所有的素數。本文將從Wilson定理出發，給出一個用二元整系數多項式來表示所有素數，即素數公式，并加以證明。

2.Wilson定理及其證法

2.1 Wilson定理的第一種證法

Wilson定理 正整數p是素數？圯（p-1）！≡-1（mod p）.

證 當p=2或p=3時，（p-1）！≡-1（mod p）.顯然成立。

現在令p>3，若r是下列p-3個數2，3，…，p-2中的一個，則在這些數中必有一數s≠r，可使rs≡1（mod p）.

這是因為r，2r，3r，…（p-1）r為模p的簡化剩余系[1]，所以其中必有一數且只有一數sr使sr≡1（mod p）.

因為2≤r≤（p-2），故s≠1，s≠（p-1），另外，還有s≠r，因若s=r，則r2≡1（mod p），即（r+1）（r-1）≡0（mod p）. （1）

故應得p|（r+1）或p|（r-1），而2≤r≤（p-2），故（1）式不可能成立，所以s≠r.

又因為rs=sr，即r與s是成對地出現的，故2，3，…，p-2這p-3個數共可分為對，每一對數之乘積都模p同余于1，所以

2·3·4…（p-2）≡1≡1（mod p）.

即（p-2）！≡1（mod p）.從而有（p-1）！≡-1（mod p）.

2.2 Wilson定理的第二種證法

Wilson定理 設p為素數，則（p-1）！≡-1（mod p）[7].

證 當p=2時，顯然成立。p>2時，p-1必為偶數，設p-1=2l，則zp={1，2，…，p-1}={1，2，…，2l}.

令a1=1，b1=p-1，T1={a1，b1}，作S1=zp＼T1.

假設已構造出Tk={a1，b1，…ak，bk}，Sk=zk＼Tk[6]，k>1時，對i>1時，有aibi≡1（mod p）.

任取an+1∈Sk，令bk+1=ak+1-1（mod p），則bk+1∈Zp且ak+1bk+1≡1（mod p）.如果bk+1=a1=1，則ak+1≡1（mod p），或ak+1∈zp，只能ak+1=1∈Tk，這與ak+1？埸Tk矛盾；

同理，如果bk+1=b1=p-1，則ak+1=p-1∈Tk，矛盾；當k>1時，如果bk+1=ai，2≤i≤k，ak+1ai≡1（mod p），

那么ak+1aibi≡bi（mod p）.因為aibi≡1（mod p）.所以ak+1≡bi（mod p）.

又∵ak+1，bi∈zp，∴ak+1=bi∈Tk矛盾；如果bk+1=bi，2≤i≤k，也推出ak+1=ai∈Tk，矛盾；

當k≥1時，如果bk+1=ak+1，則（ak+1）2≡1（mod p）.所以（ak+1+1）（ak+1-1）≡0（mod p）.故只能（ak+1+1）≡0（mod p）或ak+1-1≡0（mod p）.

所以p|（ak+1+1）或p|（ak+1-1）.但ak+1∈{2，3，…，p-2}，所以，1≤ak+1-1≤p-1，也矛盾；即只能bk+1？埸sk，bk+1≠ak+1；這樣構造

Tk+1={a1，b1，…，ak+1，bk+1}[8].

則a1=1，b1=p-1，aibi≡1（mod p），a1≠b1，i=2，3，…，k+1.

再構造sk+1=zp/Tk+1；…如此一直構造下去，直到得到T1={a1，b1，…，ai，bi}，則

T1=zp={1，2，…，p-1}；aibi=1（mod p）；i=2，3…；l=.endprint

所以（a2b2）×（a3b3）…×（albl）=2×3…×（p-3）×（p-2）≡12（l-1）（mod p）.

所以1×2…×（p-2）×（p-1）=1×（p-1）≡-1（mod p）.因此（p-1）！≡-1（mod p）.

3.Wilson定理之逆定理的證明

Wilson定理不僅是判定一個數為素數的必要條件，也是判定一個數為素數的充分條件.證明如下：

如果（p-1）！≡-1（mod p），那么p為素數[2]。

證法1 假設p不是素數，那么一定存在正整數q，使q|p

因為（p-1）！≡-1（mod p），所以（p-1）！≡-1（mod q）.但q|（p-1）！，所以，0≡-1（mod p）.這是不可能的，故p是素數。

證法2 若（p-1）！ ≡-1（mod p），則存在t∈z，使（p-1） ！=-1+tp，tp=（p-1）！+1.

對任意q，1≤q≤p-1，如果q|p，則q1（（p-1）！+1）；但q|（p-1）！[3]，故q|1，而此時只能q=1，即：p只能被1或自身整除，故p為素數。

4.Wilson定理的應用

既然從理論上講，威爾遜定理解決了判定一個整數是否為素數的問題，那么一定存在某個公式來表示所有的素數.

4.1 素數公式[5]

下證 n+1為素數。

要說明n+1為素數，據Wilson定理可知，必須滿足[（n+1）-1]！≡-1（mod （n+1））.

因為m是正整數，所以（n+1）|[（n+1）-1]！ +1即[（n+1）-1]！ +1≡0（mod （n+1））.

而[（n+1）-1]！+1≡0（mod （n+1））？圳n+1為素數，所以n+1為素數，即B=0時，A為素數，所以

A=2，當B≠0時；n+1，當B=0時.

驗證 例如：取m=3，n=4，則B=3×5-（4！+1）=-10≠0，A=2；

取m=329891，n=10，則B=329891×（10+1）-（10！+1）=0，A=10+1=11是素數。

5.小結

Wilson定理在初等數論中十分重要，它的重要性在于給出了一個正整數是素數的充要條件，從理論上解決了判定一個整數是否為素數的問題.并且為人們論證素數公式提供了有利的條件。

參考文獻

[1]閔嗣鶴，嚴士健.初等數論[M].北京：高等教育出版社，2004，58-59.

[2]李復中.初等數論選講[M].吉林：東北師范大學出版社，1984.

[3]周顯.初等數論[M].武漢：華中師范學院數學系.1981.

[4]鄭玉才.Wilson定理與素數公式[J].1992，1：11-13.

[5]陳景潤.初等數論[M].北京：科學出版社，1978.

[6]王彤華，楊海文，劉詠梅.初等數論[M].北京：北京航空航天大學出版社，2008，3.

[7]馮志剛.初等數論[M].上海：上海科技教育出版社，2009，1.

[8]潘承彪.簡明數論[M].北京：北京大學出版社，1998，1.

作者簡介：吳瓊茹（1986-），女，漢族，河南漯河人，助教，碩士研究生，研究方向：基礎數學。李偉（1986-），男，漢族，河南信陽人，助教，碩士研究生，研究方向：應用數學。endprint